Exercice
1: Nombres complexes - Partie réelle et imaginaire - prépa MPSI PCSI
CPGE
Déterminer l'ensemble des points $\rm M$ du plan complexe d'affixe $z$ tels que $\dfrac{z^2}{z+i}$
soit imaginaire pur.
Exercice
2: Nombres complexes - Module - prépa MPSI PCSI CPGE
Déterminer l'ensemble des points $\rm M$ du plan complexe d'affixe $z$ tels que $|z|=2|z-i|$.
Exercice
3: Technique de l'angle moitié pour factoriser
Soit $a\!\in ]0;\pi[$. Écrire sous forme exponentielle les nombres complexes suivants:
$
\color{red}{\textbf{a. }} \ 1+e^{ia}$
$
\color{red}{\textbf{b. }} \ e^{ia}-e^{2ia}$
Exercice
4: Technique de l'angle moitié pour factoriser
Soit $a\!\in ]0;\pi[$. Écrire sous forme exponentielle $\dfrac{1-e^{ia}}{1+e^{-ia}}$.
Exercice
5: Montrer qu'un nombre complexe est réel
Soient $a$ et $b$ deux nombres complexes de module $1$ tels que $ab\ne -1$.
Démontrer que $\dfrac {a+b}{1+ab}$ est réel par deux méthodes.
Exercice
6: équation avec z barre (conjugué)
Résoudre dans $\mathbb{C}$, l'équation $z^n=\bar{z}$.
Exercice
7: Somme de cosinus avec des complexes
Soit $x$ un réel et $n$ un entier naturel non nul, montrer que:
$\displaystyle \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \cos(kx)=2^n \cos ^n \left(\frac
x2\right)\cos\left(\frac{nx}2 \right)$
Exercice
8: Nombres complexes & points alignés
Déterminer $z$ tel que les points d'affixe $z$, $z^2$ et $z^4$ soient alignés.
Exercice
9: calculer une intégrale à l'aide d'une linéarisation - Formules
d'Euler
Calculer $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin (2 x) \cos ^3 (x) \, \mathrm{d}x$.
Exercice
10: Calculer une somme de sinus / cosinus à l'aide des formules
d'Euler
Soit $x$ un réel avec $x \notin \{2k\pi,\, k \in \mathbb{Z} \}$ et $n$ un entier naturel non nul,
montrer que :
$\displaystyle \sum_{k=0}^n \sin(kx) =
\sin\left(\dfrac{nx}2\right)\dfrac{\sin\left(\dfrac{(n+1)x}2\right)}{\sin\left(\dfrac x2\right)}$
Exercice
11: Module d'une somme et d'une différence & argument
Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes tous deux non nuls d'arguments respectifs $\theta$ et
$\theta'$.
-
Montrer par deux méthodes différentes que :
$|z+z'| = |z-z'|$ $\Leftrightarrow$ $\theta' - \theta = \dfrac{\pi}{2} \, [\pi]$
-
Interpréter géométriquement.
