Suite définition - option maths première

Conseils

Suite définition - Calculer les premiers termes

Exercice type

Savoir calculer les premiers termes (en 4 min !) - Les deux exemples à connaître

Casio graph 35

Savoir utiliser sa calculatrice pour calculer les premiers termes (en 6 min !)

Cours complet

Une suite, c'est quoi ?

Imaginer une suite de cartes.
Chaque carte est numérotée en bas à gauche.
Et au centre de chaque carte, on marque une valeur en rouge.

On appelle $\boldsymbol u$ l'ensemble des cartes.
La valeur de la carte numéro $0$ est appelée $u_0$.
La valeur de la carte numéro $1$ est appelée $u_1$.
La valeur de la carte numéro $2$ est appelée $u_2$.
....
La valeur de la carte numéro $\boldsymbol n$ est appelée $\boldsymbol{u_n}$.

Ici on a: $u_0=5$, $u_1=-1,3$, $u_2=\pi$

La suite correspond à l'ensemble des cartes et se note $\boldsymbol u$ ou $\boldsymbol{ (u_n)}$.
Ne pas confondre $(u_n)$ et $u_n$

Mathématiquement

Deux façons classiques de définir une suite :

• A l'aide d'une formule explicite

• A l'aide d'une formule de récurrence

Exercice 1:

Calculer les premiers termes d'une suite - formule explicite et récurrente - première option maths

Dans chaque cas, déterminer les trois premiers termes de la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par:

$u_n={n^2-n+2}$
$\left \{ \begin{array}{r c l} u_0 & = & 1\\ u_{n+1} & = & 2u_n+3 \end{array} \right.$

Exercice 2:

Calculer les premiers termes d'une suite - formule explicite et récurrente - première option maths

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $\left \{ \begin{array}{r c l} u_1 & = & 7\\ u_{n+1} & = & 2u_n-3 \end{array} \right.$

Déterminer $u_2$.
Déterminer $u_0$.

Exercice 3: Calculer les premiers termes d'une suite - formule explicite et récurrente

Dans chaque cas, déterminer les quatre premiers termes de la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par:

$ \color{red}{\textbf{a. }} u_n=\dfrac{n-2}{n+1}$ $\color{red}{\textbf{b. }} \left \{ \begin{array}{r c l} u_0 & = & 1\\ u_{n+1} & = & {u_n}^2+2 \end{array} \right.$ $\color{red}{\textbf{c. }} \left \{ \begin{array}{r c l} u_0 & = & 1\\ u_1 & = & 3\\ u_{n+2} & = & u_{n+1}-u_n \end{array} \right.$

Exercice 4: Suite et pourcentage - Traduire une situation

Traduire chacune des situations suivantes à l'aide d'une suite $(u_n)$. Pour cela, déterminer le terme initial et une relation de récurrence entre $u_{n+1}$ et $u_n$.

Tous les ans, un arbre pousse de 30 cm.
Un livre coûte cette année 12€. Son prix augmente de 7% par an tous les ans.
Un livre coûte cette année 12€. Son prix baisse de 7% par an tous les ans.
Chaque année, une ville de 100 000 habitants a sa population qui augmente de 4 % par accroissement naturel et perd 3000 habitants qui déménagent.
Myriam place à la banque 350€ à intérêts composés de 4% par an.

Exercice 5: Définir une suite par récurrence et par une formule explicite

Pour chacune des suites proposées ci-dessous, donner une formule explicite pour $u_n$ en fonction de $n$ et une expression de $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.

$(u_n)$ est la suite des entiers pairs : $u_0 = 0, \, u_1 = 2, \, u_2 = 4, \, u_3 = 6, \, \ldots$
$(v_n)$ est la suite des entiers impairs : $v_0 = 1, \, v_1 = 3, \, v_2 = 5, \, v_3 = 7, \, \ldots$
$(w_n)$ est la suite des carrés parfaits : $w_0 = 0, \, w_1 = 1, \, w_2 = 4, \, w_3 = 9, \, w_4 = 16, \, \ldots$

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