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Terminale

Convexité

Conseils
Fonction convexe concave
Cours

Comprendre la notion de convexité

Cours Comment

étudier la convexité d'une fonction, lien avec les dérivées, point d'inflexion

Cours Comprendre

$f$ convexe $\Leftrightarrow$ $f''$ positive $\Leftrightarrow$ $\mathscr{C}_f$ au dessus de ses tangentes

Application pour connaitre la convexité d'une fonction
Exercice 1:

Étudier la convexité d'une fonction - Nathan Hyperbole

$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x-1)\mathrm{e}^x$.
  1. Déterminer la dérivée seconde $f''$ de $f$.
  2. Étudier le signe de $f''(x)$ selon les valeurs de $x$.
  3. En déduire les intervalles sur lesquels la fonction $f$ est convexe ou concave. Préciser les points d'inflexion de la courbe représentative $\mathscr{C}$ de $f$ dans un repère.
Exercice 2:

Étudier la convexité d'une fonction - Nathan Hyperbole

Dans chaque cas, $f$ est une fonction deux fois dérivable sur $I$. Étudier le signe de $f''(x)$ sur $I$. En déduire la convexité de $f$ et les abscisses des points d'inflexion.
  1. $f''(x) = \dfrac{3x^2 - 3x - 6}{(x-1)^3}$     $\rm I = ]1~;~+\infty[$
  2. $f''(x) = (-0,08x+0,4)\mathrm{e}^{0,2x-3}$     $\rm I = \mathbb{R}$
  3. $f''(x) = (4x-10)\sqrt{5x+2}$     $\rm I = ]0~;~+\infty[$
Exercice 3:

Étudier la convexité d'une fonction - Nathan Hyperbole

$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 4$.
  1. Déterminer, pour tout réel $x$, $f'(x)$ et $f''(x)$.
  2. Dresser le tableau de signes de $f''(x)$ sur $\mathbb{R}$ et en déduire la convexité de la fonction $f$.
Exercice 4:

Convexité et lecture graphique dérivée

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur l'intervalle $[-6 ~;~ 5]$. On donne dans le repère ci-dessous, la courbe $\mathscr{C'}$ représentative de la fonction $f'$, dérivée de $f$.
  1. Dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $[-6 ~;~ 5]$.
  2. Étudier la convexité de $f$ sur l'intervalle $[-6 ~;~ 5]$ et préciser les abscisses des points d'inflexion de la courbe $\mathscr{C}$ représentative de la fonction $f$.
Exercice 5:

Inégalité et convexité - exponentielle

On note $f$ la fonction exponentielle et $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère.
  1. La fonction exponentielle est-elle convexe ou concave sur $\mathbb{R}$ ? Démontrez-le.
  2. Donner l'équation réduite de la tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse $0$.
  3. En déduire que pour tout réel $x$, $ \mathrm{e}^x \geqslant 1 + x$.
Exercice 6:

Inégalité et convexité - logarithme

On note $f$ la fonction logarithme népérien et $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère.
  1. La fonction logarithme népérien est-elle convexe ou concave sur $]0~;~+\infty[$ ? Démontrez-le.
  2. Donner l'équation réduite de la tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse $1$.
  3. En déduire que pour tout réel $x>0$, $ \ln x \leqslant x-1$.
Exercice 7:

Étudier la convexité d'une fonction - logarithme

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par : $f(x) = (\ln (x))^2$.
Étudier la convexité de $f$ et préciser les abscisses des éventuels points d'inflexion de la courbe représentative de la fonction $f$.
Exercice 8:

Utiliser la convexité d'une fonction pour obtenir une inégalité - Nathan Hyperbole

$g$ est la fonction définie sur $[0 ~;~ +\infty[$ par $g(x) = \sqrt{x}$ et on note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère.
  1. Rappeler la convexité de la fonction $g$.
    1. Déterminer $g'(x)$ pour tout réel $x$ de $]0 ~;~ +\infty[$, puis le nombre dérivé $g'(1)$.
    2. En déduire une équation de la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point d'abscisse $1$.
  2. Utiliser les réponses aux questions précédentes pour démontrer que pour tout réel $x$ de $[0 ~;~ +\infty[$, on a $\sqrt{x} \leqslant \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}$.


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