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Terminale

Convexité
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Conseils
Fonction convexe concave
Cours

Comprendre la notion de convexité

Cours Comment

étudier la convexité d'une fonction, lien avec les dérivées, point d'inflexion

Application pour connaitre la convexité d'une fonction
Exercice 1:

Étudier la convexité d'une fonction - Nathan Hyperbole

$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 4$.
  1. Déterminer, pour tout réel $x$, $f'(x)$ et $f''(x)$.
  2. Dresser le tableau de signes de $f''(x)$ sur $\mathbb{R}$ et en déduire la convexité de la fonction $f$.
Exercice 2:

Utiliser la convexité d'une fonction pour obtenir une inégalité - Nathan Hyperbole

$g$ est la fonction définie sur $[0 ~;~ +\infty[$ par $g(x) = \sqrt{x}$ et on note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère.
  1. Rappeler la convexité de la fonction $g$.
    1. Déterminer $g'(x)$ pour tout réel $x$ de $]0 ~;~ +\infty[$, puis le nombre dérivé $g'(1)$.
    2. En déduire une équation de la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point d'abscisse $1$.
  2. Utiliser les réponses aux questions précédentes pour démontrer que pour tout réel $x$ de $[0 ~;~ +\infty[$, on a $\sqrt{x} \leqslant \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}$.