Inverse d'une matrice carrée

1. Montrer que les matrices ${\rm A}$ et ${\rm B}$ sont inverses l'une de l'autre.
   ${\rm A} = \begin{pmatrix}\,1 & \,2 \\ -3 & -4 \end{pmatrix}$   ${\rm B} = \dfrac12\begin{pmatrix}-4 & -2 \\ \,3 & \,1 \end{pmatrix}$
2. Quelles valeurs faut-il donner aux réels $c$ et $d$ de façon à ce que ${\rm C}$ et ${\rm D}$ soient inverses ?
   ${\rm C}=\begin{pmatrix} \,\,c & \,\,2 & \,\,3\\ \,\,0 & \,\,1 & \,\,4 \\ \,\,5 & \,\,6 & \,\,0 \end{pmatrix}   {\rm D}=\begin{pmatrix} -24 & \,18 & \,\,5 \\ \,20 & -15 & \,-4 \\ \,\,d & \,\,4 & \,\,1 \end{pmatrix}$

Montrer que la matrice $\rm{A}= \begin{pmatrix}2 & 4 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$ n'est pas inversible (sans utiliser le déterminant).

On considère deux matrices carrées $\rm{A}$ et $\rm{B}$ de même ordre et inversibles.
Montrer que le produit $\rm AB$ est inversible et donner son inverse en fonction de $\rm{A}^{-1}$ et $\rm{B}^{-1}$.

Soit $\rm{A}$ une matrice carrée telle que $\rm{A}^2 = 0$.

1. À l'aide d'un raisonnement par l'absurde, montrer que $\rm{A}$ n'est pas inversible.
2. Montrer, en revanche, que $\rm{I} + \rm{A}$ est inversible ($\rm{I}$ désignant la matrice identité de même ordre que $\rm{A}$).

Démontrer que si une matrice est inversible alors son inverse est unique.

Soit $\rm{A}$ une matrice carrée différente de la matrice unité, montrer en utilisant un raisonnement par l'absurde que si $\rm{A}$ vérifie $\rm{A}^2 = \rm{A}$ alors $\rm{A}$ n'est pas inversible.

On considère la matrice $\rm{A} = \begin{pmatrix}-1 & -2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$.

1. Calculer $\rm A^2$, puis $\rm{A}^2 -3\rm{A} + 2\rm{I}_2$.
2. En déduire que la matrice $\rm{A}$ est inversible et donner son inverse.

On considère les matrices $\rm{A} =\begin{pmatrix} a & b\\ c& d\\ \end{pmatrix}$ et $\rm{B} =\begin{pmatrix} d&-b\\ -c& a\\ \end{pmatrix}$ où $a$, $b$, $c$ et $d$ sont des réels.

1. Justifier que ${\rm A} \times {\rm B} = (ad -bc)I_2$.
2. 1. Montrer que si $ad -bc \neq 0$, la matrice $\rm A$ est inversible et préciser l'inverse de $\rm{A}$.
   2. Réciproquement, montrer que si $\rm A$ est inversible alors $ad -bc \neq 0$.
3. On considère la matrice $\rm{C} =\begin{pmatrix} 4&3\\ 6 & 5\\ \end{pmatrix}$ et la matrice $\rm{D} =\begin{pmatrix} 3&-2\\ 9 & -6\\ \end{pmatrix}$. $\rm{C}$ est-elle inversible? Si oui, donner $\rm{C}^{-1}$. Même question pour $\rm{D}$.

On souhaite résoudre le système $(\mathscr{S})$ : $\begin{cases} x - 2y - 2z= 3 \\ 2x + y + 2z= -2 \\ 2x + z = 1 \\ \end{cases}$ où $x$, $y$ et $z$ sont des réels. On pose : $\rm{X} = \begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ et $\rm{B} = \begin{pmatrix}3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$.

1. Déterminer le matrice $\rm{A}$ telle que le système $(\mathscr{S})$ soit équivalent à l'équation $\rm{A}\rm{X} = \rm{B}$ d'inconnue $\rm{X}$.
2. Vérifier que $\rm{A}$ a pour inverse la matrice $\begin{pmatrix}1 & 2& -2 \\ 2 & 5 & -6 \\ -2 & -4& 5 \end{pmatrix}$.
3. Résoudre le système $(\mathscr{S})$.