Calculer des dérivées

Formules de dérivation

Conseils pour ce chapitre:

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Comment travailler efficacement
Conseils pour le jour du bac

Dérivée sur un intervalle

Dire qu'une fonction est dérivable sur un intervalle I
signifie
que cette fonction est dérivable pour tout $x$ de I

Autrement dit que
$f'(x)$ existe pour tout $x$ de I

Les théorèmes ci-dessous, permettent de justifier
qu'une fonction est dérivable sur un intervalle
et
donnent la dérivée.

♦
Dériver des fonctions simples : $x$, $3x$, $5x+2$

♦
Dériver une fonction polynôme du second degré

♦
Dériver une fonction polynôme du troisième degré

♦
Dérivée
de $\boldsymbol{x^n}$: cours en vidéo

♦
Dériver avec une constante au dénominateur

♦
Dériver $\dfrac 1x$

♦
Dérivée
de $\displaystyle\boldsymbol{\frac 1{x^n}}$

♦
Dérivée
d'un produit

Dérivée de $\boldsymbol{kv}$

Si $\boldsymbol{u}$ est une fonction dérivable sur un intervalle I
alors $\boldsymbol{ku}$ est aussi dérivable sur I

$k$ est une constante réelle

et on a $\boldsymbol{(ku)'=k\times u'}$

Attention
on ne dérive pas le $k$!

Pour dériver $f(x)=3x^2$
$f'(x)=3\times 2x$
Dérivée de $\boldsymbol{u\times v}$

Si $\boldsymbol{u}$ et $\boldsymbol{v}$ sont 2 fonctions dérivables sur un même intervalle I
alors $\boldsymbol{uv}$ est aussi dérivable sur I
et on a
$\boldsymbol{(u \times v)'=u'v+uv'}$

Exemple:
$f(x)=x\sqrt{x}$
on écrit $u(x)=x$ et $v(x)=\sqrt{x}$
$u$ et $v$ sont dérivables sur $]0;+\infty[$ donc $f$ aussi.
et on a $u'(x)=1$ et \[v'(x)=\frac 1{2\sqrt x} \]
Donc \[f'(x)=1\times \sqrt{x}+x\times \frac 1{2\sqrt x} \].
Ne pas confondre $k+u$ et $k\times u$

$(k+u)'=0+u'=u'$

où $k$ est une constante

$(ku)'=k\times u'$

Quand la constante $k$ est dans une multiplication,
on ne dérive pas le $\boldsymbol k$!

Exemple:
Soit $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=4+x^2$ et $g(x)=4x^2$
$f'(x)=0+2x=2x$
$g'(x)=4\times 2x=8x$

Surtout ne pas écrire:
$g'(x)=0\times 2x$
mais
$g'(x)=4\times 2x$

♦
Dérivée
d'un quotient

Dérivée de \[\boldsymbol{\frac 1u}\]

Si $\boldsymbol{u}$ est une fonction dérivable sur un intervalle I
qui ne s'annule pas sur cet intervalle
alors \[\boldsymbol{\frac 1u}\] est aussi dérivable sur I
et on a
\[\boldsymbol{\left(\frac 1u\right)'=-\frac{u'}{u^2}}\]

Exemple:
\[f(x)=\frac1{x^2+1} \]
On écrit $u(x)=x^2+1$
$u$ ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$ et $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
donc \[\frac 1u \], c'est à dire $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
On a $u'(x)=2x$ donc \[ f'(x)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}\]
Dérivée de \[\boldsymbol{\frac uv}\]

Si $\boldsymbol{u}$ et $\boldsymbol{v}$ sont 2 fonctions dérivables sur un même intervalle I
et si $\boldsymbol{v}$ ne s'annule pas sur cet intervalle
alors \[\boldsymbol{\frac uv}\] est aussi dérivable sur I
et on a
\[\boldsymbol{\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}}\]

Exemple:
\[ f(x)=\frac{x^2}{x-1}\] sur $]1;+\infty[$
On écrit $u(x)=x^2$ et $v(x)=x-1$
$u$ et $v$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ donc sur $]1;+\infty[$
$v$ ne s'annule pas sur $]1;+\infty[$
donc \[ \frac uv\], c'est à dire $f$ est dérivable sur $]1;+\infty[$
Pour tout $x\in ]1;+\infty[$, on a $u'(x)=2x$ et $v'(x)=1$
donc \[ f'(x)=\frac{2x\times (x-1)-x^2\times 1}{(x-1)^2}\]

Puis on arrange et on obtient:
\[ f'(x)=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}\]

