Car la limite de $\dfrac{f(1+h)-f(1)}h$ quand $h$ tend vers 0 existe
et est finie et vaut $2$.
•
Au lieu de d'utiliser $\dfrac{f(a+h)-f(a)}h$
Pour savoir si une fonction $f$ est dérivable
en $a$ au lieu de chercher
$\lim_\limits{\substack{h \to 0}} \dfrac{f(a+h)-f(a)}h$
c'est la même chose de chercher $\lim\limits_{\substack{x \to a}}
\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$
On a juste remplacé $h$ par $x-a$
Et donc si $h$ tend vers 0, $x-a$
tend aussi vers 0. Autrement dit, $x$ tend vers $a$
•
Autre notation de $f'(a)$
$f'(a)$ se note aussi $\dfrac{df}{dx}(a)$
La notation $\dfrac{df}{dx}(a)$
est utilisée en particulier en Physique.
•
Nombre dérivé
$f'(a)$ est appelé nombre dérivé de $f$ en $a$
Chercher le nombre dérivé de $f$ en $a$, c'est chercher $f'(a)$.
Cours
Utiliser sa calculatrice CASIO pour trouver $\boldsymbol{f'(a)}$
•
Casio Graph 35 - Casio Graph 75 - Casio Fx
Aller dans le menu principal - Touche MENU
Cliquer 1 - RUN
Choisir: ▶MATH
F4
Choisir: ▶ d/dx
F4
Rentrer la fonction
Pour $x$ :
utiliser la touche
Compléter $x=...$
Si on veut $f'(3)$, rentrer: $3$ Ce qui donne $X=3$
Exemple rapide
pour avoir lire le nombre dérivé f'(x) avec la tangente
(en 5 min!)
Cours
Tangente à une courbe d'une fonction
• Définition
On appelle tangente à la courbe de $f$ au
point d'abscisse $a$, la droite passant par le point
A$(a;f(a))$ et de coefficient directeur $f'(a)$
Sous réserve que $f$ soit dérivable en $a$.
Dire que le coefficient directeur est $f'(a)$
signifie
qu'un déplacement de 1 horizontalement
entraîne un déplacement de $f'(a)$ verticalement.
Exemple
Soit $f(x)=x^2$, on a vu au paragraphe précédent que $f$ est dérivable en $1$ et que
$f'(1)=2$.
Qu'en déduit-on
On en déduit que la tangente au
point d'abscisse $1$
passe par le point A$(1;f(1))$ c'est à
dire A$(1;1)$ et a pour coefficient
directeur 2.
•
Equation de la tangente
L'équation réduite de la tangente au point d'abscisse
$a$ est: $y=f'(a)(x-a)+f(a)$
Sous réserve que $f$ soit dérivable en $a$.
Pour démontrer cette
formule
La tangente admet une équation réduite de la forme $y=mx+p$
La fonction étant dérivable en $a$, la tangente est une droite
non
verticale
et comme toute droite non verticale, elle admet une
équation réduite de la forme
$y=mx+p$
Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $a$ est
$f'(a)$ donc $m=f'(a)$. Donc on peut écrire $y=f'(a)x+p$
La tangente au point d’abscisse $a$ passe par le point A$(a;f(a))$
On peut donc remplacer dans l'équation réduite
$x$ par $a$ et $y$ par $f(a)$
on obtient: $f(a)=f'(a)a+p$ donc $p=f(a)-f'(a)a$.
En remplaçant $p$ dans l'équation, on
obtient $y=f'(a)x+f(a)-f'(a)a$ puis on factorise $f'(a)$ et on
obtient: $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$
$f'(a)$ est le coefficient directeur de la
tangente au point d'abscisse $a$.
Exemple Si $f'(2)=3$ alors
On en déduit alors que:
$\lim_\limits{\substack{h
\to 0}}\dfrac{f(2+h)-f(2)}h=3$ ou encore dit différemment
$\lim_\limits{\substack{x \to
2}}\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=3$
Le coefficient directeur de la tangente au
point d'abscisse $2$ est $3$.
• Lire $f'(a)$
Trouver sur le graphique la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse
$a$.
Lire le coefficient directeur de cette
tangente
Si on connaît 2 points A et B sur la
tangente
alors le
coefficient
directeur$=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$=$\dfrac{\text{Déplacement
vertical}}{\text{Déplacement horizontal}}$
Ce coefficient directeur est $f'(a)$
Exemple
On a tracé la tangente à la courbe d'une fonction $f$ au point d'abscisse $1$.
alors elle admet une tangente au point d'abscisse
$a$.
Si une fonction n'est pas dérivable en $a$
elle peut quand même admettre une
tangente au point d'abscisse $a$.
La fonction racine carrée n'est pas dérivable en
0 et pourtant elle admet une tangente
verticale au
point d'abscisse 0.
• Vecteur directeur
Rappel Lien entre vecteur directeur
et coefficient directeur
si une droite admet comme coefficient
directeur $m$
alors $\vec u(1;m)$ est un vecteur directeur de
cette droite
On va appliquer cette propriété
avec la tangente
qui admet comme coefficient directeur
$f'(a)$. Et donc la tangente admet comme vecteur directeur $\vec u(1;f'(a))$.
un vecteur directeur de la tangente est
$\vec u (1;f'(a))$
Lire le nombre dérivé f'(a) avec la tangente - coefficient directeur
première
option
maths
$\mathscr{C}$ est la courbe représentative d'une fonction $f$.
