Racine n-ième de l'unité et d'un nombre complexe

Déterminer sous forme algébrique les racines sixièmes de l'unité.

Résoudre dans $\mathbb{C}$, l'équation $z^4=\dfrac{16\sqrt 2}{1+i}$.

Résoudre dans $\mathbb{C}$, l'équation $z^3=4\sqrt 2(1+i)$.

Résoudre dans $\mathbb{C}$, l'équation $(z-1)^5=(z+1)^5$.

Dans le plan complexe, on considère trois points $\rm A$, $\rm B$ et $\rm C$, d'affixes respectives $a$, $b$ et $c$. On note $j=e^{\frac {2i\pi}{3}}$.

1. Montrer que le triangle $\rm ABC$ est équilatéral direct si et seulement si $a+jb+j^2c=0$
2. Montrer que le triangle $\rm ABC$ est équilatéral indirect si et seulement si $a+j^2b+jc=0$
3. En déduire que le triangle $\rm ABC$ est équilatéral si et seulement si $a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc$