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Corrigé bac 2024 Amérique du nord spécialité mathématique

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Conseils
Corrigé Bac 2024 Amérique du nord - spé maths - convexité & logarithme - Exercice 3
Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x) = x\ln \left(x^2\right) -\dfrac 1x$.
Partie A : lectures graphiques
On a tracé la courbe $\mathscr{C}_f$ de la fonction $f$ et la tangente $\rm (T)$ à $\mathscr{C}_f$ au point $\rm A(1;-1)$ qui passe aussi par $\rm B(0;-4)$:
  1. Lire $f'(1)$ et donner l'équation réduite de $\rm (T)$.
  2. Donner les intervalles sur lesquels $f$ semble convexe ou concave. Que semble représenter le point $\rm A$ pour la courbe $\mathscr{C}_f$ ?
Partie B : étude analytique
  1. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ et en $0$.
  2. On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $]0;+\infty[$:
    1. Déterminer $f'(x)$ pour tout $x\in ]0;+\infty[$.
    2. Montrer que pour tout $x\in ]0;+\infty[$, $f''(x) = \dfrac{2(x + 1)(x - 1)}{x^3}$.
    1. Étudier la convexité de $f$ sur $]0;+\infty[$.
    2. Étudier les variations de $f'$ puis le signe de $f'(x)$ sur $]0;+\infty[$. En déduire le sens de variation de $f$ sur $]0;+\infty[$.
    1. Montrer que l'équation $f (x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]0;+\infty[$.
    2. Donner la valeur arrondie au centième de $\alpha$ et montrer que : $\alpha^2 = \text{exp} \left(\dfrac{1}{\alpha^2}\right)$.
Corrigé Bac 2024 Amérique du nord - spé maths - intégrale suite exponentielle sinus cosinus trigonométrie - Exercice 4
Pour tout entier naturel $n$, on considère les intégrales :
  ${\rm I}_n=\int_{0}^{\pi} e^{-nx}\sin (x) \, \mathrm{d}x$   et   ${\rm J}_n=\int_{0}^{\pi} e^{-nx}\cos (x) \, \mathrm{d}x$
  1. Calculer $\rm I_0$.
    1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$ ,   ${\rm I}_n\geqslant 0$.
    2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ ,   ${\rm I}_{n+1}-{\rm I}_n\leqslant 0$.
    3. Déduire que la suite $({\rm I}_n)$ converge.
    1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ ,   ${\rm I}_n\leqslant \int_{0}^{\pi} e^{-nx} \, \mathrm{d}x$.
    2. Montrer que, pour tout entier $n\geqslant 1$,   $ \int_{0}^{\pi} e^{-nx} \, \mathrm{d}x=\dfrac{1-e^{-n\pi}}{n}$.
    3. En déduire la limite de la suite $({\rm I}_n)$.
    1. En intégrant par parties ${\rm I}_n$ de deux façons différentes, montrer que pour tout entier $n \geqslant 1$ :
        ${\rm I}_n=1+e^{-n\pi}-n{\rm J}_n$   et   ${\rm I}_n=\dfrac 1n {\rm J}_n$.
    2. En déduire que pour tout entier $n \geqslant 1$ ,   ${\rm I}_n=\dfrac{1+e^{-n\pi}}{n^2+1}$.


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