corrigé bac 2024 spé maths Centres étrangers

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Corrigé Bac 2024 Centres étrangers - spé maths - Suite Un+1=f(Un) - Exercice 2

Soit $f$ la fonction définie sur $[0;1]$ par $f(x) = 2x e^{-x}$.
On admet que $f$ est dérivable sur $[0;1]$.

1. Résoudre sur $[0;1]$, l'équation $f (x) = x$.
2. Montrer que pour tout $x\in [0;1]$, $f'(x) = 2(1-x)e^{-x}$.
3. Donner le tableau de variations de $f$ sur $[0;1]$.

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0,1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f (u_n)$.

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $0\leqslant u_n\lt u_{n+1}\leqslant 1$.
2. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.

Démontrer que la limite de la suite $(u_n)$ est $\ln(2)$.

1. Justifier que pour tout entier naturel $n$, $\ln(2)-u_n$ est positif.
2. Compléter le script Python ci-dessous afin qu'il renvoie une valeur approchée de $\ln(2)$ par défaut à $10^{-4}$ près, ainsi que le nombre d'étapes pour y parvenir. On rappelle qu'en Python, $\log(2)$ désigne $\ln(2)$.
3. Donner la valeur de la variable $n$ renvoyée par la fonction $\textbf{seuil()}$.

Ce site ne convient pas aux enfants de moins de 36 mois, sauf s'ils insistent vraiment.
Ne pas dépasser la dose prescrite.
Posologie: 1 fois/jour la semaine avant le contrôle.
L'efficacité du traitement dépend d'une prise régulière.
Effet secondaire: Peut procurer du plaisir surtout en cas de réussite !
En cas de persistance des difficultés, arrêter le traitement pendant une nuit, puis reprendre le lendemain.

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