Fonction cube : cours, définition, propriétés et exercices corrigés

Conseils

Fonction cube

📘 Cours : fonction cube – définition, propriétés et exemples

Dans cette page, tu vas découvrir la fonction cube.
La fonction cube est définie sur $\mathbb{R}$ par : $$ \boldsymbol{f(x)=x^3} $$

Exemple : $ f(2)=2^3=8 \quad \text{et} \quad f(-2)=(-2)^3=-8 $
Important à savoir : $(-x)^3 = -x^3$

Car : $(-x)^3=(-x)(-x)(-x)=- ~x\times x\times x =-x^3$
Voici la courbe de la fonction cube :
La fonction cube est impaire, car pour tout réel $x$ :
$ \boldsymbol{f(-x)}=(-x)^3=(-x)(-x)(-x)=-x^3=\boldsymbol{-f(x)} $.
Ce qui veut dire que deux nombres opposés, $-x$ et $x$, ont des images opposées car $f(-x)=-f(x)$.

👉 Comme la fonction est impaire, sa courbe est donc symétrique par rapport à l'origine.
👉 Autrement dit, Le point O, origine du repère, est le centre de symétrie de la courbe.
Variations de la fonction cube :

👉 La fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
Équation du type $x^3=k$ :
- Comme la fonction cube est strictement croissante, une équation du type $x^3=k$ a au maximum une solution
- Exemple : Résoudre $x^3=8$
  Corrigé :
  On cherche un nombre dont le cube vaut $8$.
  Or $2^3 = 8$, donc $2$ est une solution.
  
  Comme la fonction cube est strictement croissante, l'équation $x^3=8$ admet au maximum une solution. Comme $2$ est une solution, c'est donc la seule.
  
  Conclusion :
  L'équation $x^3=8$ a une seule solution qui est $2$.
Pour une inéquation du type $x^3 \leqslant k$, on trace la fonction cube et on lit les solutions sur l'axe des abscisses.
Pour comparer $x$, $x^2$ et $x^3$ :
on trace les courbes correspondantes et on regarde leur position relative.

• Pour tout $x\in [0;1]$, on a : $x^3\leqslant x^2\leqslant x$.
• Pour tout $x\in[1;+\infty[$, on a : $x\leqslant x^2\leqslant x^3$.
Ne pas apprendre ces résultats par cœur, mais tracer les courbes d'équation $y=x$, $y=x^2$ et $y=x^3$ pour retrouver ces résultats.

👉 À retenir :

La fonction cube est définie par : $$ f(x)=x^3 $$
Elle est impaire : $f(-x)=-f(x)$.
Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère.
Elle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
Une équation $x^3=k$ admet au maximum une solution.
Pour résoudre une inéquation du type $x^3\geqslant k$, on trace la courbe de la fonction cube.
Tu dois savoir comparer $x$, $x^2$ et $x^3$. Pour cela, tracer les courbes correspondantes.

🎯 Objectif : savoir utiliser la fonction cube, résoudre des équations et interpréter sa courbe.

📺 Voici de nombreux exercices corrigés en vidéo pour t'entraîner 💪

✏️ Exercices : s'entraîner sur la fonction cube

Exercice 1: Calcul d'image par la fonction cube

Calculer l'image de chacun des nombres suivants par la fonction cube:

$\color{red}{\textbf{a. }} 2$ $\color{red}{\textbf{b. }} -3$ $\color{red}{\textbf{c. }} \sqrt 5$ $\color{red}{\textbf{d. }} -3\sqrt 2$

Exercice 2: Calcul d'image par la fonction cube

Calculer l'image de chacun des nombres suivants par la fonction cube:

$\color{red}{\textbf{a. }} \dfrac 12$ $\color{red}{\textbf{b. }} -0,1$ $\color{red}{\textbf{c. }} 10^2$ $\color{red}{\textbf{d. }} 5^7$

Exercice 3: antécédent par la fonction cube

Déterminer les antécédents de chacun des nombres suivants par la fonction cube:

$\color{red}{\textbf{a. }} 27$ $\color{red}{\textbf{b. }} 1$ $\color{red}{\textbf{c. }} 0$ $\color{red}{\textbf{d. }} -8$

Exercice 4: Comparer $a^3$ et $b^3$ cube

Sans calculatrice, remplacer les pointillés par $\lt$, $\gt$ ou $=$:

$\color{red}{\textbf{a. }} (0,3)^2~...~(0,3)^3$ $\color{red}{\textbf{b. }} 1,35^3~...~1,4^3$ $\color{red}{\textbf{c. }} 0,9~...~0,9^3$ $\color{red}{\textbf{d. }} (-\pi)^3~...~(-3)^3$ $\color{red}{\textbf{e. }} \left(\dfrac 45\right)^3~...~\left(\dfrac 23\right)^3$ $\color{red}{\textbf{f. }} \dfrac 8{27}~...~\left(\dfrac 56\right)^3$

Exercice 5: équation du type x^3=a

Résoudre les équations suivantes:

$\color{red}{\textbf{a. }} x^3=8$ $\color{red}{\textbf{b. }} x^3=-1$ $\color{red}{\textbf{c. }} x^3=-1000$

Exercice 6: inéquation avec x^3 cube

Résoudre les inéquations suivantes:

$\color{red}{\textbf{a. }} x^3\leqslant 27$ $\color{red}{\textbf{b. }} x^3\gt 8$ $\color{red}{\textbf{c. }} x^3\geqslant -1$ $\color{red}{\textbf{d. }} -8\leqslant x^3\leqslant 1$

Exercice 7: démonstration cours parité fonction cube

Démontrer que la fonction cube est impaire.

Exercice 8: Position relative des courbes d'équation $y=x$, $y=x^2$ et $y=x^3$

Déterminer graphiquement la position relative des courbes d'équation $y=x$, $y=x^2$ et $y=x^3$ sur $[0;+\infty[$.
Démontrer votre conjecture.

Exercice 9: démonstration variations fonction cube

Démontrer que pour tous réels $a$ et $b$, on a $b^3-a^3=(b-a)(b^2+ab+a^2)$.
En déduire que la fonction cube est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
En déduire que la fonction cube est strictement croissante sur $]-\infty;0]$.

Exercice 10: Problème d'encadrement - fonction cube

Un artiste souhaite réaliser une sphère en métal. Pour cela, il a acheté 10 m$^3$ de métal. On cherche le rayon maximum $r$ de cette sphère.

Montrer que le problème revient à résoudre l'inéquation $r^3\leqslant \dfrac{15}{2\pi}$.
A l'aide d'une calculatrice, une valeur approchée de $r$ au centième.