Corrigé Bac 2024 Amérique du nord - spé maths - convexité & logarithme - Exercice 3
Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x) = x\ln \left(x^2\right) -\dfrac
1x$.
Partie A : lectures graphiques
On a tracé la courbe $\mathscr{C}_f$ de la fonction $f$ et la tangente $\rm (T)$ à
$\mathscr{C}_f$ au point $\rm A(1;-1)$ qui
passe aussi par $\rm B(0;-4)$:
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Lire $f'(1)$ et donner l'équation réduite de $\rm (T)$.
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Donner les intervalles sur lesquels $f$ semble convexe ou concave. Que semble représenter le point $\rm A$ pour la courbe $\mathscr{C}_f$ ?
Partie B : étude analytique
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Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ et en $0$.
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On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $]0;+\infty[$:
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Déterminer $f'(x)$ pour tout $x\in ]0;+\infty[$.
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Montrer que pour tout $x\in ]0;+\infty[$, $f''(x) = \dfrac{2(x + 1)(x -
1)}{x^3}$.
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Étudier la convexité de $f$ sur $]0;+\infty[$.
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Étudier les variations de $f'$ puis le signe de $f'(x)$ sur $]0;+\infty[$. En
déduire le sens de variation de $f$ sur $]0;+\infty[$.
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Montrer que l'équation $f (x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$
sur $]0;+\infty[$.
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Donner la valeur arrondie au centième de $\alpha$ et montrer que :
$\alpha^2 = \text{exp} \left(\dfrac{1}{\alpha^2}\right)$.