j'ai compris mes maths
J'ai compris.com
Cours et exercices corrigés en vidéo comme en classe
lycée
collège
primaire
Manuel scolaire

Web


En construction

En construction

Première S

Calcul de dérivée

Formules de dérivation
  • Conseils pour ce chapitre:
    • Regarder le cours précédent sur la définition de la dérivée
  • Comment travailler efficacement Cours de math en vidéo
  • Conseils pour le jour du bac Cours de math en vidéo

  • Dérivée sur un intervalle
    Dire qu'une fonction est dérivable sur un intervalle I
    signifie
    que cette fonction est dérivable pour tout $x$ de I
    Autrement dit que
    $f'(x)$ existe pour tout $x$ de I

    Les théorèmes ci-dessous, permettent de justifier
    qu'une fonction est dérivable sur un intervalle
    et
    donnent la dérivée.

Dérivée

de fonction du type $\boldsymbol{k}$, $\boldsymbol{x}$, $\boldsymbol{x^2}$, $\boldsymbol{x^n}$: cours en vidéo Cours de math en vidéo
  • Dérivée d'une constante Cours de math en vidéo  
    Si $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $\boldsymbol{f(x)=k}$
    $k$ est une constante réelle

    alors $f$ est dérivable sur $\boldsymbol{\mathbb{R}}$ et pour tout $x$ réel, $\boldsymbol{f'(x)=0}$
    Exemple:
    Si $f(x)=3$ alors $f'(x)=0$

  • Dérivée de $\boldsymbol{x}$ Cours de math en vidéo  
    Si $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $\boldsymbol{f(x)=x}$
    alors $f$ est dérivable sur $\boldsymbol{\mathbb{R}}$ et pour tout $x$ réel, $\boldsymbol{f'(x)=1}$
  • Dérivée de $\boldsymbol{x^2}$ Cours de math en vidéo
    Si $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $\boldsymbol{f(x)=x^2}$
    alors $f$ est dérivable sur $\boldsymbol{\mathbb{R}}$ et pour tout $x$ réel, $\boldsymbol{f'(x)=2x}$
  • Dérivée de $\boldsymbol{x^n}$ Cours de math en vidéo
    Si $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $\boldsymbol{f(x)=x^n}$
    $\boldsymbol{n}$ est un entier supérieur ou égal à 2!

    alors $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout $x$ réel, $\boldsymbol{f'(x)=nx^{n-1}}$
    Exemple:
    Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par \[ f(x)=x^5\]
    $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
    car elle est de la forme $x^n$
    avec $n$ entier strictement positif

    Et pour tout $x$ réel, $f(x)=5x^4$
    On applique la formule avec $n=5$.

Dérivée

de fonction du type $\displaystyle \boldsymbol{\frac 1x}$, $\displaystyle\boldsymbol{\frac 1{x^n}}$: cours en vidéo Cours de math en vidéo
  • Dérivée de \[\boldsymbol{\frac 1x}\] Cours de math en vidéo
    Si $f$ est définie sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ par \[ \boldsymbol{f(x)=\frac 1x}\]
    alors $f$ est dérivable sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ et pour tout $x$ non nul, \[ \boldsymbol{f'(x)=-\frac 1{x^2}}\]
  • Dérivée de \[\boldsymbol{\frac1{x^n}}\]
    Si $f$ est définie sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ par \[\boldsymbol{f(x)=\frac 1{x^n}} \]
    $n$ est un entier strictement positif

    alors $f$ est dérivable sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$
    et pour dériver, on écrit \[\frac 1{x^n}=x^{-n} \]
    Puis on applique la formule $f(x)=x^n$ alors $f'(x)=nx^{n-1}$
    formule encore valable
    avec $n$ entier strictement négatif.


    Exemple:
    Pour calculer la dérivée de \[ f(x)=\frac 1{x^3}\], on écrit:
    Pour tout $x$ non nul:
    1) \[f(x)=\frac 1{x^3}=x^{-3} \]
    On utilise \[ \frac 1{x^n}=x^{-n}\]

    2) $f'(x)=-3x^{-3-1}=-3x^{-4}$
    Attention,
    on voit souvent l'erreur
    $f'(x)=-3x^{-2}$
    L'erreur c'est d'avoir
    rajouter 1 au lieu d'enlever 1.

