Famille libre et famille liée dans un espace vectoriel

Conseils

Dans ce cours, tu vas découvrir les familles libres et les familles liées dans un espace vectoriel (noté $\rm E$). Tu vas apprendre comment montrer en exercice qu'une famille est libre ou liée.

👉 Au début, ces notions peuvent sembler abstraites 😵‍💫 mais en faisant des exercices, tu vas voir que cela devient beaucoup plus simple !

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📘 Cours : famille libre et famille liée – définition, méthode et exemples

📌 Famille liée

Une famille est liée lorsqu'un des vecteurs peut s'écrire comme combinaison linéaire des autres.
Mathématiquement, cela s'écrit :
$\exists (\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n)\in \mathbb{R}^n$ non tous nuls tels que $\lambda_1u_1+\lambda_2u_2+\cdots+\lambda_nu_n=0_{\rm E}$
Pour montrer qu'une famille est liée, il suffit de donner un vecteur qui s'exprime en fonction des autres.
Par exemple: $u_3=2u_1-4u_2$.
$u_3$ est combinaison linéaire de $u_1$ et $u_2$. Donc la famille $(u_1,u_2,u_3)$ est liée.
Une famille qui contient $0_{\rm E}$ (vecteur nul) est une famille liée.
Une famille qui contient deux fois le même vecteur est une famille liée.

📌 Famille libre

Une famille est libre lorsqu'elle n'est pas liée c'est à dire lorsqu'aucun vecteur ne peut s'écrire en fonction des autres 📍
Pour montrer qu'une famille est libre :
1. On écrit : Soit $\ (\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n)\in \mathbb{R}^n$ tels que $\lambda_1u_1+\lambda_2u_2+\cdots+\lambda_nu_n=0_{\rm E}$
2. On montre que cela aboutit à $\boldsymbol{\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_n=0}$
Si une famille de vecteurs $(u_1,u_2,\dots,u_n)$ est libre et que :
$ \lambda_1u_1+\lambda_2u_2+\cdots+\lambda_nu_n = \mu_1u_1+\mu_2u_2+\cdots+\mu_nu_n $ $\Rightarrow$ $ \lambda_1=\mu_1,\quad \lambda_2=\mu_2,\quad \dots,\quad \lambda_n=\mu_n $
Autrement dit, si un vecteur s'écrit comme combinaison linéaire des vecteurs d'une famille libre, alors il n'y a pas d'autre combinaison linéaire possible.
C'est le principe d'identification des coefficients avec une famille libre.
Une famille composée d'un seul vecteur non nul est libre.
Toute sous-famille (non vide) d'une famille libre est libre.

🎯 Objectif : comprendre les notions de famille libre et liée, savoir les reconnaître et réussir les exercices classiques.

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👉 Dans le cours ci-dessus, on s'est placé dans un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ pour ne pas rendre les choses trop abstraites.
👉 Si vous travaillez dans un espace vectoriel sur $\mathbb{C}$, il suffit de remplacer partout $\mathbb{R}^n$ par $\mathbb{C}^n$.

Pour bien maîtriser les notions de famille libre et de famille liée, il est essentiel de s'entraîner avec des exercices variés.

👉 Les exercices suivants permettent de revoir les méthodes classiques pour montrer qu'une famille est libre ou liée dans un espace vectoriel.

👉 Tu trouveras des exercices progressifs dans $\mathbb{R}^3$, dans des espaces de fonctions ainsi que des exercices plus difficiles, idéals pour se préparer au niveau prépa 💪

✏️ Exercices : familles libres et liées – méthodes et applications

Exercice 1: Famille libre - famille liée - espace vectoriel

Dans chaque cas, indiquer si la famille est libre dans $\mathbb{R}^3$:

$u=(1,~2,~3)$, $v=(2,~0,~7)$ et $w=(1,~4,~2)$
$u=(1,~2,~3)$, $v=(2,~0,~7)$ et $w=(1,~6,~2)$

Exercice 2: Famille libre - famille liée - espace vectoriel

Dans chaque cas, indiquer si les familles sont libres dans $\mathbb{R}^3$:

$(u,v)$ avec $u=(1,3,2)$ et $v=(2,1,3)$
$(u,v,w)$ avec $u=(2,1,-1)$ , $v=(1,-1,0)$ et $w=(3,3,-2)$

Exercice 3: Famille libre de vecteur de R^3 - famille liée - espace vectoriel

Soit $t$ un réel. On considère dans $\mathbb{R}^3$ les vecteurs: $u_1=(1,-t,0)$, $u_2=(0,1,1)$ et $u_3=(t,-1,0)$.
Pour quelles valeurs de $t$, la famille $(u_1,u_2,u_3)$ est-elle une famille libre ?

Exercice 4: Famille libre de vecteur dans un espace de fonction - famille liée - espace vectoriel

$f$, $g$ et $h$ désignent trois fonctions définies sur $\mathbb{R}$. Dans chaque cas, dire si la famille $(f,g,h)$ est une famille libre dans $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$:

$f:x\mapsto 1$ , $g:x\mapsto x$ et $h:x\mapsto \sin(x)$
$f:x\mapsto \cos(2x)$ , $g:x\mapsto \cos^2(x)$ et $h:x\mapsto \sin^2(x)$
$f:x\mapsto \sin(2x)$ , $g:x\mapsto \sin(x)$ et $h:x\mapsto \cos(x)$
$f:x\mapsto \sin(x)$ , $g:x\mapsto \cos(x)$ et $h:x\mapsto e^x$

Exercice 5: Famille libre de vecteur dans un espace de fonctions - exponentielle - famille liée - espace vectoriel

Pour tout $k\in\mathbb{N}$, on définit la fonction $f_k:x\mapsto e^{kx}$
Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$, la famille $(f_0,...,f_n)$ est libre dans $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$.

Exercice 6: Famille libre de vecteur avec des polynômes - - famille liée - espace vectoriel

Soit $n\in\mathbb{N}$. Pour $k\in[\![0;n]\!]$, on pose ${\rm P}_k={\rm X}^k(1-{\rm X})^{n-k}$.
Montrer que la famille $({\rm P}_k)_{0\leqslant k\leqslant n}$ est libre dans $\mathbb{R}_n[{\rm X}]$.

Exercice 7: Famille libre de vecteur dans un espace de fonctions - sinus - famille liée - espace vectoriel

Pour tout $k\in\mathbb{N}$, on définit la fonction $f_k:x\mapsto \sin^k(x)$
Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$, la famille $(f_0,f_1,...,f_n)$ est une famille libre dans $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$.
Même question lorsque $f_k:x \mapsto e^{kx}$

Exercice 8: Famille libre de vecteur dans un espace de fonctions - sinus - famille liée - espace vectoriel

Pour tout $k\in\mathbb{N}^*$, on définit la fonction $f_k:x\mapsto \sin(kx)$
Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}^*$, la famille $(f_1,f_2,...,f_n)$ est libre dans $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$.

Exercice 9: famille libre arithmétique irrationnel 1 √2 √3 libre - prépa mpsi pcsi ptsi - espace vectoriel

Montrer que $\sqrt{\dfrac 32}$ est irrationnel.
En déduire que la famille $(1,\sqrt 2, \sqrt 3)$ est une famille libre du $\mathbb{Q}$-espace vectoriel $\mathbb{R}$.