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Terminale S

Intégrale d'une fonction


Intégrale et aire

♦ Pour le savoir, regarde le cours en vidéo Un peu de patience, la vidéo est bientôt prête
  • Si f est une fonction continue positive sur [a;b], alors $\int_{a}^b f(x)~{\rm d}x =$
    b a f(x) dx est égale à l'aire hachurée (en unité d'aire)
    Bien vérifier que a≤b

    L'aire hachurée correspond l'aire du domaine compris entre la courbe
    de f, l'axe des abscisses, et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$.
    Cette aire hachurée s'appelle aussi l'aire sous la courbe entre a et b.
    On se place toujours dans un repère orthogonal.
    Une

    unité d'aire

    , notée u.a, est égale à l'aire du rectangle rose.
    Si
    1 unité sur les abscisses correspond à 2 cm
    1 unité sur les ordonnées correspond à 3 cm
    }
    alors 1 u.a =2×3=6 cm²

  • Si f est une fonction continue négative sur [a;b], alors $\int_{a}^b f(x)~{\rm d}x =$
    b a f(x) dx est égale à moins l'aire hachurée (en unité d'aire)
    Bien vérifier que a≤b


  • Intégrale et aire entre deux courbes

     
    Si 
    {
    f et g sont continues sur [a;b]
    Pour tout x de [a;b] g(x)≤ f(x)

    alors b a f(x)-g(x) dx est égale à l'aire hachurée entre les 2 courbes.
    Bien vérifier que a≤b
    Le résultat est en unité d'aire






Lien entre

intégrale et primitive

♦ Pour le savoir, regarde le cours en vidéo Un peu de patience, la vidéo est bientôt prête
  • Si u est une fonction continue sur un intervalle I et a∈I, alors la fonction :
    f(x)= x a u(t) dt est  
    f est définie et dérivable sur I
    Pour tout x∈I, f '(x)=u(x).
    f est donc la primitive de u qui s'annule en a !

  • On en déduit que toute fonction f continue sur un intervalle I
    f continue sur I admet toujours des primitives sur I.

    La fonction définie sur I par F(x)= x a f(t) dt est une primitive de f.
    F est la primitive de f qui s'annule en a.
    a appartient à I
    .




Comment

calculer une intégrale

♦ Pour le savoir, regarde le cours en vidéo Un peu de patience, la vidéo est bientôt prête
  • Avant de calculer b a f(x) dx, vérifier que 
    vérifier que f continue entre a et b.
  • b a f(x) dx =
    b a f(x) dx = F(b)-F(a)F est une primitive de f
    Pour F, on peut choisir n'importe quelle primitive de f, ça ne change pas le résultat!
    Notation pratique avec les crochets: b a f(x) dx = \[\left [ F(x) \right ]^b_a = F(b)-F(a)\]
    Très pratique: \[\left [ -(...) \right ]^b_a = \left [ (...) \right ]^a_b\]
    Exemple: \[\left [ -e^{-2x} \right ]^4_1 = \left [ e^{-2x} \right ]^1_4=e^{-2}-e^{-8}\]




  • b a f(x) dx + c b f(x) dx =
    b a f(x) dx + c b f(x) dx = c a f(x) dx
    Cette relation s'appelle la

    relation de Chasles

    .

  • b a k ⋅ f(x) dx
    b a k ⋅ f(x) dxk b a f(x) dx
    Avant d'appliquer cette propriété,
    bien vérifier que k est une constante !
    c'est à dire un nombre indépendant de x
  • b a f(x) + g(x) dx
    b a f(x) + g(x) dx b a f(x) dx + b a g(x) dx
  • Comment déterminer +$\infty$ a f(x) dx 
    On cherche :\[\lim_{\substack{t \to +\infty}}\int_{a}^t f(x)~{\rm d}x\]

    En général, on procède en 2 étapes:
    1) On détermine \[\int_{a}^t f(x)~{\rm d}x\]
    2) Puis on fait tendre $t$ vers $+\infty$.

