Dans ce cours sur les quantificateurs, destiné aux élèves de prépas
scientifiques et Licence, vous allez apprendre à manipuler les quantificateurs
universel ∀ et existentiel ∃, en particulier à écrire une proposition à l'aide de
quantificateurs.
Nous expliquerons également comment nier une proposition et nous détaillerons les règles
pour passer
d'une proposition à sa
négation, transformer un « pour tout » en « il existe ». On verra
également
les pièges classiques qui peuvent conduire à des
erreurs de raisonnement.
Ce cours est accompagné de nombreux exercices corrigés en vidéo, pour vous entraîner et vérifier que vous avez bien compris.
Exercice
1:
Traduire une proposition à l'aide de quantificateur - Nier
proposition
- prépa MPSI MP2I MPPCSI PTSI BCPST CPGE ECS
Soit $f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ une fonction. Traduire les propositions suivantes à
l'aide de
quantificateurs puis nier des propositions:
- $f$ est positive.
- $f$ est paire.
- $f$ est périodique.
- $f$ est constante.
- $f$ est croissante.
- $f$ s'annule.
Exercice
2:
Traduire une proposition à l'aide de quantificateur puis la nier -
négation - prépa MPSI MP2I PCSI PTSI BCPST CPGE ECS
Soit $f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ une fonction. Traduire les propositions suivantes à
l'aide de
quantificateurs puis nier des propositions:
- $f$ s'annule au plus une fois.
- $f$ s'annule une fois exactement.
Exercice
3:
Traduire une proposition à l'aide de quantificateur puis la nier -
négation - prépa MPSI MP2I PCSI PTSI BCPST CPGE ECS
Soit $f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ une fonction. Traduire les propositions suivantes à
l'aide de
quantificateurs puis nier des propositions:
- $f$ est majorée.
- $f$ possède un minimum.
- $f$ est strictement décroissante.
Exercice
4:
Ordre des quantificateurs - Permuter quantificateurs peut changer
le sens
négation - prépa MPSI MP2I PCSI PTSI BCPST CPGE ECS
Pour chacune des assertions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant puis
donner sa négation :
- $\exists x\in \mathbb{R},~ \forall y\in \mathbb{R},~ x+y>0$
- $\forall x\in \mathbb{R},~ \exists y\in \mathbb{R},~ x+y>0$
- $\forall x\in \mathbb{R},~ \forall y\in \mathbb{R},~ x+y>0$
- $\exists x\in \mathbb{R},~ \forall y\in \mathbb{R},~ y^2>x$
Exercice
5:
Traduire une proposition à l'aide de quantificateur - prépa MPSI
PCSI
ECS CPGE
Soit $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite réelle. Traduire les propositions suivantes à l'aide de
quantificateurs puis nier des propositions:
- la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est positive.
- la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est positive à partir du rang 4.
- la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est positive à partir d'un certain rang.
Exercice
6:
Traduire une proposition à l'aide de quantificateur - prépa MPSI
PCSI
ECS CPGE
Soit $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite réelle. Traduire les propositions suivantes à l'aide de
quantificateurs puis nier des propositions:
- la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est majorée par 2.
- la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est majorée.
- la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est positive à partir d'un certain rang.
Exercice
7:
Traduire une proposition à l'aide de quantificateur - prépa MPSI
PCSI
ECS CPGE
(On note P l'ensemble des nombres premiers.) Traduire les propositions suivantes à l'aide de
quantificateurs:
- Tout entier est pair ou impair.
- Il existe une infinité de nombres premiers.
- $2$ est le seul entier premier pair.
Exercice
8:
prépa MPSI PCSI ECS CPGE
$\rm I$ est un intervalle non vide de $\mathbb{R}$ et $f:{\rm I}\mapsto \mathbb{R}$ une
fonction.
Nier les propositions suivantes:
-
$\forall x\in{\rm I}, f(x)\ne 0$
-
$\forall y\in\mathbb{R}, \exists x\in{\rm I}, f(x)=y$
-
$\exists {\rm M}\in\mathbb{R}, \forall x\in{\rm I},\ |f(x)|\leqslant M$
-
$\forall x\in {\rm I},\ f(x)\gt 0 \Rightarrow x\leqslant 0$
-
$\forall \varepsilon>0,\ \exists \eta>0, \forall (x,y)\in {\rm I}^2,\
\big(|x-y|\leqslant \eta\implies |f(x)-f(y)|\leqslant\varepsilon\big)$
Exercice
9:
Distribuer un "pour tout ∀" sur un "ou" - prépa MPSI PCSI ECS CPGE
-
Traduire à l'aide de quantificateurs les propositions suivantes:
-
Tout entier naturel est pair ou impair.
-
Tout entier naturel est pair ou tout entier naturel est impair.
-
Que peut-on en conclure?
Exercice
10:
intervertir les quantificateurs universel et existentiel "il
existe" et "pour tout" - prépa MPSI PCSI ECS CPGE
-
Traduire à l'aide de quantificateurs la proposition suivante: Tout réel a un opposé
-
Que penser de la proposition: $\exists y\in \mathbb{R}, \forall x\in \mathbb{R},
x+y=0$.
Que peut-on en conclure?
-
(à finir)
Les propositions
suivantes sont-elles vraies ou fausses?
- ∀n€N ∃x€R x>2n
on
intervertit
(exemple
pour expliquer: ∃ n€N ∀m€N m⩽n et intervertir ∀n€N ∃m€N m⩽n expliquer on choisit
d'abord
...)
Exercice
11:
quantificateurs - prépa MPSI PCSI ECS CPGE
Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses?
-
$\forall x\in\mathbb{R},~ x\gt 2\Rightarrow x\geqslant 3$
-
$\forall (x,y)\in (\mathbb{R}^*)^2 ,~ x\lt y \Rightarrow \dfrac 1x \gt \dfrac
1y$
-
$\exists x\in {\mathbb{R}}_+ ,~ x\lt \sqrt x$
-
$\forall x,x' \in \mathbb{R} \backslash \{ 1\},~ x\ne x' \Rightarrow
\dfrac{x+1}{x-1}\ne \dfrac{x'+1}{x'-1}$
-
$\forall {\rm N}\in {\mathbb{N}}^* ,\exists n\in {\mathbb{N}}^*, ~
\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k \geqslant {\rm N}$
-
$\forall x\in \mathbb{R},~ x^2+x\geqslant 0 \Rightarrow x\geqslant 0$
Exercice
12:
quantificateurs - prépa MPSI PCSI ECS CPGE
$f$ est une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. Nier les propositions suivantes:
-
il existe $x\in {\mathbb{R}}^+ ,~ f(x)\leqslant 0$
-
Pour tout $x\in {\mathbb{R}}^+ ,~ f(x)\leqslant 0$
-
il existe un unique $x\in {\mathbb{R}}^+ ,~ f(x)\leqslant 0$
