Qu'est-ce qu'un changement de variable pour les intégrales ?

Le changement de variable consiste à transformer une intégrale compliquée en une forme plus simple, en remplaçant la variable d'intégration par une autre fonction dérivable.

Quand utiliser un changement de variable ?

On utilise un changement de variable quand l'intégrale directe est compliquée et qu'une transformation permet de la simplifier pour pouvoir la calculer facilement.

Quelles sont les erreurs courantes à éviter ?

Les erreurs fréquentes sont : ne pas changer correctement les bornes, oublier de vérifier que la fonction du changement de variable est dérivable, ou confondre les signes lors du remplacement.

Comment vérifier qu'un changement de variable est valide ?

Il faut s'assurer que la fonction choisie est de classe C1 sur l'intervalle considéré, c'est-à-dire qu'elle est dérivable et que sa dérivée est continue.

Calcul d'intégrales : méthode du changement de variable (cours et exemples)

Dans ce cours de calcul intégral destiné aux élèves de prépas scientifiques et Licence, vous allez apprendre à faire un changement de variable pour calculer une intégrale, c'est-à-dire à transformer une intégrale compliquée en une forme plus simple pour pouvoir la calculer plus facilement.

Nous expliquerons les techniques à appliquer pour choisir le bon changement de variable et effectuer le calcul correctement, ainsi que les erreurs courantes à éviter pour ne pas se tromper dans les transformations et les bornes.
Nous expliquerons également les conditions à vérifier avant de faire un changement de variable, afin de s'assurer que le calcul reste rigoureux.

Cours - Changement de variable pour calculer une intégrale

📌 Changement de variable dans la pratique (en exercice)

Écrire le changement de variable ...=....
Dériver
Changer les bornes de l'intégrale
Vérifier que la fonction $\varphi$ du changement de variable est de classe $\mathcal C^1$ sur $[a;b]$
De classe $\mathcal C^1$ sur $[a;b]$ signifie que la fonction est dérivable sur $[a;b]$ et sa dérivée est continue sur $[a;b]$.

✏️ Exemple

À l'aide d'un changement de variable, calculer l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac {\sin t}{1+\cos ^2 t} \, \mathrm{d}t$

➤ Pour calculer cette intégrale, on va utiliser le changement de variable $x=\cos t$

On dérive $x=\cos t$ et on obtient $dx= - \sin t \,\mathrm{d}t$
On s'occupe des bornes:
Pour $t=0$, on a $x=\cos(0)=1$
Pour $t=\pi$, on a $x=\cos(\pi) =-1$
On vérifie que $\varphi$ est $\mathcal C^1$ :
On appelle $\varphi$ la fonction du changement de variable et donc on écrit:
$\varphi : t\mapsto \cos t$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $[0;\pi]$
On passe au calcul :
$\displaystyle\phantom{=}\int_{0}^{\pi} \dfrac {\sin t}{1+\cos ^2 t} \, \mathrm{d}t$ $\displaystyle =-\int_{0}^{\pi} \dfrac {-\sin t}{1+\cos ^2 t} \, \mathrm{d}t$
J'ai rajouté un $-$ au numérateur pour faire apparaître $- \sin t \,\mathrm{d}t$ car ensuite je pourrais le remplacer par $\mathrm{d}x$.
Comme j'ai rajouté un $-$ au numérateur, pour ne rien changer je dois rajouter $-$ devant l'intégrale.
$\displaystyle =-\int_{1}^{-1} \dfrac {\mathrm{d}x}{1+x ^2 } $
J'ai changé les bornes de l'intégrale.

J'ai remplacé $- \sin t \,\mathrm{d}t$ par $\mathrm{d}x$.

Enfin j'ai remplacé $\cos t$ par $x$
$\displaystyle =-\left(-\int_{-1}^{1} \dfrac {\mathrm{d}x}{1+x ^2 }\right) $
J'ai inversé les bornes ce qui fait apparaître un signe $-$ devant l'intégrale
$\displaystyle =\int_{-1}^{1} \dfrac {\mathrm{d}x}{1+x ^2 } $ $\displaystyle =\int_{-1}^{1} \dfrac {1}{1+x ^2 } \, \mathrm{d}x $
J'ai arrangé les deux signes $-$

Puis séparer le $\mathrm{d}x$ pour faire apparaître une forme connue $\dfrac 1{1+x^2}$ dont on connaît une primitive $\arctan x$
$=\left[ \arctan x \right]_{-1}^{1} $

