Raisonnement par récurrence - démonstration exercices en vidéo Terminale spé Maths

Conseils

Exercice 1: Raisonnement par récurrence & dérivation x^ u^n

Rappel: si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I alors $\left\{\begin{array}{l} u\times v \text{ est dérivable sur I}\\ \quad\quad \text{ et}\\ (u\times v)'=u'v+uv'\\ \end{array}\right.$

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle I.

Démontrer par récurrence que pour tout entier $n\geqslant 1$, $f^n$ est dérivable sur I et que $(f^n)'=n f' f^{n-1}$.
Appliquer ce résultat à la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^n$ où $n$ est un entier naturel non nul.

Exercice 2: Démontrer par récurrence - nombre de segments avec n points sur un cercle

On place $n$ points distincts sur un cercle, et $n\geqslant 2$. Démontrer que le nombre de segments que l'on peut tracer avec ces $n$ points est $\dfrac{n(n-1)}2$.

Exercice 3: Raisonnement par récurrence - somme des angles dans un polygone

Démontrer par récurrence que la somme des angles dans un polygone non croisé à $n$ côtés vaut $(n-2)\pi$ radian.

Exercice 4: Conjecturer, démontrer par récurrence - expression de Un en fonction de n - formule explicite

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac 12 u_n+3$. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n=\dfrac {-5}{2^n}+6$.

Exercice 5: Ecrire un Algorithme pour calculer la somme des termes d'une suite

Soit la suite $u$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=2u_n+1+n$. Écrire un algorithme pour calculer la somme $S_n=u_0+u_1+...+u_n$ en utilisant la boucle "Tant que ...".

Exercice 6: Sens de variation d'une suite par 2 méthodes - Exercice très classique

On considère la suite définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $ u_{n+1}=\dfrac {u_n}{u_n+2}$.

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n\gt 0$.
En déduire le sens de variation de $(u_n)$.
On considère la fonction $f$ définie sur $]-2;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x}{x+2}$.
1. Étudier les variations de $f$.
2. Refaire la question 2. par une autre méthode.

Exercice 7: Suites imbriquées - Algorithmique

On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par: $u_0=1$ et $v_0=0$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=3u_n+4v_n$ et $v_{n+1}=2u_n+3v_n$.
On cherche $u_n$ et $v_n$ qui soient tous les deux supérieurs à 1000.
Écrire un algorithme qui affiche le premier couple $(u_n;v_n)$ qui vérifie cette condition, en utilisant une boucle Tant Que.

Exercice 8: Calculer les termes d'une suite à l'aide d'un tableur

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=2u_n+5$. A l'aide d'un tableur, on obtient les valeurs des premiers termes de la suite $(u_n)$.

Quelle formule, étirée vers le bas, peut-on écrire dans la cellule $\rm A3$ pour obtenir les termes successifs de la suite $(u_n)$?
Soit la suite $(v_n)$ définie par $v_0=3$ et pour tout entier naturel $n$ par $v_{n+1}=2n v_n+5$. A l'aide d'un tableur, déterminer les premiers termes de la suite $(v_n)$.

Exercice 9: Suite et algorithmique - Piège très Classique

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\left(\frac {n+1}{2n+4}\right)u_n$. On admet que la limite de la suite $(u_n)$ vaut 0. Compléter l’algorithme ci-dessous, afin qu’il affiche la plus petite valeur de $n$ pour laquelle $u_n \leqslant 10^{-5}$.

$n ~\leftarrow ~0^{\scriptsize \strut}$
$U \,\leftarrow ~1$
Tant que $\dots$
$n ~\leftarrow ~\dots_{\scriptsize \strut}$
$U \,\leftarrow ~\dots_{\scriptsize \strut}$
Fin Tant que
Afficher $n_{\scriptsize \strut}$

Exercice 10: Raisonnement par récurrence - Erreur très Classique - Surtout à ne pas faire !

Trouver l'erreur dans le raisonnement suivant:

Soit $\mathcal P_n$ la propriété $M^n = PD^nP^{-1}$.