Surtout ne pas développer le dénominateur,
car on voit que c'est un carré donc positif.
Et c'est très pratique de connaitre le signe
quand on a dérivé!
Constante au numérateur

Quand on a \[ \frac ku\]

où $k$ est une constante

on l'écrit: \[\boldsymbol{ \frac ku=k\times \frac 1u}\]

c'est plus pratique pour dériver
ça évite d'utiliser la formule de $\displaystyle \boldsymbol{\frac uv}$

Exemple:
Soit $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par \[ f(x)=\frac 3x\]
on écrit \[ f(x)=3\times \frac 1x\]
donc \[ f'(x)=3\times \frac{-1}{x^2}\]
Constante au dénominateur

Quand on a \[ \frac uk\]

où $k$ est une constante

On l'écrit: \[\boldsymbol{\frac uk=\frac 1k\times u}\]

C'est plus pratique pour dériver
ça évite d'utiliser la formule de $\displaystyle \boldsymbol{\frac uv}$

Exemple:
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par \[ f(x)=\frac {x^2}4\]
on écrit \[f(x)=\frac 14\times x^2 \]
donc \[ f'(x)=\frac 14 \times 2x\]
Comment faire en exercice

1) Décomposer la fonction

On décompose la fonction de façon à faire apparaitre:
\[ x^n\], \[\frac 1{x^n} \], \[u+v \], \[ku \], \[ uv\], \[ \frac 1u\], \[\frac uv \]

2) Justifier la dérivabilité

On justifie que la fonction est dérivable sur l'intervalle indiqué
à l'aide des théorèmes ci-dessus.

3) On calcule la dérivée

Exemple:
Soit $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par \[f(x)=3x^2+\frac 5x \]
1) \[ f(x)=3\times x^2+5\times \frac 1x\]

$f(x)$ est de la forme:
$f=k_1 \times u + k_2\times v$

où $u(x)=x^2$ et \[ v(x)=\frac 1x\]

$u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ donc sur $]0;+\infty[$
$v$ est dérivable sur $]0;+\infty[$

2) $f$ est la somme et produit de fonctions dérivables sur $]0;+\infty[$ donc $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$
3) $f=k_1 \times u + k_2\times v$

où $u(x)=x^2$ et \[v(x)=\frac 1x \]

Donc $f'=k_1\times u'+k_2\times v'$

comme $u(x)=x^2$, $u'(x)=2x$
et \[ v(x)=\frac 1x\], \[ v'(x)=-\frac 1{x^2}\]

Donc \[f'(x)=3\times 2x+5\times (-\frac 1{x^2}) \]

Puis on arrange et on obtient:
\[ f(x)=6x-\frac 5{x^2}\]
Une erreur classique

Erreur classique concernant $\displaystyle \boldsymbol{uv}$ et $\displaystyle \boldsymbol{\frac uv}$

Les théorèmes qui permettent de conclure que $\displaystyle \boldsymbol{uv}$ et $\displaystyle \boldsymbol{\frac uv}$ sont dérivables
reposent sur le fait que $u$ et $v$ sont toutes les 2 dérivables sur un intervalle I.
Mais si $\boldsymbol{u}$ ou $\boldsymbol{v}$ ou les deux ne sont pas dérivables sur I, on ne peut rien conclure.

Surtout ne pas croire
par exemple
que si l'une est dérivable sur I et l'autre pas
alors $\boldsymbol{uv}$ n'est pas dérivable sur I!
Dès que l'une des deux n'est pas dérivable en $a$
pour savoir si $uv$ est dérivable ou pas en $a$
on utilise la définition

On cherche
la limite de \[\frac{f(a+h)-f(a)}h\] quand $h$ tend vers 0.
Si cette limite est finie, la fonction est dérivable en $a$,
Si la limite n'existe pas ou est infinie, la fonction n'est pas dérivable en $a$.

Corrigé en vidéo! Exercices 1: Dérivation - première spé maths

$f$ est une fonction définie sur $\mathbb{R}$. Dans chaque cas, déterminer l'expression de $f'(x)$:

$f(x)=x$
$f(x)=3x$
$f(x)=5x+2$
$f(x)=3x^2-7x+1$

Corrigé en vidéo! Exercices 2: Dérivation - première spé maths

Avec un logiciel de calcul formel, on a obtenu la fonction dérivée $g'$ d'une fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$.

Retrouver les coefficients cachés.

