Raisonnement par l'absurde

Cours Raisonnement par l'absurde

📌 Principe du raisonnement par l'absurde

Le raisonnement par l'absurde consiste, pour démontrer quelque chose, à supposer le contraire et à montrer que cela aboutit à une contradiction.

Dit plus mathématiquement, pour montrer qu'une proposition est vraie :

On suppose que la proposition est fausse.
On montre que cela aboutit à une contradiction.
On en conclut donc que la proposition est vraie.

✏️ Exemple

Démontrer que $0$ n'a pas d'inverse

Supposons que $0$ a un inverse.
Alors il existerait un nombre $n$ tel que $0\times n=1$
On a utilisé la définition de l'inverse :
📌 Définition Dire qu'un nombre $\boldsymbol{m}$ a un inverse signifie qu'il existe un nombre $n$ tel que $\boldsymbol{m\times n=1}$
Ce qui donne avec $0$ :
Dire que $\boldsymbol{0}$ a un inverse signifie qu'il existe un nombre $n$ tel que $\boldsymbol{0\times n=1}$

$0\times n=1 \Leftrightarrow \underbrace{0=1}_{\text{FAUX}}$. On aboutit donc à une contradiction.
Donc notre supposition "$0$ a un inverse" est fausse. Donc $0$ n'a pas d'inverse.

⚠️ Quand utiliser un raisonnement par l'absurde ?

Pour montrer que quelque chose n'est pas
✏️ Exemple
- Démontrer que $\dfrac 13$ n'est pas décimal
  On suppose que le nombre est décimal et on montre que cela aboutit à une contradiction.
- Démontrer que $\sqrt 2$ n'est pas rationnel
  On suppose que le nombre est rationnel et on montre que cela aboutit à une contradiction.
- Démontrer que l'équation $x^5-2x^3+x^2-3=0$ n'a pas de solution entière
  On suppose qu'il y a une solution entière et on montre que cela aboutit à une contradiction.
Pour montrer que quelque chose est unique
📌 Principe Pour montrer que quelque chose est unique (on dit l'unicité), on suppose qu'il y en a deux différentes et on montre que cela aboutit à une contradiction.
✏️ Exemple
- Démontrer que la limite d'une suite convergente est unique
  On suppose que la suite a deux limites différentes et on montre que cela aboutit à une contradiction.
Quand tu es bloqué dans une démonstration
Pose toi la question : "Et si je supposais le contraire, est-ce que j'aboutirai à une contradiction ?"
C'est à dire : essaye de faire un raisonnement par l'absurde.

📌 COURS + EXEMPLE

05:00

Raisonnement par l'absurde - Cours

✏️ EXERCICE TYPE

06:09

Raisonnement par l'absurde - Exercice

Exercice 1: Raisonnement par l'absurde - 0 pas d'inverse

Démontrer à l'aide d'un raisonnement par l'absurde que $0$ n'a pas d'inverse.

Exercice 2: Raisonnement par l'absurde - 1/3 pas décimal

On rappelle que $\dfrac 13$ n'est pas décimal. En déduire à l'aide d'un raisonnement par l'absurde que $\dfrac 16$ n'est pas décimal non plus.

Exercice 3: Raisonnement par l'absurde - racine de 8 irrationnel

On rappelle que $\sqrt 2$ n'est pas rationnel. En déduire à l'aide d'un raisonnement par l'absurde que $\sqrt 8$ n'est pas rationnel non plus.

Exercice 4: Raisonnement par l'absurde - pi irrationnel

Sachant que $\pi$ est irrationnel, démontrer à l'aide d'un raisonnement par l'absurde que $\displaystyle\frac 3\pi$ et $\sqrt \pi$ sont irrationnels.

Exercice 5: Démonstration par l'absurde - Racine d'une équation

Démontrer à l'aide d'un raisonnement par l'absurde que l'équation $x^5-2x^3+x^2-3=0$ n'a pas de solution entière.

Exercice 6: Raisonnement par l'absurde

Démontrer à l'aide d'un raisonnement par l'absurde que pour tout réel $x\ne 2$, on a $\dfrac{x+1}{x-2}\ne 1$ .

Exercice 7: Raisonnement par l'absurde - 1/3 pas décimal

Méthode 1

Méthode 2

Rappeler la définition d'un nombre décimal.
Démontrer que $\displaystyle\frac 13$ n'est pas un nombre décimal.

Exercice 8: Raisonnement par l'absurde - somme d'un rationnel et d'un irrationnel

On rappelle que $\pi$ est irrationnel.

Démontrer que $\pi +1$ est irrationnel.
Démontrer plus généralement que la somme d'un rationnel et d'un irrationnel est un irrationnel.
Démontrer que $-\pi$ est irrationnel.
La somme de deux irrationnels est un irrationnel ?

Exercice 9: Raisonnement par l'absurde - inégalité

Soit $a$, $b$ et $c$ des réels positifs tels que $ab\lt c$.

Démontrer à l'aide d'un raisonnement par l'absurde que $a\lt \sqrt c$ ou $b\lt \sqrt c$

Exercice 10: Raisonnement par l'absurde - entier

Démontrer à l'aide d'un raisonnement par l'absurde que pour tout entier naturel $n$, $\sqrt{4n+2}$ n'est pas entier.

Exercice 11: Démonstration cours seconde - racine de 2 irrationnel

On rappelle le résultat suivant: Si $a^2$ est un nombre pair alors $a$ est un nombre pair.

Rappeler la définition d'un nombre rationnel.
Démontrer à l'aide d'un raisonnement par l'absurde que $\sqrt 2$ n'est pas un nombre rationnel.

Exercice 12: Démonstration par l'absurde - 9/7 Nombre pas décimal

Rappeler la définition d'un nombre décimal.
Démontrer à l'aide d'un raisonnement par l'absurde que $\displaystyle\frac 97$ n'est pas un nombre décimal.
(On pourra utiliser la décomposition en facteurs premiers).

Exercice 13: Démonstration par l'absurde - unicité de la limite d'une suite

Démontrer que la limite d'une suite convergente est unique.