    3) \[ f'(x)=-\frac 3{x^4}\]
    On se débarrasse des puissances négatives
    On utilise \[ x^{-n}=\frac 1{x^n}\]

Dérivée

de la fonction racine carrée: cours en vidéo Cours de math en vidéo
  • Dérivée de $\boldsymbol{\sqrt{x}}$
    La fonction racine carrée est définie sur $[0;+\infty[$ mais n'est dérivable que sur $]0;+\infty[$
    Autrement dit,
    la fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0!!!!


    Si $f$ est définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x}$
    alors pour tout $\boldsymbol{x>0}$, $\displaystyle f'(x)=\frac 1{2\sqrt{x}}$
    On peut retrouver cette formule
    en utilisant la dérivée de $\boldsymbol{x^n}$ avec $n=\frac 12$
    La dérivée de $x^n$ est $nx^{n-1}$
    $\displaystyle f(x)=\sqrt x=x^{\frac 12}$
    Donc en appliquant la formule de dérivation de $x^n$ à $\displaystyle{x^{\frac 12}}$, on obtient
    $\displaystyle f'(x)=\frac 12 x^{\frac 12 -1}=\frac 12 x^{-\frac 12}=\frac 12 \frac 1{x^{\frac 12}}=\frac 1{2\sqrt{x}}$

Dérivée

d'une somme
: cours en vidéo Un peu de patience, la vidéo est bientôt prête
  • Dérivée de $\boldsymbol{u+v}$
    Dérivée d'une somme
    Pour la dérivée d'une soustraction
    c'est la même méthode,
    le + est transformé en -

    Si $\boldsymbol u$ et $\boldsymbol v$ sont deux fonctions dérivables sur un même intervalle I,
    alors $\boldsymbol{u+v}$ est aussi dérivable sur I
    et on a $\boldsymbol{(u+v)'=u'+v'}$
    Autrement dit:
    Quand on veut dériver une somme de fonctions
    on les dérive séparement et puis on additionne les dérivées.

    Exemple:
    Pour dériver $f(x)=x+x^2$
    On écrit:
    $f$ est la somme de 2 fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$
    Donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
    Et pour tout $x$ réel, $f'(x)=1+2x$

Dérivée

d'un produit
: cours en vidéo Cours de math en vidéo
  • Dérivée de $\boldsymbol{kv}$
    Si $\boldsymbol{u}$ est une fonction dérivable sur un intervalle I
    alors $\boldsymbol{ku}$ est aussi dérivable sur I
    $k$ est une constante réelle

    et on a $\boldsymbol{(ku)'=k\times u'}$
    Attention
    on ne dérive pas le $k$!

    Pour dériver $f(x)=3x^2$
    $f'(x)=3\times 2x$

  • Dérivée de $\boldsymbol{u\times v}$
    Si $\boldsymbol{u}$ et $\boldsymbol{v}$ sont 2 fonctions dérivables sur un même intervalle I
    alors $\boldsymbol{uv}$ est aussi dérivable sur I
    et on a
    $\boldsymbol{(u \times v)'=u'v+uv'}$
    Exemple:
    $f(x)=x\sqrt{x}$
    on écrit $u(x)=x$ et $v(x)=\sqrt{x}$
    $u$ et $v$ sont dérivables sur $]0;+\infty[$ donc $f$ aussi.
    et on a $u'(x)=1$ et \[v'(x)=\frac 1{2\sqrt x} \]
    Donc \[f'(x)=1\times \sqrt{x}+x\times \frac 1{2\sqrt x} \].

  • Ne pas confondre $k+u$ et $k\times u$
    $(k+u)'=0+u'=u'$
    où $k$ est une constante

    $(ku)'=k\times u'$
    Quand la constante $k$ est dans une multiplication,
    on ne dérive pas le $\boldsymbol k$!

