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Quantificateur universel & existentiel - ∀ quel que soit - ∃ il existe - cours logique prépa MPSI MP2I PCSI PTSI BCPST
Cours
Nier une proposition - Nier les quantificateurs il existe / quel que soit - Nier une implication
Exercice 1:
Traduire une proposition à l'aide de quantificateur - Nier proposition - prépa MPSI MP2I MPPCSI PTSI BCPST CPGE ECS
Soit $f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ une fonction. Traduire les propositions suivantes à l'aide de quantificateurs puis nier des propositions:
$f$ est positive.
$f$ est paire.
$f$ est périodique.
$f$ est constante.
$f$ est croissante.
$f$ s'annule.
Exercice 2:
Traduire une proposition à l'aide de quantificateur puis la nier - négation - prépa MPSI MP2I PCSI PTSI BCPST CPGE ECS
Soit $f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ une fonction. Traduire les propositions suivantes à l'aide de quantificateurs puis nier des propositions:
$f$ s'annule au plus une fois.
$f$ s'annule une fois exactement.
Exercice 3:
Traduire une proposition à l'aide de quantificateur puis la nier - négation - prépa MPSI MP2I PCSI PTSI BCPST CPGE ECS
Soit $f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ une fonction. Traduire les propositions suivantes à l'aide de quantificateurs puis nier des propositions:
$f$ est majorée.
$f$ possède un minimum.
$f$ est strictement décroissante.
Exercice 4:
Ordre des quantificateurs - Permuter quantificateurs peut changer le sens négation - prépa MPSI MP2I PCSI PTSI BCPST CPGE ECS
Pour chacune des assertions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant puis donner sa négation :
$\exists x\in \mathbb{R},~ \forall y\in \mathbb{R},~ x+y>0$
$\forall x\in \mathbb{R},~ \exists y\in \mathbb{R},~ x+y>0$
$\forall x\in \mathbb{R},~ \forall y\in \mathbb{R},~ x+y>0$
$\exists x\in \mathbb{R},~ \forall y\in \mathbb{R},~ y^2>x$
Exercice 5:
Traduire une proposition à l'aide de quantificateur - prépa MPSI PCSI ECS CPGE
Soit $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite réelle. Traduire les propositions suivantes à l'aide de quantificateurs puis nier des propositions:
la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est positive.
la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est positive à partir du rang 4.
la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est positive à partir d'un certain rang.
Exercice 6:
Traduire une proposition à l'aide de quantificateur - prépa MPSI PCSI ECS CPGE
Soit $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite réelle. Traduire les propositions suivantes à l'aide de quantificateurs puis nier des propositions:
la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est majorée par 2
.
la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est majorée.
la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est positive à partir d'un certain rang
.
Exercice 7:
Traduire une proposition à l'aide de quantificateur - prépa MPSI PCSI ECS CPGE
(On note P l'ensemble des nombres premiers.) Traduire les propositions suivantes à l'aide de quantificateurs:
Tout entier est pair ou impair.
Il existe une infinité de nombres premiers.
$2$ est le seul entier premier pair.
Exercice 8:
prépa MPSI PCSI ECS CPGE
$\rm I$ est un intervalle non vide de $\mathbb{R}$ et $f:{\rm I}\mapsto \mathbb{R}$ une fonction. Nier les propositions suivantes:
$\forall x\in{\rm I}, f(x)\ne 0$
$\forall y\in\mathbb{R}, \exists x\in{\rm I}, f(x)=y$
$\exists {\rm M}\in\mathbb{R}, \forall x\in{\rm I},\ |f(x)|\leqslant M$
$\forall x\in {\rm I},\ f(x)\gt 0 \Rightarrow x\leqslant 0$
$\forall \varepsilon>0,\ \exists \eta>0, \forall (x,y)\in {\rm I}^2,\ \big(|x-y|\leqslant \eta\implies |f(x)-f(y)|\leqslant\varepsilon\big)$
Exercice 9:
Distribuer un "pour tout ∀" sur un "ou" - prépa MPSI PCSI ECS CPGE
Traduire à l'aide de quantificateurs les propositions suivantes:
Tout entier naturel est pair ou impair.
Tout entier naturel est pair ou tout entier naturel est impair.
Que peut-on en conclure?
Exercice 10:
intervertir les quantificateurs universel et existentiel "il existe" et "pour tout" - prépa MPSI PCSI ECS CPGE
Traduire à l'aide de quantificateurs la proposition suivante: Tout réel a un opposé
Que penser de la proposition: $\exists y\in \mathbb{R}, \forall x\in \mathbb{R}, x+y=0$. Que peut-on en conclure?
(à finir) Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses?
- ∀n€N ∃x€R x>2n
on intervertit
(exemple pour expliquer: ∃ n€N ∀m€N m⩽n et intervertir ∀n€N ∃m€N m⩽n expliquer on choisit d'abord ...)
Exercice 11:
quantificateurs - prépa MPSI PCSI ECS CPGE
Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses?
$\forall x\in\mathbb{R},~ x\gt 2\Rightarrow x\geqslant 3$
$\forall (x,y)\in (\mathbb{R}^*)^2 ,~ x\lt y \Rightarrow \dfrac 1x \gt \dfrac 1y$
$\exists x\in {\mathbb{R}}_+ ,~ x\lt \sqrt x$
$\forall x,x' \in \mathbb{R} \backslash \{ 1\},~ x\ne x' \Rightarrow \dfrac{x+1}{x-1}\ne \dfrac{x'+1}{x'-1}$
$\forall {\rm N}\in {\mathbb{N}}^* ,\exists n\in {\mathbb{N}}^*, ~ \displaystyle\sum_{k=1}^{n} k \geqslant {\rm N}$
$\forall x\in \mathbb{R},~ x^2+x\geqslant 0 \Rightarrow x\geqslant 0$
Exercice 12:
quantificateurs - prépa MPSI PCSI ECS CPGE
$f$ est une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. Nier les propositions suivantes:
il existe $x\in {\mathbb{R}}^+ ,~ f(x)\leqslant 0$
Pour tout $x\in {\mathbb{R}}^+ ,~ f(x)\leqslant 0$
il existe un unique $x\in {\mathbb{R}}^+ ,~ f(x)\leqslant 0$
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Ne pas dépasser la dose prescrite.
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/
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