Probabilité & suite - Exercices type bac

On considère des sacs de billes $\rm S_1$, $\rm S_2$, $\rm S_3$, ...tels que $\rm S_1$ contient 3 billes jaunes et 2 billes vertes.
Chacun des sacs suivants $\rm S_2$, $\rm S_3$, ... contient 2 billes jaunes et 2 billes vertes.
On tire au hasard une bille de $\rm S_1$ et on la met dans $\rm S_2$.
Puis on tire une bille de $\rm S_2$ et on la met dans $\rm S_3$. Et ainsi de suite.
Pour tout entier $n\ge 1$, on note $\rm E_n$ l'évènement « la bille tirée dans $\rm S_n$ est verte » et $\rm{P}(\rm{E}_n)$ sa probabilité.

1. Déterminer $\rm{P}(\rm{E}_1)$, $\rm{P}_{\rm{E}_1}(\rm{E}_2)$, $\rm{P}_{\overline{\rm{E}_1}}(\rm{E}_2)$ puis $\rm P(E_2)$.
2. A l'aide d'un arbre pondéré, exprimer $\rm{P}(\rm{E}_{n+1})$ en fonction de $\rm{P}(\rm{E}_n)$.
3. Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_1=0,4$ et pour tout entier $n\ge 1$, $u_{n+1}=0,2 u_n+0,4$.
   1. Démontrer que la suite $(u_n)$ est majorée par $0,5$.
   2. Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
   3. Justifier que la suite $(u_n)$ est convergente et préciser sa limite.

Un commerçant constate que parmi les clients qui achètent un melon une semaine donnée, $90\%$ d'entre eux achètent un melon la semaine suivante. Parmi les clients qui n'achètent pas de melon une semaine donnée, $60\%$ d'entre eux n'achètent pas de melon la semaine suivante.
On choisit au hasard un client ayant acheté un melon au cours de la semaine 1 et, pour $n \geqslant 1$, on note ${\rm A}_n$ l'évènement : « le client achète un melon au cours de la semaine $n$ » et $p_n=p({\rm A}_n)$. On a ainsi $p_1 = 1$.

1. Démontrer que $p_3 = 0,85$.
2. Sachant que le client achète un melon la semaine 3, quelle est la probabilité qu'il en ait acheté la semaine 2?
3. Démontrer que, pour tout entier $n \geqslant 1$ : $p_{n+1} = 0,5p_n +0,4$.
4. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n \geqslant 1$ : $p_n > 0,8$.
5. En déduire que la suite $(p_n)$ est décroissante. La suite $(p_n)$ est-elle convergente ?
6. On pose pour tout entier $n \geqslant 1$ : $v_n = p_n -0,8$. Démontrer que $(v_n)$ est géométrique.
   Exprimer $v_n$ puis $p_n$ en fonction de $n$. En déduire la limite de $(p_n)$.