    Utiliser cette méthode, pour calculer l'aire $\mathcal{A}$ sous une courbe sur $[a;+\infty[$
    On a tracé la courbe de la fonction $f$ définie par $f(x)=e^{-x}$ sur $[0;+\infty[$.

    \[\int_{0}^t e^{-x}~{\rm d}x=\left[-e^{-x} \right]^t_0= \left[e^{-x} \right]^0_t=e^{0}-e^{-t}=1-e^{-t}\]
    \[\lim_{\substack{t \to +\infty}}\int_{0}^t e^{-x}~{\rm d}x=\lim_{\substack{t \to +\infty}}1-e^{-t}=1\]
    Donc $\mathcal{A}=1$ unité d'aire.
  • Pour trouver le

    signe d'une intégrale

    Si f est positive sur [a;b] alors b a f(x) dx ≥ 0
    Si f est négative sur [a;b] alors b a f(x) dx ≤ 0
    Avant d'appliquer ces propriétés,
    bien vérifier que ab !
  • Pour

    encadrer une intégrale

    Si fg sur [a;b] alors b a f(x) dx b a g(x) dx
    On dit que l'intégrale conserve l'ordre.
    sous réserve que ab !
  • La

    valeur moyenne

    de f sur [a;b], notée µ vaut 
    µ =
    1 / b-a
    b a f(x) dx
    Avant d'appliquer cette propriété,
    bien vérifier que a < b !

    Interprétation graphique de µ 
    lorsque f est positive:

    µ est la hauteur du rectangle rose qui a la même aire que l' aire hachurée sous la courbe
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Méthode des rectangles

Cours en vidéo: comprendre la méthode des rectangles Cours de math en vidéo
  • Pas de formule, ni théorie à connaitre, juste comprendre la méthode.




Intégrale d'une fonction : Exercices à Imprimer
Exercice 1:

Aire sous une courbe - intégrale


Exercice 2:

Aire sous une courbe - aire d'un triangle, trapèze, demi-cercle


Exercice 3:

Calcul d'intégrale à l'aide de primitive

- intégrale d'un polynôme - \(x^n\)
Calculer les intégrales suivantes:
a) \[\int_{-1}^2 2x^5-x^2-1{\rm d}x\] b) \[\int_{0}^{-1} (1-t^2)(2+3t){\rm d}t\] c) \[\int_{2}^{5} \frac 23{\rm d}x\] d) \[\int_{-1}^3 \frac1n{\rm d}x\]
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Exercice 4:

Calcul d'intégrale à l'aide de primitive

- intégrale d'un quotient - \[\frac{u'}{u}\]
Calculer les intégrales suivantes:
a) \[\int_{0}^1 \frac{1}{1+2x}~{\rm d}x\] b) \[\int_{1}^e \frac{6x^2+4x-1}{x}{\rm d}x\] c) \[\int_{0}^1 \frac{x^2}{1+x^3}{\rm d}x\] d) \[\int_{1}^4 \frac1{3t}-\frac3{t^2}{\rm d}t\]
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Exercice 5:

intégrale avec des exponentielles ou des racines

- \[u'e^u\] - \[\frac{u'}{\sqrt{u}}\]
Calculer les intégrales suivantes:
a) \[\int_{0}^1 e^{-x}+\frac 6{e^{2x}}~{\rm d}x\] b) \[\int_{-1}^2 xe^{-x^2}~{\rm d}x\] c) \[\int_{0}^4 \frac 3 {\sqrt{2x+1}}~{\rm d}x\]
Exercice 6:

Calcul d'intégrale à l'aide de primitive

- intégrale d'un quotient de polynômes
1) Etudier, suivant les valeurs du réel \(x\), le signe de \(x^2+2x+5\).
2) En déduire la valeur de \[\int_{-2}^1 \frac{x+1}{x^2+2x+5}{\rm d}x\].
Exercice 7:

Aire entre 2 courbes - intégrale


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Exercice 8:

Intégrale et aire sous une courbe d'une fonction changeant de signe

- aire sous une parabole
La courbe \(\mathcal{C}\) représente dans un repère orthogonal, la fonction \(f\)
définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^2-2x-3\). Les unités graphiques sont:
1 cm sur l'axe des abscisses et 0.5 cm sur l'axe des ordonnées.
1) Etudier la position relative de la courbe \(\mathcal{C}\) par rapport à l'axe des abscisses.
2) En déduire l'aire \(\mathcal{A}\) du domaine en unité d'aire puis en cm² compris
    entre la courbe \(\mathcal{C}\), l'axe des abscisses et les droites d'équation \(x=-2\) et \(x=3\).

