Nombres complexes - Forme algébrique - Conjugué - Partie réelle - imaginaire

où $a$ et $b$ sont des nombres réels et $i$ un nombre tel que $i^2=-1$.

Car 3 peut s'écrire $3=3+0\times i$.

Ce qui s'écrit mathématiquement: $\mathbb{R}\subset \mathbb{C}$

Par exemple, si $z=4+2i$ alors ${\rm Re}(z)=4$

La partie imaginaire est un nombre réel !

Sa partie imaginaire est $3$ et pas $3i$! Et on écrit ${\rm Im}(z)=3$.

$z\in \mathbb{R}\Leftrightarrow {\rm Im}(z)=0$

$z$ est imaginaire pur $\Leftrightarrow {\rm Re}(z)=0$

$(3-i)(1+4i)=3+12i-i-4i^2$
$\phantom{(3-i)(1+4i)}=3+11i-4\times (-1)$
$\phantom{(3-i)(1+4i)}=3+10i+4$
$\phantom{(3-i)(1+4i)}=7+11i$

Autrement dit:
2 nombres complexes sont égaux signifie qu'ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.
$a+ib=a'+ib' \Leftrightarrow a=a' \text{ et } b=b'$

$\overline z=2-5i$

$z=4+(-3)i$ donc $\overline z=4-(-3)i=4+3i$

$\overline {z\times z'}=\overline z\times\overline {z'}$

$\displaystyle\overline {\left({\dfrac{z}{z'}}\right)}=\dfrac{\overline z}{\overline {z'}}$

$z\times \overline z=a^2+b^2$
Quand on multiplie un complexe par son conjugué, on obtient un nombre réel positif
Démonstration : $ (a+ib)(a-ib)$

$\dfrac{1+i}{2-3i}=\dfrac{(1+i)(\overline{2-3i})}{(2-3i)(\overline{2-3i})}$
$\phantom{\dfrac{1+i}{2-3i}}=\dfrac{(1+i)(2+3i)}{(2^2+3^2)}$
$\phantom{\dfrac{1+i}{2-3i}}=\dfrac{2+3i+2i+3i^2}{13}$
$\phantom{\dfrac{1+i}{2-3i}}=\dfrac{2+5i+3\times (-1)}{13}$
$\phantom{\dfrac{1+i}{2-3i}}=\dfrac{2+5i-3}{13}$
$\phantom{\dfrac{1+i}{2-3i}}=\dfrac{-1+5i}{13}$
$\phantom{\dfrac{1+i}{2-3i}}=-\dfrac{1}{13}+\dfrac 5{13}i$