$= \arctan (1)-\arctan (-1) $

$= \dfrac{\pi}4-\left(-\dfrac{\pi}4\right) = \dfrac {\pi}2 $

✏️ EXERCICE idéal pour commencer

6:41

Calcul d'intégrale à l'aide d'un changement de variable

📌 COURS

18:21

Calcul d'intégrale à l'aide d'un changement de variable + rédiger

✏️ Exercice très classique

20:45

Règles de Bioche - pour savoir quel changement de variable faire

Exercice 1: Calcul d'intégral avec changement de variable sinus fonction trigonométrique racine

Calculer les intégrales suivantes à l'aide d'un changement de variable :

$\color{red}{\textbf{a. }} \displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac {\sin t}{1+\cos ^2 t} \, \mathrm{d}t$ $\color{red}{\textbf{b. }} \displaystyle\int_{0}^{\frac 12} \dfrac {1}{\left(1-x^2\right)^{\frac 32}} \, \mathrm{d}x$ $\color{red}{\textbf{c. }} \displaystyle\int_{1}^{4} \dfrac 1{t+\sqrt t} \, \mathrm{d}t$ $\color{red}{\textbf{d. }} \displaystyle\int_{1}^{3} \dfrac 1{\sqrt t+\sqrt {t^3}} \, \mathrm{d}t$

Exercice 2: Calcul d'intégral avec changement de variable avec logarithme racine

Calculer les intégrales suivantes à l'aide d'un changement de variable :

$\color{red}{\textbf{a. }} \displaystyle\int_{1}^{e} \dfrac {\ln t}{t+t(\ln (t) )^2} \, \mathrm{d}t$ $\color{red}{\textbf{b. }} \displaystyle\int_{1}^{e^2} \dfrac {1}{2t\ln(t) + t} \, \mathrm{d}t$ $\color{red}{\textbf{c. }} \displaystyle\int_{3}^{8} \dfrac {x}{\sqrt {1+x}} \, \mathrm{d}x$

Exercice 3: Calcul d'intégral avec changement de variable

Calculer l'intégrale suivante à l'aide d'un changement de variable : $\displaystyle\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} \, \mathrm{d}x$
Refaire la question précédente par une autre méthode.

Exercice 4: Calcul d'intégral avec changement de variable avec exponentielle racine fonction trigonométrique

Calculer les intégrales suivantes à l'aide d'un changement de variable :

$\color{red}{\textbf{a. }} \displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac 1{1+e^x} \, \mathrm{d}x$ $\color{red}{\textbf{b. }} \displaystyle\int_{1}^{9} e^{\sqrt x} \, \mathrm{d}x$ $\color{red}{\textbf{c. }} \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi ^2}4} \sin\left(\sqrt x\right) \, \mathrm{d}x$ $\color{red}{\textbf{d. }} \displaystyle\int_{1}^{e^{\pi}} \sin\left(\ln (x)\right) \, \mathrm{d}x$

Exercice 5: Calcul d'intégral avec changement de variable racine fonction trigonométrique

Calculer les intégrales suivantes à l'aide d'un changement de variable :

$\color{red}{\textbf{a. }} \displaystyle\int_{0}^{4} 3^{\sqrt{2x+1}} \, \mathrm{d}x$ $\color{red}{\textbf{d. }} \displaystyle\int_{\frac \pi 3}^{\frac \pi 2} \dfrac 1{\sin(x)} \, \mathrm{d}x$

Exercice 6: Calcul d'intégral avec changement de variable - Règles de Bioche

Déterminer une primitive des fonctions suivantes à l'aide d'un changement de variable en précisant sur quel(s) intervalle(s) elle y est définie :

$\color{red}{\textbf{a. }} x\mapsto \cos (2\ln x) $ $\color{red}{\textbf{b. }} x\mapsto \cos (\sqrt x) $

Calcul d'intégrale à l'aide d'un changement de variable

Cours - Changement de variable pour calculer une intégrale

📌 Changement de variable dans la pratique (en exercice)

✏️ Exemple

Calcul d'intégrale à l'aide d'un changement de variable

Calcul d'intégrale à l'aide d'un changement de variable + rédiger

Règles de Bioche - pour savoir quel changement de variable faire

Exercice 1: Calcul d'intégral avec changement de variable sinus fonction trigonométrique racine

Exercice 2: Calcul d'intégral avec changement de variable avec logarithme racine

Exercice 3: Calcul d'intégral avec changement de variable

Exercice 4: Calcul d'intégral avec changement de variable avec exponentielle racine fonction trigonométrique

Exercice 5: Calcul d'intégral avec changement de variable racine fonction trigonométrique

Exercice 6: Calcul d'intégral avec changement de variable - Règles de Bioche

Tous les niveaux couverts

Lycée

Supérieur

Manuels scolaires pour lesquels j'ai réalisé les vidéos

Jaicompris.com — dans la presse et les médias

Prêt à transformer ton apprentissage ?