Corrigé bac 2024 ♦ Centres étrangers ♦ Spécialité mathématique

Soit $f$ la fonction définie sur $[0;1]$ par $f(x) = 2x e^{-x}$.
On admet que $f$ est dérivable sur $[0;1]$.

1. 1. Résoudre sur $[0;1]$, l'équation $f (x) = x$.
   2. Montrer que pour tout $x\in [0;1]$, $f'(x) = 2(1-x)e^{-x}$.
   3. Donner le tableau de variations de $f$ sur $[0;1]$.

2. 1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $0\leqslant u_n\lt u_{n+1}\leqslant 1$.
   2. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.

3. Démontrer que la limite de la suite $(u_n)$ est $\ln(2)$.

4. 1. Justifier que pour tout entier naturel $n$, $\ln(2)-u_n$ est positif.
   2. Compléter le script Python ci-dessous afin qu'il renvoie une valeur approchée de $\ln(2)$ par défaut à $10^{-4}$ près, ainsi que le nombre d'étapes pour y parvenir. On rappelle qu'en Python, $\log(2)$ désigne $\ln(2)$.
      
   3. Donner la valeur de la variable $n$ renvoyée par la fonction $\textbf{seuil()}$.