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Exercice 9: Intégrale et aire entre deux courbes - position relative de 2 courbes
\(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\) sont les courbes représentatives de deux fonctions \(f\) et \(g\)
définies sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^2-4\) et \(\:g(x)=(x+2)^2(x-2)\).
1) Etudier la position relative de leurs courbes représentatives.
2) En déduire l'aire \(\mathcal{A}\) du domaine en unité d'aire compris
     entre les deux courbes sur l'intervalle \([-2;2]\).
Exercice 10:

Primitive sous la forme (ax+b)e^(-x)


On considère la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(1-x^2)e^{-x}$
dont on a tracé la courbe ci-contre:

1) Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que la fonction définie sur $\mathbb{R}$
    par ${\rm F}(x)=(ax^2+bx+c)e^{-x}$ soit une primitive de $f$.
2) En déduire l'aire de la surface bleue.


Exercice 11: Variations de la primitive F à partir des variations de f
On donne ci-dessous le tableau de variations d'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$:

On définit la fonction $F$ sur $\mathbb{R}$ par \[F(x)=\int_{1}^x f(t) {\rm d}t\].
1) Déterminer le tableau de variations de F.
2) Déterminer le signe de l'intégrale \[\int_{1}^3 f(t){\rm d}t\] et de \[\int_{1}^{-5} f(t) {\rm d}t\].
3) Déterminer la limite de F en $+\infty$ et en $-\infty$.
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Exercices 12:

Signe d'une intégrale


On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{e^{-4x}}{1+e^{-4x}}$.
Pour tout réel $x$, on pose ${\rm I}(x)=\int_{3}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t$.
Déterminer le signe de ${\rm I}(x)$ en fonction de $x$, en justifiant.
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Exercices 13:

Intégrale - Aire finie ou infinie ?


En voyant cette courbe représentative d'une fonction:

Lætitia affirme que: "Si la fonction représentée tend vers 0 en $+\infty$ alors l'aire hachurée sous la courbe sur $[1;+\infty[$ est finie".
Antoine lui répond: "Même si cette fonction tend vers 0 en $+\infty$, la longueur de l'intervalle $[1;+\infty[$ étant infinie, l'aire hachurée ne peut pas être finie".
A l'aide de deux exemples, justifier qu'ils ont tort tous les deux.
Exercice 14:

Signe de f à partir de la primitive F


Exercice 15:

Encadrer une intégrale - comparer 2 intégrales


Exercice 16: Encadrer une intégrale - aire
Exercice 17:

Fonction définie par une intégrale


Exercice 18:

QCM intégrale


Exercice 19:

QCM fonction définie par une intégrale


Exercice 20:

Encadrer une intégrale


1) Démontrer que pour tout \(x\ge 1\), \[\frac 1{2x}\le \frac 1{x+\sqrt x}\le \frac 1{2\sqrt x}\].
2) En déduire un encadrement de l'intégrale \[\int_{2}^3 \frac{1}{x+\sqrt x}~{\rm d}x\].
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Exercice 21:

Encadrer une intégrale - Encadrer ln2

- inégalité et intégrale
1) Démontrer que pour tout réel \(t\ge 1\), \[\frac 1{t^2}\le \frac 1t\le \frac 1 {\sqrt t}\].
2) En déduire que pour tout réel \(x\ge 1\), \[1-\frac 1x \le \ln x \le 2\sqrt x-2\].
3) En déduire un encadrement de \(\ln 2\). Vérifier la cohérence du résultat à l'aide d'une calculatrice.
Exercice 22:

Encadrer une intégrale - Encadrer ln2


1) Démontrer que pour tout réel \(t\ge 0\), \[\:1-t\le \frac 1{1+t}\le 1-t+t^2\].
2) En déduire que pour tout réel \(x\ge 0\), \[\:x-\frac {x^2}2 \le \ln (1+x) \le x-\frac {x^2}2+\frac{x^3}3\].
3) En déduire un encadrement de \(\ln 2\). Vérifier la cohérence du résultat à l'aide d'une calculatrice.
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Exercice 23:

