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Maths Expert

Congruences dans Z - Modulo [n] - Problèmes

Conseils

Exercice 1: congruence - équation de Pell- Fermat - arithmétique maths expertes

On considère l'équation (E) : x27y2=3x et y sont deux entiers relatifs.
  1. Justifier que si le couple d'entiers (x ; y) est solution alors x23[7].
  2. Déterminer les restes possibles de la division de x2 par 7.
  3. En déduire que l'équation (E) n'a pas de solution.

Exercice 2: congruence - équation de Pell- Fermat - arithmétique maths expertes

On considère l'équation (E) : 17x231y2=22x et y sont des entiers relatifs.
Montrer en utilisant les congruences modulo 8 , que l'équation (E) n'a pas de solution.

Exercice 3: Critère de divisibilité par 3 et 9 - congruences - Arithmétique maths expertes

On considère un entier naturel a défini par son écriture décimale a=¯anan1a0 avec an0.
On a donc : a=an×10n+an1×10n1++a1×10+a0
  1. Montrer que l'entier a est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
  2. Montrer de même que l'entier a est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
  3. 983652145784512369566 est-il divisible par 3 ? Par 9 ?

Exercice 4: Critère de divisibilité par 11 - congruences - Arithmétique maths expertes

On considère un entier naturel a défini par son écriture décimale a=¯anan1...a1a0 avec an0.
On a donc: a=an×10n+an1×10n1+...+a1×101+a0. Le rang du chiffre ak est k.
  1. Démontrer qu'un entier est divisible par 11 si, et seulement si la somme de ses chiffres de rang pair moins la somme de ses chiffres de rang impair est divisible par 11.
  2. L'entier 619 852 805 est-il divisible par 11?

Exercice 5: Critère de divisibilité par 7 - congruences - Arithmétique maths expertes

On admet le critère de divisibilité par 7 suivant :
Un entier est divisible par 7 si et seulement si la différence entre son nombre de dizaines et le double de son chiffre des unités l'est.
  1. A l'aide de ce critère, déterminer si 4361 est divisible par 7. Même question avec 542.
  2. Démontrer ce critère.

Exercice 6: Chiffrement affine - congruences - Arithmétique maths expertes

Pour coder un message, on peut procéder de la façon suivante : chaque lettre du message munie de son numéro d'ordre n (voir tableau ci-dessous) est remplacée par la lettre de l'alphabet munie du numéro d'ordre p (0 ) obtenu à l'aide de la formule p \equiv 3 n + 7 \, [26].
  A     B     C    D     E     F    G     H    I     J    K     L    M  
  0     1     2     3     4     5     6     7     8     9     10     11     12  
  N     O     P     Q     R     S     T     U     V     W     X     Y     Z  
  13     14     15     16     17     18     19     20     21     22     23     24     25  
  1. Vérifier qu'avec ce chiffrement le S est remplacé par le J.
  2. Coder le mot SECRET.
  3. Montrer que si p \equiv 3n + 7 \, [26] alors n \equiv 9p +15 \, [26].
  4. Déchiffrer le message suivant : KGHSX

Exercice 7: suite et congruences - Arithmétique maths expertes

On considère la suite numérique (u_n) définie par u_0=14 et pour tout entier naturel n, u_{n+1} = 5u_n-6.
  1. Calculer u_1, u_2, u_3 et u_4.
    Quelle conjecture peut-on émettre concernant les deux derniers chiffres de u_n?
    1. Montrer que pour tout entier n, u_{n+2}\equiv u_n \, [4].
      En déduire que, pour tout entier naturel k, u_{2k+1}\equiv 0 \,[4] et u_{2k}\equiv 2 \,[4].
    2. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 2u_n=5^{n+2}+3.
    3. Montrer que, pour tout entier naturel n, 5^{n+2}\equiv 25 \,[100].
    4. En déduire que, pour tout entier naturel n, 2u_n \equiv 28 \,[100].
      Déterminer les deux derniers chiffres dans l'écriture décimale de u_n.

Exercice 8: Nombres de Fermat - congruences - Arithmétique maths expertes

On appelle nombres de Fermat les entiers F_n = 2^{2^n}+1 avec n un entier naturel.
    1. Calculer F_0, F_1, F_2, F_3 et F_4. Que remarque-t-on ?
    2. En 1640, Pierre de Fermat annonce qu'il est persuadé que les nombres F_n sont premiers.
      A l'aide de la calculatrice, vérifier que 641 divise F_5. Quelle question peut-on se poser ?
    1. Montrer que pour tout entier naturel n, F_{n+1} = (F_n -1)^2 +1.
    2. En déduire par un raisonnement par récurrence que pour n \geqslant 2, l'écriture décimale de F_n se termine par un 7.

Exercice 9: triangles rectangles côté divisible par 5 - congruences - Arithmétique maths expertes

  1. Compléter la table des restes modulo 5 ci-dessous:
    x\equiv 0 1 2 3 4
    x^2\equiv
  2. En déduire qu'un triangle rectangle qui a tous ses côtés entiers, en a au moins un qui est divisible par 5.

Exercice 10: Rep-unit et congruence - Bac S 2016 amérique du sud spécialité maths - Arithmétique maths expertes

Un rép-unit est un entier naturel dont l'écriture décimale ne comprend que le chiffre 1 comme par exemple 11 ou encore 111 111. Le but de cet exercice est de trouver tous les répunits qui sont des carrés parfaits.
  1. Soit n un entier naturel. On suppose que l'écriture décimale de n^2 se termine par le chiffre 1.
    1. Quel peut être le chiffre des unités de n ?
    2. En remarquant qu'un entier se terminant par 1 ou 9 peut s'écrire 10k + 1 ou 10k-1 avec k entier, montrer que n^2 \equiv 1 \, [20].
  2. En déduire tous les rép-units qui sont des carrés parfaits.

Exercice 11: congruence et carré parfait - Arithmétique maths expertes

Montrer sans utiliser de calculatrice et à l'aide des congruences, que 1295377 n'est pas un carré parfait.

Exercice 12: congruence et reste - Arithmétique maths expertes

  1. Déterminer le reste de 2^{2012} dans la division euclidienne par 5.
  2. En déduire le chiffre des unités de 2^{2012}.

Exercice 13: congruence et reste - Arithmétique maths expertes

Démontrer l'équivalence entre les deux propriétés \rm P_1 et \rm P_2 suivantes, pour a entier relatif :
  • \rm P_1 : L'équation d'inconnue x, ax\equiv 1~[6] n'a aucune solution dans \mathbb{Z}
  • \rm P_2 : a est divisible par 2 ou par 3.


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