intégrale changement de variable - primitive intégration

Conseils

Calculer une intégrale par changement de variable

Cours Calculer une intégrale à l'aide d'un changement de variable + le rédiger (en 15 min 😜)

Calculer une intégrale à l'aide d'un changement de variable dans la pratique

Exemple $\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac {\sin t}{1+\cos ^2 t} \, \mathrm{d}t$

Pour calculer cette intégrale, on va utiliser le changement de variable $x=\cos t$

On dérive

On s'occupe des bornes

On vérifie que $\varphi$ est $\mathcal C^1$

On passe au calcul

$\displaystyle\phantom{=}\int_{0}^{\pi} \dfrac {\sin t}{1+\cos ^2 t} \, \mathrm{d}t$ $\displaystyle =-\int_{0}^{\pi} \dfrac {-\sin t}{1+\cos ^2 t} \, \mathrm{d}t$

$\displaystyle =-\int_{1}^{-1} \dfrac {\mathrm{d}x}{1+x ^2 } $

$\displaystyle =-\left(-\int_{-1}^{1} \dfrac {\mathrm{d}x}{1+x ^2 }\right) $

$\displaystyle =\int_{-1}^{1} \dfrac {\mathrm{d}x}{1+x ^2 } $ $\displaystyle =\int_{-1}^{1} \dfrac {1}{1+x ^2 } \, \mathrm{d}x $

$=\left[ \arctan x \right]_{-1}^{1} $

$= \arctan (1)-\arctan (-1) $

$= \dfrac{\pi}4-\left(-\dfrac{\pi}4\right) $

$= \dfrac {\pi}2 $

Exercice 1: intégrale ♦ changement de variable

Calculer les intégrales suivantes à l'aide d'un changement de variable :

$\color{red}{\textbf{a. }} \displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac {\sin t}{1+\cos ^2 t} \, \mathrm{d}t$ $\color{red}{\textbf{b. }} \displaystyle\int_{0}^{\frac 12} \dfrac {1}{\left(1-x^2\right)^{\frac 32}} \, \mathrm{d}x$ $\color{red}{\textbf{c. }} \displaystyle\int_{1}^{4} \dfrac 1{t+\sqrt t} \, \mathrm{d}t$ $\color{red}{\textbf{d. }} \displaystyle\int_{1}^{3} \dfrac 1{\sqrt t+\sqrt {t^3}} \, \mathrm{d}t$

Exercice 2: intégrale ♦ changement de variable

Calculer les intégrales suivantes à l'aide d'un changement de variable :

$\color{red}{\textbf{a. }} \displaystyle\int_{1}^{e} \dfrac {\ln t}{t+t(\ln (t) )^2} \, \mathrm{d}t$ $\color{red}{\textbf{b. }} \displaystyle\int_{1}^{e^2} \dfrac {1}{2t\ln(t) + t} \, \mathrm{d}t$ $\color{red}{\textbf{c. }} \displaystyle\int_{3}^{8} \dfrac {x}{\sqrt {1+x}} \, \mathrm{d}x$

Exercice 3: intégrale ♦ changement de variable

Calculer l'intégrale suivante à l'aide d'un changement de variable : $\displaystyle\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} \, \mathrm{d}x$
Refaire la question précédente par une autre méthode.

Exercice 4: intégrale ♦ changement de variable

Calculer les intégrales suivantes à l'aide d'un changement de variable :

$\color{red}{\textbf{a. }} \displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac 1{1+e^x} \, \mathrm{d}x$ $\color{red}{\textbf{b. }} \displaystyle\int_{1}^{9} e^{\sqrt x} \, \mathrm{d}x$ $\color{red}{\textbf{c. }} \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi ^2}4} \sin\left(\sqrt x\right) \, \mathrm{d}x$ $\color{red}{\textbf{d. }} \displaystyle\int_{1}^{e^{\pi}} \sin\left(\ln (x)\right) \, \mathrm{d}x$

Exercice 5: intégrale ♦ changement de variable

Calculer les intégrales suivantes à l'aide d'un changement de variable :

$\color{red}{\textbf{a. }} \displaystyle\int_{0}^{4} 3^{\sqrt{2x+1}} \, \mathrm{d}x$ $\color{red}{\textbf{d. }} \displaystyle\int_{\frac \pi 3}^{\frac \pi 2} \dfrac 1{\sin(x)} \, \mathrm{d}x$

Exercice 6: intégrale ♦ changement de variable

Déterminer une primitive des fonctions suivantes à l'aide d'un changement de variable en précisant sur quel(s) intervalle(s) elle y est définie :

$\color{red}{\textbf{a. }} x\mapsto \cos (2\ln x) $ $\color{red}{\textbf{b. }} x\mapsto \cos (\sqrt x) $

Intégrale ♦ Changement de variable

Calculer une intégrale à l'aide d'un changement de variable dans la pratique

Exemple \(\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac {\sin t}{1+\cos ^2 t} \, \mathrm{d}t\)

Exercice 1: intégrale ♦ changement de variable

Exercice 2: intégrale ♦ changement de variable

Exercice 3: intégrale ♦ changement de variable

Exercice 4: intégrale ♦ changement de variable

Exercice 5: intégrale ♦ changement de variable

Exercice 6: intégrale ♦ changement de variable