    Exemple:
    Soit $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=4+x^2$ et $g(x)=4x^2$
    $f'(x)=0+2x=2x$
    $g'(x)=4\times 2x=8x$
    Surtout ne pas écrire:
    $g'(x)=0\times 2x$
    mais
    $g'(x)=4\times 2x$

Dérivée

d'un quotient
: cours en vidéo Cours de math en vidéo
  • Dérivée de \[\boldsymbol{\frac 1u}\]
    Si $\boldsymbol{u}$ est une fonction dérivable sur un intervalle I
    qui ne s'annule pas sur cet intervalle
    alors \[\boldsymbol{\frac 1u}\] est aussi dérivable sur I
    et on a
    \[\boldsymbol{\left(\frac 1u\right)'=-\frac{u'}{u^2}}\]
    Exemple:
    \[f(x)=\frac1{x^2+1} \]
    On écrit $u(x)=x^2+1$
    $u$ ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$ et $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
    donc \[\frac 1u \], c'est à dire $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
    On a $u'(x)=2x$ donc \[ f'(x)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}\]

  • Dérivée de \[\boldsymbol{\frac uv}\]
    Si $\boldsymbol{u}$ et $\boldsymbol{v}$ sont 2 fonctions dérivables sur un même intervalle I
    et si $\boldsymbol{v}$ ne s'annule pas sur cet intervalle
    alors \[\boldsymbol{\frac uv}\] est aussi dérivable sur I
    et on a
    \[\boldsymbol{\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}}\]
    Exemple:
    \[ f(x)=\frac{x^2}{x-1}\] sur $]1;+\infty[$
    On écrit $u(x)=x^2$ et $v(x)=x-1$
    $u$ et $v$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ donc sur $]1;+\infty[$
    $v$ ne s'annule pas sur $]1;+\infty[$
    donc \[ \frac uv\], c'est à dire $f$ est dérivable sur $]1;+\infty[$
    Pour tout $x\in ]1;+\infty[$, on a $u'(x)=2x$ et $v'(x)=1$
    donc \[ f'(x)=\frac{2x\times (x-1)-x^2\times 1}{(x-1)^2}\]
    Puis on arrange et on obtient:
    \[ f'(x)=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}\]

    Surtout ne pas développer le dénominateur,
    car on voit que c'est un carré donc positif.
    Et c'est très pratique de connaitre le signe
    quand on a dérivé!


  • Constante au numérateur
    Quand on a \[ \frac ku\]
    où $k$ est une constante

    on l'écrit: \[\boldsymbol{ \frac ku=k\times \frac 1u}\]
    c'est plus pratique pour dériver
    ça évite d'utiliser la formule de $\displaystyle \boldsymbol{\frac uv}$

    Exemple:
    Soit $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par \[ f(x)=\frac 3x\]
    on écrit \[ f(x)=3\times \frac 1x\]
    donc \[ f'(x)=3\times \frac{-1}{x^2}\]

  • Constante au dénominateur
    Quand on a \[ \frac uk\]
    où $k$ est une constante

    On l'écrit: \[\boldsymbol{\frac uk=\frac 1k\times u}\]
    C'est plus pratique pour dériver
    ça évite d'utiliser la formule de $\displaystyle \boldsymbol{\frac uv}$

    Exemple:
    Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par \[ f(x)=\frac {x^2}4\]
    on écrit \[f(x)=\frac 14\times x^2 \]
    donc \[ f'(x)=\frac 14 \times 2x\]

  • Comment faire en exercice
    1) Décomposer la fonction
    On décompose la fonction de façon à faire apparaitre:
    \[ x^n\], \[\frac 1{x^n} \], \[u+v \], \[ku \], \[ uv\], \[ \frac 1u\], \[\frac uv \]

    2) Justifier la dérivabilité
    On justifie que la fonction est dérivable sur l'intervalle indiqué
    à l'aide des théorèmes ci-dessus.