$P^{-1}MP = D \Leftrightarrow PP^{-1}MP=PD \Leftrightarrow MP=PD \Leftrightarrow MPP^{-1} = PDP^{-1}
\Leftrightarrow M = PDP^{-1}$. Donc la propriété $\mathcal P_n$ est vraie au rang 1.
On suppose que pour tout entier $p \geqslant 1$ la propriété est vraie, c'est-à-dire que $M^p = PD^p P^{-1}$.
D'après l'hypothèse de récurrence $M^p = PD^p P^{-1}$ et on sait que $M=PDP^{-1}$ donc:
$M^{p+1}= M \times M^p = PDP^{-1}\times PD^{p}P^{-1}= PDP^{-1}PD^p P^{-1} = PDD^pP^{-1}= PD^{p+1}P^{-1}$.
Donc la propriété est vraie au rang $p+1$.
La propriété est vraie au rang 1 ; elle est héréditaire pour tout $n\geqslant 1$ donc d'après le principe de récurrence la propriété est vraie pour tout $n \geqslant 1$.

Exercice 11: raisonnement par récurrence et sens de variation - Suite arithmético-géométrique

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=10$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac 12 u_n+1$.

Calculer les 4 premiers termes de la suite.
Quelle conjecture peut-on faire concernant le sens de variation de $(u_n)$.
Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac 12 x+1$.
Démontrer la conjecture par récurrence
Indication: dans l'hérédité, utiliser les variations de $f$:
Soit $a$, $b$ appartenant à un intervalle I:
Si $f$ est croissante sur I et $a\leqslant b$ alors $f(a) \leqslant f(b)$.
Autrement dit, on utilise le fait que $f$ conserve l'ordre sur I.

Exercice 12: Démontrer par récurrence une inégalité avec un+1=f(un)

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et pour tout entier naturel $n$, $ u_{n+1}=\dfrac{u_n+3}{4u_n+4}$. On considère la fonction $f$ définie sur $]-1;+\infty[$ par $ f(x)=\dfrac{x+3}{4x+4}$.

Étudier les variations de $f$.
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0\leqslant u_n \leqslant 1$.

Exercice 13: Démontrer par récurrence une inégalité avec un+1=f(un)

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0\in ]0;1[$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n(2-u_n)$.
Soit la fonction $f$ définie sur [0;1] par $f(x)=x(2-x)$.

On a tracé la courbe de $f$ ci-dessous:

Représenter les premiers termes de la suite. Quelle conjecture peut-on faire concernant le sens de variation de $(u_n)$?
Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur [0;1] par $f(x)=x(2-x)$.
Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $0\leqslant u_n\leqslant 1$.
Démontrer la conjecture du 1.

Exercice 14: suite de Héron - Démontrer par récurrence une inégalité

On considère la fonction définie sur $]0;+\infty[$, par $f(x)=\dfrac x 2 +\dfrac 1 x$.

Étudier les variations de $f$.
On considère la suite définie par $u_0=5$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$.
1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $\sqrt 2\leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 5$
  Indication:
  Soit $a$, $b$, $c$, $d$ appartenant à un intervalle I.
  Si $f$ est croissante sur I et $a \leqslant b \leqslant c \leqslant d$ alors $f(a) \leqslant f(b) \leqslant f(c) \leqslant f(d)$.
  Autrement dit, $f$ conserve l'ordre sur I.
2. Que peut-on conclure?

Exercice 15: Raisonnement par récurrence & arithmétique multiple diviseur

Soit $P(n)$ la propriété définie sur $\mathbb{N}$ par: $4^n+1$ est divisible par 3.

Démontrer que si $P(n)$ est vraie alors $P(n+1)$ est vraie.
Que peut-on conclure?

Exercice 16: Raisonnement par récurrence & arithmétique multiple diviseur

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $3^{2n}-1$ est un multiple de $8$.

Raisonnement par récurrence - Exercices complémentaires