Exercice
1: Montrer qu'une application est linéaire - espace vectoriel -
Algèbre linéaire
Soit l'application $f$ de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}^2$ définie par $f(x, ~y,
~z)=(2x+y-z,~x+y)$. Démontrer que $f$ est linéaire.
Exercice
2: noyau et image d'une application linéaire - Ker(f) Im(f)
espace vectoriel -
Algèbre linéaire
Soit l'application linéaire $f$ de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}^2$ définie par $f(x, ~y,
~z)=(2x+y-z,~x+y)$.
Déterminer son noyau, son image. $f$ est-elle injective ? surjective ?
Exercice
3: noyau et image d'une application linéaire - Ker(f) Im(f)
espace vectoriel -
Algèbre linéaire
Soit $f\in \mathcal{L}(~\mathbb{R}^4,~\mathbb{R}^3)$ définie par $f(x, ~y,
~z,~t)=(x+2y+3z-2t,~y+z-t,~x-y+t)$.
Déterminer son noyau, son image. $f$ est-elle injective ? surjective ?
Exercice
4: rang d'une application linéaire - dimension de Ker(f) Im(f)
- théorème du rang - espace vectoriel -
Algèbre linéaire
Soit $f\in \mathcal{L}(~\mathbb{R}^3)$ tel que $f^2=0$ et $f\ne 0$.
Déterminer le rang de $f$.
Exercice
5: rang d'une application linéaire fog dimension de Ker(f) Im(f)
- théorème du rang - espace vectoriel -
Algèbre linéaire
Soit $f$ et $g$ deux endomorphismes d'un espace vectoriel E de dimension finie.
Démontrer que : ${\rm rg}(g\circ f)\leqslant {\rm min}({\rm rg}(f),~{\rm rg}(g))$.
