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Terminale

Raisonnement par récurrence - Exercices complémentaires

Conseils

Exercice 1: Raisonnement par récurrence & dérivation x^ u^n

Rappel: si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I alors $\left\{\begin{array}{l} u\times v \text{ est dérivable sur I}\\ \quad\quad \text{ et}\\ (u\times v)'=u'v+uv'\\ \end{array}\right.$
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle I.
  1. Démontrer par récurrence que pour tout entier $n\geqslant 1$, $f^n$ est dérivable sur I et que $(f^n)'=n f' f^{n-1}$.
  2. Appliquer ce résultat à la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^n$ où $n$ est un entier naturel non nul.

Exercice 2: Démontrer par récurrence une inégalité

Démontrer que pour tout entier $n\geqslant 2$, $5^n\geqslant 4^n+3^n$.

Exercice 3: Démontrer par récurrence une inégalité

Démontrer que pour tout entier $n\geqslant 4$, $2^n\geqslant n^2$.

Exercice 4: Démontrer par récurrence l'inégalité Bernoulli

$x$ est un réel positif. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $(1+x)^n\geqslant 1+nx$

Exercice 5: Démontrer par récurrence - nombre de segments avec n points sur un cercle

On place $n$ points distincts sur un cercle, et $n\geqslant 2$. Démontrer que le nombre de segments que l'on peut tracer avec ces $n$ points est $\dfrac{n(n-1)}2$.

Exercice 6: Raisonnement par récurrence - somme des angles dans un polygone

Démontrer par récurrence que la somme des angles dans un polygone non croisé à $n$ côtés vaut $(n-2)\pi$ radian.

Exercice 7: Raisonnement par récurrence & inégalité

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+2n+5$. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n\gt n^2$.

Exercice 8: Conjecturer, démontrer par récurrence - expression de Un en fonction de n - formule explicite

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\sqrt{2+{u_n}^2}$.
  1. Calculer les quatre premiers termes de la suite.
  2. Conjecturer l'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).
  3. Démontrer cette conjecture.

Exercice 9: Conjecturer, démontrer par récurrence - expression de Un en fonction de n - formule explicite

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac 12 u_n+3$. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n=\dfrac {-5}{2^n}+6$.

Exercice 10: Ecrire un Algorithme pour calculer la somme des termes d'une suite

Soit la suite $u$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=2u_n+1+n$. Écrire un algorithme pour calculer la somme $S_n=u_0+u_1+...+u_n$ en utilisant la boucle "Tant que ...".

Exercice 11: Sens de variation d'une suite par 2 méthodes - Exercice très classique

On considère la suite définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $ u_{n+1}=\dfrac {u_n}{u_n+2}$.
  1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n\gt 0$.
  2. En déduire le sens de variation de $(u_n)$.
  3. On considère la fonction $f$ définie sur $]-2;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x}{x+2}$.
    1. Étudier les variations de $f$.
    2. Refaire la question 2. par une autre méthode.

Exercice 12: Suites imbriquées - Algorithmique

On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par: $u_0=1$ et $v_0=0$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=3u_n+4v_n$ et $v_{n+1}=2u_n+3v_n$.
On cherche $u_n$ et $v_n$ qui soient tous les deux supérieurs à 1000.
Écrire un algorithme qui affiche le premier couple $(u_n;v_n)$ qui vérifie cette condition, en utilisant une boucle Tant Que.

Exercice 13: Calculer les termes d'une suite à l'aide d'un tableur

  1. Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=2u_n+5$. A l'aide d'un tableur, on obtient les valeurs des premiers termes de la suite $(u_n)$.
    Quelle formule, étirée vers le bas, peut-on écrire dans la cellule $\rm A3$ pour obtenir les termes successifs de la suite $(u_n)$?
  2. Soit la suite $(v_n)$ définie par $v_0=3$ et pour tout entier naturel $n$ par $v_{n+1}=2n v_n+5$. A l'aide d'un tableur, déterminer les premiers termes de la suite $(v_n)$.

Exercice 14: Suite et algorithmique - Piège très Classique

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\left(\frac {n+1}{2n+4}\right)u_n$. On admet que la limite de la suite $(u_n)$ vaut 0. Compléter l’algorithme ci-dessous, afin qu’il affiche la plus petite valeur de $n$ pour laquelle $u_n \leqslant 10^{-5}$.
$n ~\leftarrow ~0^{\scriptsize \strut}$
$U \,\leftarrow ~1$
Tant que $\dots$
     $n ~\leftarrow ~\dots_{\scriptsize \strut}$
     $U \,\leftarrow ~\dots_{\scriptsize \strut}$
Fin Tant que
Afficher $n_{\scriptsize \strut}$

Exercice 15: Raisonnement par récurrence - Erreur très Classique - Surtout à ne pas faire !

Trouver l'erreur dans le raisonnement suivant:
Soit $\mathcal P_n$ la propriété $M^n = PD^nP^{-1}$.
  • $P^{-1}MP = D \Leftrightarrow PP^{-1}MP=PD \Leftrightarrow MP=PD \Leftrightarrow MPP^{-1} = PDP^{-1}
    \Leftrightarrow M = PDP^{-1}$. Donc la propriété $\mathcal P_n$ est vraie au rang 1.
  • On suppose que pour tout entier $p \geqslant 1$ la propriété est vraie, c'est-à-dire que $M^p = PD^p P^{-1}$.
    D'après l'hypothèse de récurrence $M^p = PD^p P^{-1}$ et on sait que $M=PDP^{-1}$ donc:
    $M^{p+1}= M \times M^p = PDP^{-1}\times PD^{p}P^{-1}= PDP^{-1}PD^p P^{-1} = PDD^pP^{-1}= PD^{p+1}P^{-1}$.
    Donc la propriété est vraie au rang $p+1$.
  • La propriété est vraie au rang 1 ; elle est héréditaire pour tout $n\geqslant 1$ donc d'après le principe de récurrence la propriété est vraie pour tout $n \geqslant 1$.


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