    3) On calcule la dérivée
    Exemple:
    Soit $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par \[f(x)=3x^2+\frac 5x \]
    1) \[ f(x)=3\times x^2+5\times \frac 1x\]
    $f(x)$ est de la forme:
    $f=k_1 \times u + k_2\times v$
    où $u(x)=x^2$ et \[ v(x)=\frac 1x\]
    $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ donc sur $]0;+\infty[$
    $v$ est dérivable sur $]0;+\infty[$



    2) $f$ est la somme et produit de fonctions dérivables sur $]0;+\infty[$ donc $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$
    3) $f=k_1 \times u + k_2\times v$
    où $u(x)=x^2$ et \[v(x)=\frac 1x \]

    Donc $f'=k_1\times u'+k_2\times v'$
    comme $u(x)=x^2$, $u'(x)=2x$
    et \[ v(x)=\frac 1x\], \[ v'(x)=-\frac 1{x^2}\]

    Donc \[f'(x)=3\times 2x+5\times (-\frac 1{x^2}) \]
    Puis on arrange et on obtient:
    \[ f(x)=6x-\frac 5{x^2}\]

  • Une erreur classique
    Erreur classique concernant $\displaystyle \boldsymbol{uv}$ et $\displaystyle \boldsymbol{\frac uv}$

    Les théorèmes qui permettent de conclure que $\displaystyle \boldsymbol{uv}$ et $\displaystyle \boldsymbol{\frac uv}$ sont dérivables
    reposent sur le fait que $u$ et $v$ sont toutes les 2 dérivables sur un intervalle I.
    Mais si $\boldsymbol{u}$ ou $\boldsymbol{v}$ ou les deux ne sont pas dérivables sur I, on ne peut rien conclure.
    Surtout ne pas croire
    par exemple
    que si l'une est dérivable sur I et l'autre pas
    alors $\boldsymbol{uv}$ n'est pas dérivable sur I!
    Dès que l'une des deux n'est pas dérivable en $a$
    pour savoir si $uv$ est dérivable ou pas en $a$
    on utilise la définition
    On cherche
    la limite de \[\frac{f(a+h)-f(a)}h\] quand $h$ tend vers 0.
    Si cette limite est finie, la fonction est dérivable en $a$,
    Si la limite n'existe pas ou est infinie, la fonction n'est pas dérivable en $a$.

Tangente

- Les questions qui tombent en exercice
Cours de math en vidéo
  • Equation de tangente
    Une équation de la tangente au point d'abscisse $\boldsymbol{a}$
    est
    $\boldsymbol{y=f'(a)(x-a)+f(a)}$
    Sous réserve que $f$ soit dérivable en $a$.

  • Equation de tangente passant par un point donné
    1) Ecrire l'équation générale d'une tangente: $y=f'(a)(x-a)+f(a)$
    2) Remplacer $(x;y)$ par les coordonnées du point
    3) Résoudre l'équation d'inconnue $a$
  • Tangente parallèle à une droite donnée
    On utilise le fait que:
    1) la tangente a pour coefficient directeur $\boldsymbol{f'(x)}$
    Sous réserve que $f$ soit dérivable en $x$.

    2) Deux droites (non verticales) sont parallèles $\Leftrightarrow$ elles ont le même coefficient directeur

    Exemple :
    Si on cherche les tangentes parallèles à la droite d'équation $y=2x+1$
    On résout $f'(x)=2$
    Cette équation traduit le fait que
    la droite et la tangente ont le même coefficient directeur
    c'est à dire sont parallèles.

    Cours de math en vidéo
  • Tangente commune à 2 courbes
    Pour trouver les tangentes communes aux courbes de 2 fonctions $f$ et $g$,
    on écrit:
    $\boldsymbol{y=f'(a)(x-a)+f(a)}$
    équation de la tangente en $a$
    sous réserve que $f$ soit dérivable en $a$.

    $\boldsymbol{y=g'(b)(x-b)+g(b)}$
    équation de la tangente en $b$
    sous réserve que $g$ soit dérivable en $b$.


