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Racine n-ième de l'unité et d'un nombre complexe

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Racine n-ième de l'unité • comprendre cours et comment les trouver
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Racine n-ième de l'unité • Démonstration du théorème
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Somme des racines n-ième de l'unité
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Produit des racines n-ième de l'unité

Exercice 1: Racine sixième de l'unité

Déterminer sous forme algébrique les racines sixièmes de l'unité.

Exercice 2: racines n-ièmes d'un nombre complexe

Résoudre dans $\mathbb{C}$, l'équation $z^4=\dfrac{16\sqrt 2}{1+i}$.

Exercice 3: racines n-ièmes d'un nombre complexe

Résoudre dans $\mathbb{C}$, l'équation $z^3=4\sqrt 2(1+i)$.

Exercice 4: équation se ramenant aux racines n-ièmes de l'unité

Résoudre dans $\mathbb{C}$, l'équation $(z-1)^5=(z+1)^5$.

Exercice 5: Triangle équilatéral - racine cubique de l'unité j nombre complexe complexe

Dans le plan complexe, on considère trois points $\rm A$, $\rm B$ et $\rm C$, d'affixes respectives $a$, $b$ et $c$. On note $j=e^{\frac {2i\pi}{3}}$.
  1. Montrer que le triangle $\rm ABC$ est équilatéral direct si et seulement si $a+jb+j^2c=0$
  2. Montrer que le triangle $\rm ABC$ est équilatéral indirect si et seulement si $a+j^2b+jc=0$
  3. En déduire que le triangle $\rm ABC$ est équilatéral si et seulement si $a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc$


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