A, B et C sont les points de $\mathscr{C}$ d'abscisses respectives -2 ; 0 et 1. $\rm T_1$, $\rm T_2$
et $\rm T_3$ sont les tangentes respectives à $\mathscr{C}$ en A, B et C:
Lire le nombre dérivé de $f$:
$\color{red}{\textbf{a. }}$ en $-2$ $\color{red}{\textbf{b. }}$ en $0$ $\color{red}{\textbf{c. }}$ en $1$
Exercice
2:
Lire le coefficient directeur de la tangente - nombre dérivé -
première
option
maths
Dans le repère orthonormé ci-dessous, $\mathscr{C}$ est la
courbe représentative d'une fonction $f$.
Les droites $\rm T_1$, $\rm T_2$ et $\rm T_3$ sont les tangentes respectives à la courbe
$\mathscr{C}$ aux points $\rm A$ d'abscisse $-3$, $\rm B$ d'abscisse $1$ et $\rm C$ d'abscisse
$3$.
Lire le coefficient directeur de $\rm
T_1$.
En déduire $f'(-3)$.
Déterminer de même $f'(1)$ et $f'(3)$.
Exercice
3:
Dérivée & coefficient directeur de la tangente - première
option
maths
Dans le repère orthonormé ci-dessous, $\mathscr{C}$ est la
courbe représentative d'une fonction $f$.
Tracer la tangente $\rm T_1$ à la courbe
$\mathscr{C}$ au point d'abscisse $1$ sachant que $f'(1)=4$.
Tracer la tangente $\rm T_2$ à la courbe
$\mathscr{C}$ au point d'abscisse $4$ sachant que $f'(4)=-2$.
Exercice
4:
Tracer la tangente - première
option
maths
Dans le repère orthonormé ci-dessous, $\mathscr{C}$ est la
courbe représentative d'une fonction $g$.
Tracer de façon approchée la tangente T à la
courbe $\mathscr{C}$
au d'abscisse $2$.
En déduire une valeur approchée de
$g'(2)$.
Exercice
5:
équation de la tangente - première
option
maths
Dans le repère orthonormé ci-dessous, $\mathscr{C}$ est la
courbe représentative d'une fonction $f$.
$\rm T$ est la tangente à $\mathscr{C}$ au point $\rm A$ d'abscisse $2$.
Déterminer le coefficient directeur de $\rm
T$.
Déterminer l'équation réduite de $\rm
T$.
Exercice
6:
Lire f et f' - dérivée - première
option
maths
Dans le repère orthonormé ci-dessous, $\mathscr{C}$ est la
courbe représentative d'une fonction $f$.
Les droites tracées en vert sont les tangentes à la courbe $\mathscr{C}$
aux points d'abscisses $-5$; $-1$ et $3$.
Lire $f(-5)$ puis $f'(-5)$.
Lire $f(-1)$, $f(3)$, $f'(-1)$ et $f'(3)$.
Exercice
7: Lire le nombre dérivé f'(a) à l'aide de la tangente - Première
spé maths S -
ES - STI
On considère une fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$, représentée par sa courbe $\cal C$ en
noire
ci-dessous:
On a également tracé les tangentes à la courbe de $f$ aux points d'abscisses -4, -1, 3 et 4.
Déterminer graphiquement $f(-4)$, $f'(-4)$, $f(-1)$, $f'(-1)$, $f(4)$ et $f'(4)$
Exercice
8: Équation de la tangente à une courbe - f'(a) - Première
spécialité maths S - ES - STI
On considère une fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$, représentée par sa courbe $\cal C$ en
noire
ci-dessous:
On a également tracé en rouge la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse
-1.
A l'aide du graphique, déterminer $f'(-1)$ puis une équation de cette tangente $\mathcal{T}$.
Exercice
9: Utiliser l'équation de la tangente à une courbe pour trouver f(a)
et f'(a) -
Première spécialité maths S - ES - STI
La courbe d'une fonction $g$ admet une tangente au point d'abscisse $-1$ d'équation $y=-2x+1$.
Déterminer $g(-1)$ et $g'(-1)$.
Exercice
10: Démontrer qu'une fonction est dérivable en a • Trouver f'(a) à
l'aide du taux
d'accroissement - Première spécialité maths S - ES - STI
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2+x-3$.
Justifier que $f $ est dérivable en $-2$ et préciser $f'(-2)$.
Exercice
11: Dérivée et Racine carrée • Piège classique • Première spécialité
maths S - ES - STI
Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt x$ et
$g(x)=x\sqrt x$.
La fonction $f$ est-elle dérivable en 0? Justifier.
La fonction $g$ est-elle dérivable en 0? Justifier.
Exercice
12: Nombre dérivé - f'(a) - Racine carrée et quantité conjuguée
On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt x$.
Justifier que $f $ est dérivable en $4$ et préciser $f'(4)$.
Exercice
13: Démontrer qu'une fonction est dérivable en a en utilisant le taux
d'accroissement - f'(a)
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\backslash\lbrace{-1}\rbrace$
par $f(x)=\dfrac 2{x+1}$.
Montrer que $f $ est dérivable en $1$ en utilisant le taux d'accroissement et préciser
$f'(1)$.
Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $1$.
Ce site ne convient pas aux enfants de moins de 36 mois, sauf s'ils insistent vraiment.
Ne pas dépasser la dose prescrite.
Posologie: 1 fois/jour la semaine avant le contrôle.
L'efficacité du traitement dépend d'une prise régulière.
Effet secondaire: Peut procurer du plaisir surtout en cas de réussite !
En cas de persistance des difficultés, arrêter le traitement pendant une nuit, puis reprendre le
lendemain.