Suite définie par une intégrale

- intégrale de 1/(1+x^n) entre 0 et 1
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Exercice 24:

Suite définie par une intégrale


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Exercice 25:

Suite et intégrale - fonction exponentielle - variation - limite


$n$ désigne un entier naturel non nul. On pose $\displaystyle u_n=\int_{0}^1 x^ne^{-x}\: \text{d}x$.
$f_n$ désigne la fonction définie sur [0;1] par $f_n(x)=x^ne^{-x}$. $\mathscr{C}_n$ désigne la courbe représentative de $f_n$.
1) A l'aide du graphique, conjecturer:
    a) le sens de variations de la suite $(u_n)$.
    b) la limite de la suite $(u_n)$.
2) Démontrer la conjecture du 1.a).
3) Démontrer que la suite $(u_n)$ est convergente.
4) Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul:
    $\displaystyle ~~~~ ~~~~~ 0\leqslant u_n\leqslant \frac 1{n+1}$.
5) Que peut-on en déduire?
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Exercice 26:

fonction définie par une intégrale - variations - limite - e^t/t


On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0;+\infty[\) par \[f(x)=\int_{1}^x \frac{e^t}t~{\rm d}t\].
1) Justifier que \(f\) est définie et dérivable sur \(]0;+\infty[\), déterminer \(f'(x)\) puis les variations de \(f\).
2) En déduire le tableau de signe de \(f(x)\).
3) Démontrer que pour tout réel \(t\in ]0;+\infty[\) , \[\frac{e^t}{t}\ge \frac 1t\]
4) Déduire du 3) que pour tout \(x \in [1;+\infty[\), \[f(x)\ge \ln x\]
5) Déduire du 3) que pour tout \(x \in ]0;1]\), \[f(x)\le \ln x\]
6) Déduire \[\lim_{\substack{x \to +\infty}}f(x) \] et \[\lim_{\substack{x \to 0\\ x>0}}f(x)\].
Exercice 27:

Aire entre 2 courbes - lnx/x et (lx x)²/x


Exercice 28:

Baccalauréat métropole septembre 2013

exercice 1 partie B - terminale S
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Exercice 29:

D'après sujet Bac Pondichéry 2015 Terminale S


Soit $f$ et $h$ les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \dfrac{3}{1 + \text{e}^{- 2x}}$ et $h(x)=3-f(x)$.
1. Justifier que la fonction $h$ est positive sur $\mathbb{R}$.
2. Soit $H$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $H(x) = - \dfrac{3}{2} \ln \left(1 + \text{e}^{- 2x}\right)$.
     Démontrer que $H$ est une primitive de $h$ sur $\mathbb{R}$.
3. Soit $a$ un réel strictement positif.
     a. Donner une interprétation graphique de l'intégrale $\displaystyle\int_0^a h(x)\:\text{d}x$.
     b. Démontrer que $\displaystyle\int_0^a h(x)\:\text{d}x = \dfrac{3}{2} \ln \left(\dfrac{2}{1 + \text{e}^{- 2a}}\right)$.
     c. On note $\mathcal{D}$ l'ensemble des points $M(x~;~y)$ du plan définis par $\left\{\begin{array}{l c l} x\geqslant 0\\ f(x) \leqslant y\leqslant 3 \end{array}\right.$.
         Déterminer l'aire, en unité d'aire, du domaine $\mathcal{D}$.
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Exercice 30:

Baccalauréat amérique du nord 2014 exercice 2 - terminale S - intégrale, aire, théorème des valeurs intermédiaires


On considère la fonction \(f\) définie sur \([0;+\infty[\) par \[f(x)=5 e^{-x} - 3e^{-2x} + x - 3\].
On note \(\mathcal{C}_{f}\) la représentation graphique de la fonction \(f\) et \(\mathcal{D}\) la droite d'équation \(y = x - 3\)
dans un repère orthogonal du plan. On considère la fonction \(\mathcal{A}\)
définie sur \([0;+\infty[\) par \[\mathcal{A}(x) = \displaystyle\int_{0}^x f(t) - (t - 3)\: \text{d}t.\]
1. Justifier que, pour tout réel \(t\) de \([0;+\infty[\), \(\:f(t)-(t-3)> 0\).
2. Hachurer sur le graphique ci-contre, le domaine
    dont l'aire est donnée par \(\mathcal{A}(2)\).
3. Justifier que la fonction \(\mathcal{A}\) est croissante sur \([0;+\infty[\).
4. Pour tout réel \(x\ge 0\), calculer \(\mathcal{A}(x)\).
5. Existe-t-il une valeur de \(x\) telle que \(\mathcal{A}(x) = 2\) ?
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Exercices 31:

