Quantificateurs ∀ et ∃ en maths - Universel, existentiel et négation d'une proposition

Conseils

📘 Quantificateurs ∀ ∃ ∃! : “pour tout”, “il existe” et “il existe un unique”

Dans ce cours destiné aux élèves de prépas scientifiques et Licence, tu vas apprendre à comprendre et manipuler les quantificateurs : “pour tout” (quantificateur universel) et “il existe” (quantificateur existentiel).

Tu verras ce qu'ils signifient, comment les utiliser correctement et éviter les erreurs classiques qui peuvent conduire à des erreurs de raisonnement. Par exemple, inverser l'ordre des quantificateurs peut changer le sens d'une proposition et aboutir à une erreur.

Nous expliquerons également comment nier une proposition et nous détaillerons les règles pour passer d'une proposition à sa négation.

💪 Ce cours est expliqué en vidéo et accompagné de nombreux exercices corrigés en vidéo, pour vous entraîner et vérifier que vous avez bien compris.

📌 $\boldsymbol{\forall}$ se lit “pour tout” ou “quel que soit”.
Ce quantificateur permet d'exprimer qu'un énoncé est vrai quel que soit la valeur de la variable.
Exemple : $\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \geqslant 0$

📌 $\boldsymbol{\exists}$ se lit “il existe”.
Ce quantificateur permet d'exprimer qu'un énoncé est vrai pour au moins une valeur de la variable.
Exemple : $\exists x \in \mathbb{R},\ x^2 = 4$

📌 $\boldsymbol{\exists !}$ se lit “il existe un unique”.
Ce pseudo-quantificateur permet d'exprimer qu'un énoncé est vrai pour une unique valeur de la variable.
Exemple : $\exists !\ x \in \mathbb{R},\ x + 1 = 0$

👉 Attention ⚠️ : l’ordre des quantificateurs est très important !
$\forall x \ \exists y \quad \text{ne signifie pas la même chose que} \quad \exists y \ \forall x$

👉 Exemple :
$\forall x \in \mathbb{R},\ \exists y \in \mathbb{R},\ y = x + 1$ (vrai)
$\exists y \in \mathbb{R},\ \forall x \in \mathbb{R},\ y = x + 1$ (faux)

👉 Pour nier une phrase mathématique :

Pour nier une phrase, on réécrit cette phrase en remplaçant tous les $\boldsymbol{\color{red}\forall}$ par des $\boldsymbol{\color{red}\exists}$ et tous les $\boldsymbol{\color{red}\exists}$ par des $\boldsymbol{\color{red}\forall}$, puis on nie l'assertion P.
La négation de : $\color{red}{\forall x\in E, P(x)}$ est $\color{red}{\exists x\in E, \text{non } P(x)}$
La négation de : $\color{red}{\exists x\in E, P(x)}$ est $\color{red}{\forall x\in E, \text{non } P(x)}$

Exemples :
La négation de : tous les chats sont gris est il existe au moins un chat qui n'est pas gris
La négation de : il existe un chat rose est quel que soit le chat, il n'est pas rose

👉 On ne mélange pas les symboles $\boldsymbol{\forall}$ et $\boldsymbol{\exists}$ au cœur d'une phrase en français.
Soit on fait une phrase en français, soit on écrit avec des quantificateurs, mais on ne mélange pas les deux.
On n'écrit pas : ${\forall}x\in\mathbb{R},$ $\cos x$ est plus petit que 1.

🎯 Objectif : comprendre le sens des quantificateurs, savoir les manipuler et éviter les erreurs dans les raisonnements.

📺 Tout le cours est expliqué en vidéo et tu trouveras aussi de nombreux exercices corrigés en vidéo pour t’entraîner 💪

📺 REGARDE LE COURS EN VIDÉO 👇

✏️ Exercices : quantificateurs ∀ ∃ ∃! - savoir les utiliser et éviter les erreurs classiques

Exercice 1:

Traduire une proposition à l'aide de quantificateur - Nier proposition - prépa MPSI MP2I MPPCSI PTSI BCPST CPGE ECS

Soit $f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ une fonction. Traduire les propositions suivantes à l'aide de quantificateurs puis nier des propositions:

$f$ est positive.
$f$ est paire.
$f$ est périodique.
$f$ est constante.
$f$ est croissante.
$f$ s'annule.

Exercice 2:

Traduire une proposition à l'aide de quantificateur puis la nier - négation - prépa MPSI MP2I PCSI PTSI BCPST CPGE ECS

Soit $f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ une fonction. Traduire les propositions suivantes à l'aide de quantificateurs puis nier des propositions:

$f$ s'annule au plus une fois.
$f$ s'annule une fois exactement.

Exercice 3:

Traduire une proposition à l'aide de quantificateur puis la nier - négation - prépa MPSI MP2I PCSI PTSI BCPST CPGE ECS

Soit $f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ une fonction. Traduire les propositions suivantes à l'aide de quantificateurs puis nier des propositions:

$f$ est majorée.
$f$ possède un minimum.
$f$ est strictement décroissante.

Exercice 4:

Ordre des quantificateurs - Permuter quantificateurs peut changer le sens négation - prépa MPSI MP2I PCSI PTSI BCPST CPGE ECS

Pour chacune des assertions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant puis donner sa négation :

$\exists x\in \mathbb{R},~ \forall y\in \mathbb{R},~ x+y>0$
$\forall x\in \mathbb{R},~ \exists y\in \mathbb{R},~ x+y>0$
$\forall x\in \mathbb{R},~ \forall y\in \mathbb{R},~ x+y>0$
$\exists x\in \mathbb{R},~ \forall y\in \mathbb{R},~ y^2>x$

Exercice 5:

Traduire une proposition à l'aide de quantificateur - prépa MPSI PCSI ECS CPGE

Soit $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite réelle. Traduire les propositions suivantes à l'aide de quantificateurs puis nier des propositions:

la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est positive.
la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est positive à partir du rang 4.
la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est positive à partir d'un certain rang.