Corrigé en vidéo! Exercices 3: Dérivation - première spé maths

$f$ est une fonction définie sur $\mathbb{R}$. Dans chaque cas, déterminer l'expression de $f'(x)$:

$f(x)=3-x$
$f(x)=x^3-4x^2$
$f(x)=\dfrac 12x^3-x-1$

Corrigé en vidéo! Exercices 4: Dérivation - première spé maths

$f$ est une fonction définie sur $\mathbb{R}$. Dans chaque cas, déterminer l'expression de $f'(x)$:

$f(x)=0,5x^2-2x$
$f(x)=5-2,7x^2$
$f(x)=\dfrac 23x^3-0,5x^2-4x+1$
$f(x)=\dfrac {-3x^4+5x^2-6x+4}2$

Corrigé en vidéo! Exercices 5: Dérivée d'un polynôme

Dans chaque cas, justifier que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et calculer pour tout $x$ réel, $f'(x)$:
1. $\displaystyle f(x)=3x^4-\frac {15x^2}2-5x+3$
2. $\displaystyle f(x)=(4x^2+2)(3x-1)$
3. $\displaystyle f(x)=(4x-3)^2$
4. $\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt 2}3(4x^2-5x+1)$

Corrigé en vidéo! Exercices 6: Dérivée d'un produit - Dérivation et racine

Dans chaque cas, justifier que $f$ est dérivable sur $I$ et calculer $f'(x)$:
1. $f(x) = \displaystyle{\frac{1}{6}}x^3-x+7$ avec $I = \mathbb{R}$
2. $f(x) = \displaystyle{\frac{2}{x^2+1}}$ avec $I = \mathbb{R}$
3. $f(x) = \displaystyle{\frac{x^2-x}{2x-4}}$ avec $I = \mathbb{R}\setminus \{2\}$

Corrigé en vidéo! Exercices 7: Dérivée d'un produit - Dérivation et racine

Dans chaque cas, justifier que $f$ est dérivable sur ${\rm D}_f$ et calculer $f'(x)$ pour $x\in {\rm D}_f$.
1. $f(x)=(3x+1)(x^2+x)$ et ${\rm D}_f=\mathbb{R}$
2. $f(x)=(x^3-1)\sqrt x$ et ${\rm D}_f=]0;+\infty[$

Corrigé en vidéo! Exercices 8: Dérivée d'un quotient

Dans chaque cas, justifier que $f$ est dérivable sur ${\rm D}_f$ et calculer $f'(x)$ pour $x\in {\rm D}_f$.
1. $\displaystyle f(x)=\frac 3x-\frac{4}{5x^3}$ et ${\rm D}_f=]-\infty;0[\cup ]0;+\infty[$
2. $\displaystyle f(x)=\frac {3x}4-2+\frac 5{x^2}$ et ${\rm D}_f=]-\infty;0[$

Corrigé en vidéo! Exercices 9: Dérivée d'un quotient

Dans chaque cas, justifier que $f$ est dérivable sur ${\rm D}_f$ et calculer $f'(x)$ pour $x\in {\rm D}_f$.
1. $\displaystyle f(x)=\frac 3{2\sqrt x}$ et ${\rm D}_f=]0;+\infty[$
2. $\displaystyle f(x)=\frac {x^2+x+2}2$ et ${\rm D}_f=\mathbb{R}$
3. $\displaystyle f(x)=\frac {x^2+x+2}{1-x}$ et ${\rm D}_f=]-\infty;1[$

Corrigé en vidéo! Exercices 10: Dérivée d'un quotient

Dans chaque cas, justifier que $f$ est dérivable sur ${\rm D}_f$ et calculer $f'(x)$ pour $x\in {\rm D}_f$.
1. $\displaystyle f(x)=\frac 5{x-4}$ et ${\rm D}_f=]4;+\infty[$
2. $\displaystyle f(x)=\frac {5x}{x-4}$ et ${\rm D}_f=]4;+\infty[$

Corrigé en vidéo! Exercices 11: Dérivée et racine carrée

Dans chaque cas, justifier que $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et pour $x\in ]0;+\infty[$, calculer $f'(x)$:
1. $\displaystyle f(x)=4\sqrt{x}-\frac 3x$
2. $\displaystyle f(x)=6x\sqrt{x}$
3. $\displaystyle f(x)=\frac{3x-2}{\sqrt{x}}$

Calcul de dérivée

Dériver des fonctions simples : $x$, $3x$, $5x+2$

Dériver une fonction polynôme du second degré

Dériver une fonction polynôme du troisième degré

Dérivée

Dériver avec une constante au dénominateur

Dériver $\dfrac 1x$

Dérivée

Dérivée

Dérivée

Calcul de dérivée : Exercices