Aire maximale d'un rectangle - Fonction logarithme - D'après sujet de Bac - Problème ouvert


Soit $f$ la fonction définie sur ]0 ; 14] par $f (x) = 2-\ln\left(\frac x2 \right)$ dont la courbe $\mathscr{C}_f$ est donnée dans le repère orthogonal d’origine O ci-dessous :

À tout point M appartenant à $\mathscr{C}_f$, on associe le point P projeté orthogonal de M sur l’axe des abscisses, et le point Q projeté orthogonal de M sur l’axe des ordonnées.
    • $f$ est-elle positive sur $]0;14]$?
    • L'aire du rectangle OPMQ est-elle constante, quelle que soit la position du point M sur $\mathscr{C}_f$ ?
    • L’aire du rectangle OPMQ peut-elle être maximale ? Si oui, préciser les coordonnées
       du point M correspondant. Justifier les réponses.
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Exercice 32:

Calculer une intégrale à l'aide d'un cercle


L'objectif de cet exercice est de calculer: \[\displaystyle\int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}\: \text{d}x.\]
On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\sqrt{1-x^2}$.
1) Déterminer le domaine de définition de la fonction $f$.
2) Quelle conjecture peut-on faire concernant la courbe de la fonction $f$? Démontrer cette conjecture.
3) En déduire la valeur de l'intégrale \[\displaystyle\int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}\: \text{d}x.\]
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Exercice 33:

Intégrale et suite


Soit un entier $n\geqslant 1$.
On note $f_n$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0;1]$ par $f_n(x)=\displaystyle\frac 1{1+x^n}$.
Pour tout entier $n\geqslant 1$, on note ${\rm I}_n=\int_{0}^{1} f_n(x) \, \mathrm{d}x$.
1) Déterminer $\rm I_1$.
2) Démontrer que, pour tout réel $x\in [0; 1]$ et pour tout entier $n \geqslant 1$, on a: $\displaystyle 1-x^n\leqslant \frac 1{1+x^n}\leqslant 1$
3) En déduire que la suite $({\rm I}_n)$ est convergente et préciser sa limite.
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Exercice 34:

Mathématiques Bac S liban 2018 Intégrale et logarithme


Pour tout entier $n > 0$, les fonctions $f_n$ sont définies sur l'intervalle $[1~;~5]$ par $f_n(x) = \dfrac{\ln x}{x^n}$.
On note $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ (ci-dessous $\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_2$, $\mathcal{C}_3$ et $\mathcal{C}_4$).
  1. Montrer que, pour tout entier $n > 0$ et tout réel $x$ de $[1~;~5]$, $f'_n(x) = \dfrac{1- n\ln (x)}{x^{n+1}}$.
  2. Pour tout entier $n > 0$, montrer que la fonction $f_n$ admet un maximum sur l'intervalle $[1~;~5]$. On note $A_n$ le point de la courbe $\mathcal{C}_n$ ayant pour ordonnée ce maximum. Montrer que tous les points $A_n$ appartiennent à une même courbe $\Gamma$ d'équation $y = \dfrac{1}{\mathrm{e}} \ln (x)$.
    1. Montrer que, pour tout entier $n > 0$ et tout réel $x$ de $[1~;~5]$, $0 \leqslant \dfrac{\ln (x)}{x^n} \leqslant \dfrac{\ln (5)}{x^n}$.
    2. Pour tout entier $n > 0$, on s'intéresse à l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine du plan délimité par les droites d'équations $x = 1$, $x = 5$, $y = 0$ et la courbe $\mathcal{C}_n$. Déterminer la valeur limite de cette aire quand $n$ tend vers $+ \infty$.

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Qui sommes-nous? Nicolas Halpern-Herla
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Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES depuis 14 ans
Champion de France de magie en 2001: Magie