Exercice 6:

Traduire une proposition à l'aide de quantificateur - prépa MPSI PCSI ECS CPGE

Soit $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite réelle. Traduire les propositions suivantes à l'aide de quantificateurs puis nier des propositions:

la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est majorée par 2.
la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est majorée.
la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est positive à partir d'un certain rang.

Exercice 7:

Traduire une proposition à l'aide de quantificateur - prépa MPSI PCSI ECS CPGE

(On note P l'ensemble des nombres premiers.) Traduire les propositions suivantes à l'aide de quantificateurs:

Tout entier est pair ou impair.
Il existe une infinité de nombres premiers.
$2$ est le seul entier premier pair.

Exercice 8:

prépa MPSI PCSI ECS CPGE

$\rm I$ est un intervalle non vide de $\mathbb{R}$ et $f:{\rm I}\mapsto \mathbb{R}$ une fonction. Nier les propositions suivantes:

$\forall x\in{\rm I}, f(x)\ne 0$
$\forall y\in\mathbb{R}, \exists x\in{\rm I}, f(x)=y$
$\exists {\rm M}\in\mathbb{R}, \forall x\in{\rm I},\ |f(x)|\leqslant M$
$\forall x\in {\rm I},\ f(x)\gt 0 \Rightarrow x\leqslant 0$
$\forall \varepsilon>0,\ \exists \eta>0, \forall (x,y)\in {\rm I}^2,\ \big(|x-y|\leqslant \eta\implies |f(x)-f(y)|\leqslant\varepsilon\big)$

Exercice 9:

Distribuer un "pour tout ∀" sur un "ou" - prépa MPSI PCSI ECS CPGE

Traduire à l'aide de quantificateurs les propositions suivantes:
1. Tout entier naturel est pair ou impair.
2. Tout entier naturel est pair ou tout entier naturel est impair.
Que peut-on en conclure?

Exercice 10:

intervertir les quantificateurs universel et existentiel "il existe" et "pour tout" - prépa MPSI PCSI ECS CPGE

Traduire à l'aide de quantificateurs la proposition suivante: Tout réel a un opposé
Que penser de la proposition: $\exists y\in \mathbb{R}, \forall x\in \mathbb{R}, x+y=0$. Que peut-on en conclure?
(à finir) Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses?
- ∀n€N ∃x€R x>2n
on intervertit
(exemple pour expliquer: ∃ n€N ∀m€N m⩽n et intervertir ∀n€N ∃m€N m⩽n expliquer on choisit d'abord ...)

Exercice 11:

quantificateurs - prépa MPSI PCSI ECS CPGE

Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses?

$\forall x\in\mathbb{R},~ x\gt 2\Rightarrow x\geqslant 3$
$\forall (x,y)\in (\mathbb{R}^*)^2 ,~ x\lt y \Rightarrow \dfrac 1x \gt \dfrac 1y$
$\exists x\in {\mathbb{R}}_+ ,~ x\lt \sqrt x$
$\forall x,x' \in \mathbb{R} \backslash \{ 1\},~ x\ne x' \Rightarrow \dfrac{x+1}{x-1}\ne \dfrac{x'+1}{x'-1}$
$\forall {\rm N}\in {\mathbb{N}}^* ,\exists n\in {\mathbb{N}}^*, ~ \displaystyle\sum_{k=1}^{n} k \geqslant {\rm N}$
$\forall x\in \mathbb{R},~ x^2+x\geqslant 0 \Rightarrow x\geqslant 0$

Exercice 12:

quantificateurs - prépa MPSI PCSI ECS CPGE

$f$ est une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. Nier les propositions suivantes:

il existe $x\in {\mathbb{R}}^+ ,~ f(x)\leqslant 0$
Pour tout $x\in {\mathbb{R}}^+ ,~ f(x)\leqslant 0$
il existe un unique $x\in {\mathbb{R}}^+ ,~ f(x)\leqslant 0$

Quantificateurs ∀ et ∃ en maths : universel, existentiel et négation de proposition

📘 Quantificateurs ∀ ∃ ∃! : “pour tout”, “il existe” et “il existe un unique”

✏️ Exercices : quantificateurs ∀ ∃ ∃! - savoir les utiliser et éviter les erreurs classiques

Traduire une proposition à l'aide de quantificateur - Nier proposition - prépa MPSI MP2I MPPCSI PTSI BCPST CPGE ECS

Traduire une proposition à l'aide de quantificateur puis la nier - négation - prépa MPSI MP2I PCSI PTSI BCPST CPGE ECS

Traduire une proposition à l'aide de quantificateur puis la nier - négation - prépa MPSI MP2I PCSI PTSI BCPST CPGE ECS

Ordre des quantificateurs - Permuter quantificateurs peut changer le sens négation - prépa MPSI MP2I PCSI PTSI BCPST CPGE ECS

Traduire une proposition à l'aide de quantificateur - prépa MPSI PCSI ECS CPGE

Traduire une proposition à l'aide de quantificateur - prépa MPSI PCSI ECS CPGE

Traduire une proposition à l'aide de quantificateur - prépa MPSI PCSI ECS CPGE

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Distribuer un "pour tout ∀" sur un "ou" - prépa MPSI PCSI ECS CPGE

intervertir les quantificateurs universel et existentiel "il existe" et "pour tout" - prépa MPSI PCSI ECS CPGE

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