Corrigé bac 2022 - spécialité mathématique métropole

Dans le cadre d'un essai clinique on envisage deux protocoles de traitement d'une maladie. L'objectif de cet exercice est d'étudier, pour ces deux protocoles, l'évolution de la quantité de médicament présente dans le sang d'un patient en fonction du temps.
Les parties A et B sont indépendantes.

Le premier protocole consiste à faire absorber un médicament, sous forme de comprimé, au patient. On modélise la quantité de médicament présente dans le sang du patient, exprimée en mg, par la fonction f définie sur l'intervalle [0; 10] par $f(t) = 3t\text{e}^{-0,5t+1}$ où t désigne le temps, exprimé en heure, écoulé depuis la prise du comprimé.

1. 1. On admet que la fonction f est dérivable sur l'intervalle [0; 10] et on note $f'$ sa fonction dérivée.
      Montrer que, pour tout nombre réel t de [0; 10], on a : $f'(t) = 3(- 0,5t + 1)\text{e}^{-0,5t+1}$.
   2. En déduire le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle [0; 10].
   3. Selon cette modélisation, au bout de combien de temps la quantité de médicament présente dans le sang du patient sera-t-elle maximale ? Quelle est alors cette quantité maximale ?
2. 1. Montrer que l'équation $f (t) = 5$ admet une unique solution sur l'intervalle [0; 2] notée $\alpha$, dont on donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
      On admet que l'équation $f (t) = 5$ admet une unique solution sur l'intervalle [2; 10], notée $\beta$, et qu'une valeur approchée de $\beta$ à $10^{-2}$ près est 3,46.
   2. On considère que ce traitement est efficace lorsque la quantité de médicament présente dans le sang du patient est supérieure ou égale à 5 mg.
      Déterminer, à la minute près, la durée d'efficacité du médicament dans le cas de ce protocole.

On injecte à un patient 2 mg de médicament. Puis toutes les heures, on réinjecte une dose de 1,8 mg. Une heure après une injection, la quantité de médicament dans le sang a diminué de $30 \%$ par rapport à la quantité présente immédiatement après cette injection. La suite $(u_n)$ désigne la quantité de médicament en mg, présente dans le sang du patient immédiatement après l'injection de la n-ième heure. On a donc $u_0 = 2$.

1. Calculer $u_1$.
2. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
3. 1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n\leqslant u_{n+1} \lt 6$
   2. En déduire que $(u_n)$ est convergente. On note $\ell$ sa limite.
   3. Déterminer la valeur de $\ell$. Interpréter.
4. Soit la suite $(v_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = 6-u_n$.
   1. Montrer que $(v_n)$ est géométrique. Préciser la raison $q$ et $v_0$.
   2. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, puis $u_n$ en fonction de $n$.
   3. On arrête les injections lorsque la quantité de médicament présente dans le sang du patient est supérieure ou égale à $5,5$ mg. Déterminer le nombre d'injections réalisées.

La courbe représentative de la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \dfrac{-2x^2 + 3x - 1}{x^2 + 1}$ admet pour asymptote la droite d'équation :

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x\text{e}^{x^2}$. La primitive ${\rm F}$ de $f$ sur $\mathbb{R}$ qui vérifie ${\rm F}(0) = 1$ est définie par :

On donne ci-dessous la représentation graphique $\mathscr{C}_{f'}$ de la fonction dérivée $f'$ d'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$.

On peut affirmer que la fonction $f$ est :

Parmi les primitives de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 3\text{e}^{-x^2} + 2$:

La limite en $+\infty$ de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = \dfrac{2\ln x}{3x^2 + 1}$ est égale à :

L'équation $\text{e}^{2x} + \text{e}^x - 12 = 0$ admet dans $\mathbb{R}$ :