    On veut que ces 2 équations correspondent à la même droite
    Ce qui signifie que l'on a le même coefficient directeur et la même ordonnée à l'origine.
    Puis on résout le système d'inconnues $\boldsymbol{a}$ et $\boldsymbol{b}$ formé par
    l'égalité des coefficients directeurs
    l'égalité des ordonnées à l'origine.




Corrigé en vidéo! Exercices 1: Dérivation
Dans chaque cas, justifier que $f$ est dérivable sur $I$ puis calculer $f'(x)$:
  1. $\displaystyle f(x)=x^2-3x+5$
  2. $\displaystyle f(x)=\frac{x-3}2$
  3. $\displaystyle f(x)=\frac 1{3x}$
Corrigé en vidéo! Exercices 2: Dérivée d'un polynôme
Dans chaque cas, justifier que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et calculer pour tout $x$ réel, $f'(x)$:
  1. $\displaystyle f(x)=3x^4-\frac {15x^2}2-5x+3$
  2. $\displaystyle f(x)=(4x^2+2)(3x-1)$
  3. $\displaystyle f(x)=(4x-3)^2$
  4. $\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt 2}3(4x^2-5x+1)$
Corrigé en vidéo! Exercices 3: Dérivée graphiquement et par le calcul - f'(x)>0
On a tracé la courbe $\mathscr{C}$ d'une fonction $f$
définie et dérivable sur $[-1;4]$.
La droite (AB) est tangente à $\mathscr{C}$ en A.
1) A l'aide du graphique:
  a) Déterminer $f(0)$, $f'(0)$, $f(3)$, $f'(3)$.
  b) Résoudre $f(x)\leqslant 0$.
  c) Résoudre $f'(x)\geqslant 0$.
2) Retrouver ces résultats par le calcul
    sachant que $\displaystyle f(x)=\frac 14 x^3-\frac 34 x^2$.



