Soit $n \in \mathbb{N}^*$, on pose ${\rm H}_n =\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$.
L'objectif de cet exercice est de démontrer par comparaison à des intégrales que $\lim\limits_{n
\rightarrow +\infty} {\rm
H}_n=+\infty$ et de donner un équivalent de ${\rm H}_n$.
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Montrer que pour tout $k \in \mathbb{N}^*$,
$\dfrac{1}{k+1}\leqslant
\displaystyle\int_{k}^{k+1}\dfrac{dx}{x}\leqslant\dfrac{1}{k}$.
- En déduire que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $\ln (n+1) \leqslant {\rm H}_n
$$\leqslant \ln (n+1) + 1 - \dfrac{1}{n+1}$.
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En déduire que $\lim\limits_{n\to+\infty} {\rm H}_n = +\infty$ puis montrer
que $\lim\limits_{n\to+\infty} \dfrac{{\rm H}_n}{\ln n } = 1$.