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Première S

Dérivation - Tangente

Nombre dérivé
  • Conseils pour ce chapitre:
    • Savoir calculer le coefficient directeur d'une droite
      regarde ici
  • Comment travailler efficacement Cours de math en vidéo
  • Conseils pour le jour du bac Cours de math en vidéo

♦ Comprendre la notion de

dérivé

: cours en vidéo Cours de math en vidéo
  • Approche intuitive
    Quand on zoome sur la courbe d'une fonction
    en un point d'abscisse $a$,
    parfois la courbe semble se confondre avec une droite
    Cette droite s'appelle la tangente
    au point d'abscisse $a$.

    Lorsque cette droite est non verticale
    Car si la droite est verticale,
    on ne peut pas parler de coefficient directeur!

    on dit que la fonction est dérivable en $a$
    Et le coefficient directeur de cette droite est noté $f'(a)$

       
    Ici on a zoomé sur le point de la courbe d'abscisse 1.
    la courbe semble se confondre avec une droite
    de coefficient directeur 2
    Un déplacement de 1 horizontalement
    entraine un déplacement de 2 verticalement.
    Donc le coefficient directeur vaut 2.

    Donc $f$ est dérivable en 1
    Et on a $f'(1)=2$


  • Dérivable en $a$  
    Pour savoir si une fonction $f$ est dérivable en $a$
    $a$ est un réel
    appartenant au domaine définition
    ça n'a aucun sens
    de chercher si $f$ est dérivable en $a$
    si $a$ n'appartient pas au domaine de définition.


    1) Calculer \[\frac{f(a+h)-f(a)}h\]
    2) Chercher la limite de \[\frac{f(a+h)-f(a)}h\] quand $h$ tend vers 0.
    3) Conclure
    • Si la limite existe et est finie
    $f$ alors est dérivable en $a$.
    Cette limite s'appelle
    le nombre dérivé de $f$ en $a$
    et
    se note $f'(a)$.

    • Si la limite est infinie ou n'existe pas
    la fonction n'est pas dérivable en $a$.

  • $f(x)=x^2$ Est-elle dérivable en 1
    1) On calcule \[\frac{f(a+h)-f(a)}h\]
    Avec $f(x)=x^2$ et $a=1$
    car on veut savoir si $f$ est dérivable en 1
    donc $a=1$

       \[\frac{f(a+h)-f(a)}h=\frac{(1+h)^2-1^2}{h}=\frac{1+2h+h^2-1}{h}=\frac{2h+h^2}h=2+h\]
    2) \[\lim_{\substack{h \to 0}} 2+h=2\]
    3) Donc $f$ est dérivable en 1 et $f'(1)=2$
    car la limite de \[\frac{f(a+h)-f(a)}h\], quand $h$ tend vers 0,
    existe et finie
    Cette limite vaut 2.
    Elle existe et est finie.
  • Au lieu de d'utiliser $\frac{f(a+h)-f(a)}h$
    Pour savoir si une fonction $f$ est dérivable en $a$
    au lieu de chercher \[\lim_{\substack{h \to 0}} \frac{f(a+h)-f(a)}h\]
    c'est la même chose de chercher
    \[\lim_{\substack{x \to a}} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\]
    On a juste remplacé
    $h$ par $x-a$
    Et donc si $h$ tend vers 0
    $x-a$ tend aussi vers 0
    autrement dit, $x$ tend vers $a$

  • Autre notation de $f'(a)$
    $f'(a)$ se note aussi \[\frac{df}{dx}(a)\]
    La notation \[\frac{df}{dx}(a)\] est utilisée en particulier en Physique.
  • Nombre dérivé
    Le nombre dérivé de $f$ en $a$ désigne $f'(a)$.
    Chercher le nombre dérivé de $f$ en $a$
    c'est chercher $f'(a)$.
Cours de math en vidéo Utiliser sa calculatrice CASIO pour trouver $\boldsymbol{f'(a)}$ Cours de math en vidéo
  • Casio Graph 35 - Casio Graph 75 - Casio Fx  
    1) Aller dans le menu principal - Touche MENU
    2) Cliquer 1 - RUN
    3) Choisir: ▶MATH
    F4


    4) Choisir: ▶ d/dx
    F4


    5) Rentrer la fonction
    Pour $x$
    utiliser la touche


    5) Compléter $x=...$
    Si on veut $f'(3)$
    rentrer: $3$
    Ce qui donne $X=3$


    6) Taper EXE




Tangente à une courbe

♦ Tangente à la courbe d'une fonction: cours en vidéo Cours de math en vidéo
  • Définition 
    On appelle tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$
    la droite passant par le point A$(a;f(a))$ et de coefficient directeur $f'(a)$
    Dire que le coefficient directeur est $f'(a)$
    signifie
    qu'un déplacement de 1 horizontalement
    entraine un déplacement de $f'(a)$ verticalement.

    Sous réserve que
    $f$ soit dérivable en $a$.


    Exemple
    Soit $f(x)=x^2$, on a vu que $f$ est dérivable en 1 et que $f'(1)=2$
    Voir paragraphe précédent

    Qu'en déduit-on
    On en déduit que
    la tangente au point d'abscisse 1
    passe par le point A$(1;f(1))$ c'est à dire A$(1;1)$
    et a pour coefficient directeur 2.


  • Equation de la tangente
    L'équation réduite de la tangente au point d'abscisse $a$ est:
    $y=f'(a)(x-a)+f(a)$
    Sous réserve que
    $f$ soit dérivable en $a$.