Corrigé en vidéo! Exercices 4: Dérivée d'un produit - Dérivation et racine
Dans chaque cas, justifier que $f$ est dérivable sur $I$ et calculer $f'(x)$:
  1. $f(x) = \displaystyle{\frac{1}{6}}x^3-x+7$ avec $I = \mathbb{R}$
  2. $f(x) = \displaystyle{\frac{2}{x^2+1}}$ avec $I = \mathbb{R}$
  3. $f(x) = \displaystyle{\frac{x^2-x}{2x-4}}$ avec $I = \mathbb{R}\setminus \{2\}$
Corrigé en vidéo! Exercices 5: Dérivée d'un produit - Dérivation et racine
Dans chaque cas, justifier que $f$ est dérivable sur ${\rm D}_f$ et calculer $f'(x)$ pour $x\in {\rm D}_f$.
  1. $f(x)=(3x+1)(x^2+x)$ et ${\rm D}_f=\mathbb{R}$
  2. $f(x)=(x^3-1)\sqrt x$ et ${\rm D}_f=]0;+\infty[$
Corrigé en vidéo! Exercices 6: Dérivée d'un quotient
Dans chaque cas, justifier que $f$ est dérivable sur ${\rm D}_f$ et calculer $f'(x)$ pour $x\in {\rm D}_f$.
  1. $\displaystyle f(x)=\frac 3x-\frac{4}{5x^3}$ et ${\rm D}_f=]-\infty;0[\cup ]0;+\infty[$
  2. $\displaystyle f(x)=\frac {3x}4-2+\frac 5{x^2}$ et ${\rm D}_f=]-\infty;0[$
Corrigé en vidéo! Exercices 7: Dérivée d'un quotient
Dans chaque cas, justifier que $f$ est dérivable sur ${\rm D}_f$ et calculer $f'(x)$ pour $x\in {\rm D}_f$.
  1. $\displaystyle f(x)=\frac 3{2\sqrt x}$ et ${\rm D}_f=]0;+\infty[$
  2. $\displaystyle f(x)=\frac {x^2+x+2}2$ et ${\rm D}_f=\mathbb{R}$
  3. $\displaystyle f(x)=\frac {x^2+x+2}{1-x}$ et ${\rm D}_f=]-\infty;1[$
Corrigé en vidéo! Exercices 8: Dérivée d'un quotient
Dans chaque cas, justifier que $f$ est dérivable sur ${\rm D}_f$ et calculer $f'(x)$ pour $x\in {\rm D}_f$.
  1. $\displaystyle f(x)=\frac 5{x-4}$ et ${\rm D}_f=]4;+\infty[$
  2. $\displaystyle f(x)=\frac {5x}{x-4}$ et ${\rm D}_f=]4;+\infty[$
Corrigé en vidéo! Exercices 9: Dérivée et racine carrée
Dans chaque cas, justifier que $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et pour $x\in ]0;+\infty[$, calculer $f'(x)$:
  1. $\displaystyle f(x)=4\sqrt{x}-\frac 3x$
  2. $\displaystyle f(x)=x\sqrt{x}$
  3. $\displaystyle f(x)=\frac{3x-2}{\sqrt{x}}$
Corrigé en vidéo! Exercices 10: Erreur classique à éviter de faire sur la dérivation
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^{+}$ par $f(x)=x^2\sqrt{x}$.
  1) Justifier que $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et pour tout $x\in ]0;+\infty[$, déterminer $f'(x)$.
  2) $f$ est-elle dérivable en 0?
  3) Ce résutlat était-il prévisible?
Corrigé en vidéo! Exercices 11: Dérivation - Tangente passant par un point donné
Soit $f$ la fonction définie sur $[1\,;\,3]$ par $f(x) = -x^2+4x-3$.
On note $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de $f$
dans un repère d'origine O.
Cet arc de parabole symbolise une colline
(une unité sur le repère représente un hectomètre dans la réalité)
et l'axe des abscisses représente le sol.
Un observateur est placé à l'origine.
Il cherche du regard le point C
qui est le point le plus haut de la colline visible. On note $a$ l'abscisse de C.
1) Montrer que $\dfrac{f(a)}{a} = f'(a)$.
2) En déduire la hauteur en mètres (par rapport au sol) du point C.
Corrigé en vidéo! Exercices 12: Dérivation - Tangentes parallèles
On considère la courbe $\mathscr{C}_f$ représentant la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$.
1) Montrer que pour tout réel $a$, les tangentes aux points d'abscisses respectives $a$ et $-a$ sont parallèles.
2) $\mathscr{C}_f$ admet-elle des tangentes horizontales ?
Corrigé en vidéo! Exercices 13: Dérivation - Tangente parallèle à une droite donnée
On note $\mathscr{P}$ la parabole représentant la fonction carré dans un repère.
Déterminer l'équation de la tangente à $\mathscr{P}$ parallèle à la droite d'équation $y = \dfrac{5}{2}x - 4$.
Corrigé en vidéo! Exercices 14: Dérivation - Déterminer a, b et c tels que f(x)=...
On a représenté graphiquement une fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$
par $f(x) = ax + b\sqrt{x} + c$ où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels à déterminer.
La courbe passe par les points A$(0~;~1)$ et B$(4~;~1)$.
La droite $(BC)$ est tangente à la courbe au point $B$.
On donne aussi C$(2~;~2)$.
  1. On admet que $f$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$.
    Exprimer $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
  2. Déterminer $f(0)$, $f(4)$ et $f'(4)$.
  3. Déduire des informations précédentes les réels $a$, $b$ et $c$.
  4. Par lecture graphique, résoudre l'équation $f'(x) = 0$. Vérifier par le calcul.
Corrigé en vidéo! Exercices 15: Dérivation - Déterminer a, b et c tels que f(x)=...
On a représenté graphiquement une fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$
par $f(x) = ax + \dfrac{b}{x}$ où $a$ et $b$ sont deux réels à déterminer.
La courbe passe par le point A$\left(1~;~\frac{5}{2}\right)$.
La droite $(AB)$ est tangente à la courbe au point $A$.
On donne aussi B$(0~;~4)$.
  1. On admet que $f$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$.
    Exprimer $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
  2. Déterminer $f(1)$ et $f'(1)$.
  3. Déduire des informations précédentes les réels $a$ et $b$.
  4. Résoudre par lecture graphique l'équation $f'(x) = 0$
    puis vérifier par le calcul.
Corrigé en vidéo! Exercices 16: Dérivation - Tangente commune à 2 paraboles
Déterminer une équation de l'unique tangente commune aux courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$
définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$ et $g(x) = x^2 +2x +3$.
Corrigé en vidéo! Exercices 17: Dérivation - Paraboles tangentes
On considère les fonctions $f_1$ et $f_2$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f_1(x)=-x^2+6x-2$ et $f_2(x)=x^2 +2x$
On note $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ les paraboles représentatives de $f_1$ et $f_2$.
Montrer que $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ sont tangentes.
Deux paraboles sont dites tangentes lorsqu'elles ont un point commun et une tangente commune en ce point.
Corrigé en vidéo! Exercices 18: Dérivation - tangentes passant par un point donné
On note $\mathscr{P}$ la parabole représentant la fonction carré dans un repère.
Déterminer les équations des tangentes à $\mathscr{P}$ passant par le point $A(-1~;~-3)$.
Corrigé en vidéo! Exercices 19:

Aire constante sous une tangente


On a tracé une tangente à la courbe d'équation $y = \dfrac{1}{x}$. Elle coupe l'axe des ordonnées en $\rm M$ et celui des abscisses en $\rm N$. Montrer que l'aire du triangle $\rm MNO$ est indépendante de la tangente tracée.

Corrigé en vidéo! Exercices 20: Démonstration de la dérivée de f(x)=k - Dérivée d'une constante
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=k$ où $k$ est une constante réelle.
1) Démontrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que pour tout $x$ réel, $f'(x)=0$.
2) Ce résultat était-il prévisible?
Corrigé en vidéo! Exercices 21: Démonstration de la dérivée de f(x)=x
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x$.
1) Démontrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que pour tout $x$ réel, $f'(x)=1$.
2) Ce résultat était-il prévisible?
Corrigé en vidéo! Exercices 22: Démonstration de la dérivée de x^2
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$.
Démontrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que pour tout $x$ réel, $f'(x)=2x$:
1) A l'aide du taux d'accroissement.
2) A l'aide de la formule de la dérivée d'un produit.
Corrigé en vidéo! Exercices 23: Comprendre la formule de la dérivée de x^n
  1. En utilisant la formule sur la dérivée d'un produit, compléter le tableau ci-dessous:
    $f(x)$$f'(x)$$f$ dérivable sur
    $x$$1$$\mathbb{R}$
    $x^2$
    $x^3$
    $x^4$
  2. Soit $n$ un entier naturel non nul et $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^n$.
    Conjecturer l'expression de $f'(x)$.
Corrigé en vidéo! Exercices 24: Démonstration de la dérivée de 1/x
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^{*}$ par $\displaystyle f(x)=\frac 1x$.
Démontrer à l'aide du taux d'accroissement que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}^{*}$ et que pour tout $x$ non nul, $\displaystyle f'(x)=-\frac 1{x^2}$.
Corrigé en vidéo! Exercices 25: Démonstration de la dérivée de racine de x
Soit $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt x$.
1) Démontrer que $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et que pour tout $x$ réel, $\displaystyle f'(x)=\frac 1{2\sqrt x}$.
2) Démontrer que $f$ n'est pas dérivable en 0.
3) Ce dernier résultat était-il prévisible?

Calcul de dérivée : Exercices

à Imprimer


Ce site vous a été utile? Ce site vous a été utile
alors dites-le !


Merci à vous.
Contact

N'hesitez pas à envoyer un mail à:
jaicompris.com@gmail.com

Liens
Qui sommes-nous? Nicolas Halpern-Herla
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES et STI depuis 23 ans
Créateur de jeux de stratégie: Agora et Chifoumi

Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES depuis 14 ans
Champion de France de magie en 2001: Magie