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Complexes

Nombres complexes - Forme algébrique - Conjugué - Partie réelle - imaginaire
Conseils
Nombres complexes
Cours Introduction : Pourquoi avoir créé les

nombres complexes

: Partie 1 Partie 2
Cours

Nombres complexes

en vidéo
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Un nombre complexe est
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Forme algébrique
• Partie réelle
•

Partie imaginaire
• Un nombre complexe est réel
• Un nombre complexe est

imaginaire pur
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Calculs dans $\mathbb{C}$
• Un nombre complexe n'a qu'une seule forme algébrique
Cours conjugué d'un nombre complexe
• Définition du conjugué d'un nombre complexe
• Propriétés du conjugué
• $z$ est réel
• $z$ est imaginaire pur
• Mettre $\displaystyle\dfrac{z}{z'}$ sous forme algébrique

nombre complexe calcul forme algébrique : Exercices à Imprimer

Exercice 1:

forme algébrique - première spécialité maths expertes

Écrire les nombres complexes suivants sous forme algébrique:
$\color{red}{\textbf{a. }} z_1=3+2i-i(-1+i)$ $\color{red}{\textbf{b. }} z_2=1+i+i^2+i^3+i^4$ $\color{red}{\textbf{c. }} z_3=\dfrac{5-8i}{2}$
Exercice 2:

forme algébrique - première spécialité maths expertes

Écrire les nombres complexes suivants sous forme algébrique:
$\color{red}{\textbf{a. }} z_1=\left(\dfrac 12+2i\right)^2$ $\color{red}{\textbf{b. }} z_2=(i-2)^2-(3-5i)$ $\color{red}{\textbf{c. }} z_3=(1+i)(2-3i)(4-i)$
Exercice 3:

forme algébrique - première spécialité maths expertes

Écrire les nombres complexes suivants sous forme algébrique:
$\color{red}{\textbf{a. }} z_1=\dfrac{2-i}{4}$ $\color{red}{\textbf{b. }} z_2=\dfrac{2-i}{i}$ $\color{red}{\textbf{c. }} z_3=\dfrac{2-i}{2+i}$ $\color{red}{\textbf{d. }} z_4=\dfrac{i(2-3i)}{(1-2i)^2}$
Exercice 4:

forme algébrique - première spécialité maths expertes

Écrire les nombres complexes suivants sous forme algébrique:
$\color{red}{\textbf{a. }} z_1=\dfrac{1+i}{2-i}$ $\color{red}{\textbf{b. }} z_2=\dfrac{4+5i}{i}$ $\color{red}{\textbf{c. }} z_3=\dfrac{1+3i}{-2-i}$ $\color{red}{\textbf{d. }} z_4=\dfrac{2}{1+\sqrt{3} i}$
Exercice 5:

forme algébrique - nombres complexes égaux - première spécialité maths expertes

Soient $x$ et $y$ deux réels et $z_1$ et $z_2$ deux nombres complexes définis par:
    $z_1=x^2+x+i(y^2+1)$   et   $z_2=3x^2-3+2iy$
Déterminer les valeurs de $x$ et $y$ telles que $z_1$ et $z_2$ soient égaux.
Exercice 6: conjugué d'un nombre complexe - forme algébrique - première maths expertes
Déterminer le conjugué des nombres complexes suivants et donner le résultat sous forme algébrique:
$\color{red}{\textbf{a. }} z_1=4$ $\color{red}{\textbf{b. }} z_2=i$ $\color{red}{\textbf{c. }} z_3=(1-2i)(4+i)$ $\color{red}{\textbf{d. }} z_4=\dfrac{2i}{3+i}$
Exercice 7: équation nombre complexe - forme algébrique - première maths expertes
Résoudre les équations suivantes dans $\mathbb{C}$. Donner les solutions sous forme algébrique.
$\color{red}{\textbf{a. }} 2z=5-4i$ $\color{red}{\textbf{b. }} iz=4-i$ $\color{red}{\textbf{c. }} 3z-i=iz-2$ $\color{red}{\textbf{d. }} 2iz+6-i=3z+5$
Exercice 8: équation avec conjugué nombre complexe - forme algébrique - première maths expertes
Résoudre les équations suivantes dans $\mathbb{C}$. Donner les solutions sous forme algébrique.
$\color{red}{\textbf{a. }} i\overline{z}=3+4i$ $\color{red}{\textbf{b. }} i\overline{z}=3z+4i$
Exercice 9: équation avec conjugué nombre complexe - forme algébrique - première maths expertes
Résoudre les équations suivantes dans $\mathbb{C}$. Donner les solutions sous forme algébrique.
$\color{red}{\textbf{a. }} (1+3i)z-(1+2i)\overline{z}+5i=0$ $\color{red}{\textbf{b. }} 2iz-\overline{z}+1=0$
Exercice 10: équation avec conjugué nombre complexe - forme algébrique - première maths expertes
Résoudre les équations suivantes dans $\mathbb{C}$. Donner les solutions sous forme algébrique.
$\color{red}{\textbf{a. }} \overline{z}+i=2z-1$ $\color{red}{\textbf{b. }} \dfrac{z+1}{\overline{z}}=z$
Exercice 11: Savoir si un complexe est réel ou imaginaire pur ou ni l'un ni l'autre - première maths expertes
Soit $z$ un nombre complexe quelconque.
  1. $z+\overline z$ est-il réel ou imaginaire pur? Justifier.
  2. $z-\overline z$ est-il réel ou imaginaire pur? Justifier.
  3. $z\overline z$ est-il réel ou imaginaire pur? Justifier.
  4. $(z-2i)(\overline z+2i)$ est-il réel ou imaginaire pur? Justifier.
  5. Pour $z\ne 0$: $\dfrac 1z+ \dfrac 1{\overline z}$ est-il réel ou imaginaire pur? Justifier.
Exercice 12: Ecrire un quotient de nombre complexe sous forme algébrique - première maths expertes
Écrire les nombres complexes suivants sous forme algébrique:
$\color{red}{\textbf{a. }} \dfrac{2}{1-i}$ $\color{red}{\textbf{b. }} \dfrac{i-3}{1+2i}$ $\color{red}{\textbf{c. }} 1+\dfrac 1i$ $\color{red}{\textbf{d. }} \dfrac{(2-i)(3+2i)}{4}$ $\color{red}{\textbf{d. }} \dfrac{(2-i)^2}{3+i}$
Exercice 13: Conjugué d'un nombre complexe - Démonstrations de cours - ROC - première maths expertes
  1. Démontrer que $\overline{\overline z}=z$
  2. Démontrer que $\overline{z_1+z_2}=\overline z_1+\overline z_2$
  3. Démontrer que $\overline{z_1\times z_2}=\overline z_1\times\overline z_2$
  4. Démontrer que si $z_2 \ne 0$, $\overline{\left(\dfrac {z_1} {z_2}\right)}=\dfrac{\overline z_1}{\overline z_2}$
  5. Démontrer que $\overline{z^n}=(\overline z)^n$ où $n$ est un entier naturel.
Exercice 14: Déterminer la partie réelle et imaginaire d'un nombre complexe en fonction de x et y - première maths expertes
Soit $z$ un nombre complexe quelconque. On pose $z=x+iy$ où $x$ et $y$ sont réels.
Déterminer les parties réelles et imaginaires des nombres complexes suivants en fonction de $x$ et $y$:
$\color{red}{\textbf{a. }} 2z+i$ $\color{red}{\textbf{b. }} z\overline z$ $\color{red}{\textbf{c. }} iz$ $\color{red}{\textbf{d. }} (z-1)(\overline z+i)$
Exercice 15: Déterminer la partie réelle et imaginaire d'un nombre complexe en fonction de x et y - première maths expertes
Déterminer les inverses des nombres suivants. On donnera le résultat sous forme algébrique:
$\color{red}{\textbf{a. }} 2-i$ $\color{red}{\textbf{b. }} \dfrac{i}{2-3i}$ $\color{red}{\textbf{c. }} 2-i(4-2i)$ $\color{red}{\textbf{d. }} (1-2i)(2+3i)$
Exercice 16: Déterminer la partie réelle et imaginaire d'un nombre complexe en fonction de x et y - première maths expertes
Soit $z$ un nombre complexe différent de $i$. On pose $z=x+iy$ où $x$ et $y$ sont réels.
On note $z'=\dfrac{z+i}{z-i}$. On appelle X et Y respectivement la partie réelle et imaginaire de $z'$.
Déterminer X et Y en fonction de $x$ et $y$.
Exercice 17: Déterminer partie réelle - partie imaginaire - Nathan Hyperbole exercice 78 chapitre 1 - première maths expertes
On note $Z = \dfrac{\overline{z}}{3-\overline{z}}$ où $z$ est un nombre complexe de forme algébrique $z = x + \mathrm{i}y$ où $x$ et $y$ sont des nombres réels tels que $(x ~;~ y) \neq (3 ~;~ 0)$.
  1. Vérifier que la forme algébrique de $Z$ est $Z = \dfrac{-x^2 - y^2 + 3x}{(3-x)^2 + y ^2} + \mathrm{i}\dfrac{-3y}{(3-x)^2 + y ^2}$.
  2. En déduire les nombres complexes $z$ tels que $Z$ soit un nombre réel.
  3. Proposer deux exemples de nombres complexes $z \neq 3$ tels que $Z$ soit un imaginaire pur.
Exercice 18: Déterminer partie réelle - partie imaginaire - première maths expertes
Soit $z$ un nombre complexe non nul. On pose $z=x+iy$ où $x$ et $y$ sont réels.
On note $z'=\dfrac{z-1}{i\overline z}$. On appelle X et Y respectivement la partie réelle et imaginaire de $z'$.
Déterminer X et Y en fonction de $x$ et $y$.


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