Famille libre / famille liée - Espace vectoriel

Conseils

Cours

Comprendre la définition d'une famille est libre / liée + Savoir l'utiliser en exercice

Exercice type

pour savoir montrer qu'une famille est libre (en 6 min !)

Exercice type

pour savoir montrer qu'une famille est liée (en 8 min !)

Exercice 1: Famille libre - famille liée - espace vectoriel

Dans chaque cas, indiquer si la familles est libre dans $\mathbb{R}^3$:

$u=(1,~2,~3)$, $v=(2,~0,~7)$ et $w=(1,~4,~2)$
$u=(1,~2,~3)$, $v=(2,~0,~7)$ et $w=(1,~6,~2)$

Exercice 2: Famille libre - famille liée - espace vectoriel

Dans chaque cas, indiquer si les familles sont libres dans $\mathbb{R}^3$:

$(u,v)$ avec $u=(1,3,2)$ et $v=(2,1,3)$
$(u,v,w)$ avec $u=(2,1,-1)$ , $v=(1,-1,0)$ et $w=(3,3,-2)$

Exercice 3: Famille libre de vecteur de R^3 - famille liée - espace vectoriel

Soit $t$ un réel. On considère dans $\mathbb{R}^3$ les vecteurs: $u_1=(1,-t,0)$, $u_2=(0,1,1)$ et $u_3=(t,-1,0)$.
Pour quelles valeurs de $t$, la famille $(u_1,u_2,u_3)$ est-elle une famille libre ?

Exercice 4: Famille libre de vecteur dans un espace de fonction - famille liée - espace vectoriel

$f$, $g$ et $h$ désignent trois fonctions définies sur $\mathbb{R}$. Dans chaque cas, dire si la famille $(f,g,h)$ est une famille libre dans $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$:

$f:x\mapsto 1$ , $g:x\mapsto x$ et $h:x\mapsto \sin(x)$
$f:x\mapsto \cos(2x)$ , $g:x\mapsto \cos^2(x)$ et $h:x\mapsto \sin^2(x)$
$f:x\mapsto \sin(2x)$ , $g:x\mapsto \sin(x)$ et $h:x\mapsto \cos(x)$
$f:x\mapsto \sin(x)$ , $g:x\mapsto \cos(x)$ et $h:x\mapsto e^x$

Exercice 5: Famille libre de vecteur dans un espace de fonctions - exponentielle - famille liée - espace vectoriel

Pour tout $k\in\mathbb{N}$, on définit la fonction $f_k:x\mapsto e^{kx}$
Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$, la famille $(f_0,...,f_n)$ est libre dans $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$.

Exercice 6: Famille libre de vecteur avec des polynômes - - famille liée - espace vectoriel

Soit $n\in\mathbb{N}$. Pour $k\in[\![0;n]\!]$, on pose ${\rm P}_k={\rm X}^k(1-{\rm X})^{n-k}$.
Montrer que la famille $({\rm P}_k)_{0\leqslant k\leqslant n}$ est libre dans $\mathbb{R}_n[{\rm X}]$.

Exercice 7: Famille libre de vecteur dans un espace de fonctions - sinus - famille liée - espace vectoriel

Pour tout $k\in\mathbb{N}$, on définit la fonction $f_k:x\mapsto \sin^k(x)$
Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$, la famille $(f_0,f_1,...,f_n)$ est une famille libre dans $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$.
Même question lorsque $f_k:x \mapsto e^{kx}$

Exercice 8: Famille libre de vecteur dans un espace de fonctions - sinus - famille liée - espace vectoriel

Pour tout $k\in\mathbb{N}^*$, on définit la fonction $f_k:x\mapsto \sin(kx)$
Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}^*$, la famille $(f_1,f_2,...,f_n)$ est libre dans $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$.

Exercice 9: famille libre arithmétique irrationnel 1 √2 √3 libre - prépa mpsi pcsi ptsi - espace vectoriel

Montrer que $\sqrt{\dfrac 32}$ est irrationnel.
En déduire que la famille $(1,\sqrt 2, \sqrt 3)$ est une famille libre du $\mathbb{Q}$-espace vectoriel $\mathbb{R}$.

Famille libre et famille liée - espace vectoriel