suite de fonctions - convergence simple et uniforme

On considère la suite de fonctions $(f_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ définie par : $\forall n\in \mathbb{N}^*~~ \forall x\in [0;1]~$ $f_n(x)= \begin{cases} n^2x(1-nx) &\text{ si } 0\leqslant x\leqslant \dfrac 1n \\ 0 &\text{ si } \dfrac 1n \lt x\leqslant 1 \end{cases} $
Étudier la convergence simple et uniforme de la suite de fonctions $(f_n)$ sur $[0;1]$.

On considère la suite de fonctions $(f_n)$ définie par : $\forall n\in \mathbb{N}^*~~ \forall x\in \mathbb{R}_+$ $f_n(x)= \begin{cases} 0 &\text{ si }x= 0 \\ \dfrac{e^{-\dfrac{1}{nx}}}{nx+2} &\text{ si }x\ne 0 \end{cases} $

1. Étudier la convergence simple de la suite de fonctions $(f_n)$.
2. Étudier la convergence uniforme sur $\mathbb{R}_+$ et sur tout intervalle de la forme $[a, +\infty[$, où $a> 0$.