    Pour trouver cette formule:
    1) L'équation réduite est de la forme $y=mx+p$
    2) Le coefficient directeur
    Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $a$
    est $f'(a)$ donc $m=f'(a)$.
    Donc on peut écrire $y=f'(a)x+p$

    3) La tangente passe par le point A$(a;f'(a))$
    On peut donc remplacer dans l'équation
    $x$ par $a$ et $y$ par $f(a)$
    on obtient:
    $f(a)=f'(a)a+p$
    donc $p=f(a)-f'(a)a$
    En remplaçant $p$ dans l'équation
    $y=f'(a)x+f(a)-f'(a)a$
    $\Leftrightarrow y=f'(a)(x-a)+f(a)$

  • 2 approches pour $f'(a)$
    \[f'(a)=\lim_{\substack{h \to 0}}\frac{f(a+h)-f(a)}h=\lim_{\substack{x \to a}}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\]
    • $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $a$.
    Si $f'(2)=3$ alors
    On en déduit alors que:
    \[\lim_{\substack{h \to 0}}\frac{f(2+h)-f(2)}h=3\] ou encore que \[\lim_{\substack{x \to 2}}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=3\]
    • Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 2 est 3

  • Lire $f'(a)$
    Pour lire $f'(a)$ sur la courbe de $f$:
    1) Trouver sur le graphique la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$.
    2) Lire le coefficient directeur de cette tangente
    Si on connait 2 points A et B sur la tangente
    alors
    coefficient directeur$=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{\text{Déplacement vertical}}{\text{Déplacement horizontal}}$

    3) Ce coefficient directeur est $f'(a)$
    Exemple:
    On a tracé la tangente à une parabole
    au point d'abscisse 1.

    $f'(1)=$
    $f'(1)=\frac{\text{Déplacement vertical}}{\text{Déplacement horizontal}}=\frac 43$

  • $f$ pas dérivable
    On a vu que:
    Si une fonction est dérivable en $a$
    alors elle admet une tangente au point d'abscisse $a$.

    Mais
    Si une fonction n'est pas dérivable en $a$
    elle peut quand même admettre une tangente au point d'abscisse $a$.
    La fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0
    et pourtant elle admet une tangente verticale au point d'abscisse 0.
  • Vecteur directeur
    un vecteur directeur de la tangente est
    $\vec u (1;f'(a))$
    Sous réserve que
    $f$ soit dérivable en $a$.

    De manière générale,
    si une droite admet comme coefficient directeur $m$
    alors $\vec u(1;m)$ est un vecteur directeur de cette droite.
    On applique cette propriété
    avec la tangente
    qui admet comme coefficient directeur $f'(a)$.
    Et donc admet comme vecteur directeur $\vec u(1;f'(a))$.


Entraine toi à lire $f'(a)$ et $f(a)$ !


Corrigé en vidéo! Exercices 1: Lire le nombre dérivé f ' (a) à l'aide de la tangente - Première S - ES - STI
On considère une fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$, représentée par sa courbe $\cal C$ en noire ci-dessous.

On a également tracé les tangentes à la courbe de $f$ aux points d'abscisses -4, -1, 3 et 4.
Déterminer graphiquement $f(-4)$, $f'(-4)$, $f(-1)$, $f'(-1)$, $f(4)$ et $f'(4)$
Corrigé en vidéo! Exercices 2: Équation de la tangente à une courbe - f'(a) - Première S - ES - STI
On considère une fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$, représentée par sa courbe $\cal C$ en noire ci-dessous.

On a également tracé en rouge la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse -1.
A l'aide du graphique, déterminer $f'(-1)$ puis une équation de cette tangente $\mathcal{T}$.
Corrigé en vidéo! Exercices 3: Utiliser l'équation de la tangente à une courbe pour trouver f(a) et f'(a) - Première S - ES - STI
La courbe d'une fonction $g$ admet une tangente au point d'abscisse $-1$ d'équation $y=-2x+1$.
Déterminer $g(-1)$ et $g'(-1)$.

Corrigé en vidéo! Exercices 4: Démontrer qu'une fonction est dérivable en a • Trouver f'(a) à l'aide du taux d'accroissement - Première S - ES - STI
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2+x-3$.
Justifier que $f $ est dérivable en $-2$ et préciser $f'(-2)$.

Corrigé en vidéo! Exercices 5: Dérivée et Racine carrée • Piège classique • Première S - ES - STI
Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt x$ et $g(x)=x\sqrt x$.
1) La fonction $f$ est-elle dérivable en 0? Justifier.
2) La fonction $g$ est-elle dérivable en 0? Justifier.
Corrigé en vidéo! Exercices 6: Nombre dérivé - f'(a) - Racine carrée et quantité conjuguée
On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt x$.
Justifier que $f $ est dérivable en $4$ et préciser $f'(4)$.

Corrigé en vidéo! Exercices 7: Démontrer qu'une fonction est dérivable en a en utilisant le taux d'accroissement - f'(a)
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\backslash\lbrace{-1}\rbrace$ par $f(x)=\frac 2{x+1}$.
1) Montrer que $f $ est dérivable en $1$ en utilisant le taux d'accroissement et préciser $f'(1)$.
2) Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $1$.

Dérivation et Nombre dérivé : Exercices

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Qui sommes-nous? Nicolas Halpern-Herla
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Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES depuis 13 ans
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