Raisonnement par récurrence

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Raisonnement par récurrence

Exercice type

pour savoir faire un raisonnement par récurrence (en 6 min !)

Cours

Comprendre le raisonnement par récurrence ♦ Cours + Exemple détaillé

Comment faire un raisonnement par récurrence

Pour démontrer par récurrence une propriété ${\rm P}(n)$

on procède en 3 étapes:

Initialisation

On vérifie que ${\rm P}(n)$ est vraie pour une certaine valeur de $\boldsymbol{n}$. Notons-la $n_0$. On choisit pour $n_0$, la plus petite valeur de $n$ possible

La plupart du temps, on vérifie que P(0), P(1) ou P(2) est vraie.
Si vous oubliez l'initialisation, vous n'avez rien démontré, comme expliqué dans cet exemple
Hérédité

On suppose que ${\rm P}(n)$ est vraie pour UN entier $n\geqslant n_0$

C'est l'hypothèse de récurrence !

On rédige toujours de la façon suivante:
Soit un entier $n\geqslant n_0$. Supposons ${\rm P}(n)$ vraie et montrons que cela entraine que ${\rm P}(n+1)$ est vraie

Surtout ne pas écrire: "Supposons que pour tout entier naturel $n$, ${\rm P}(n)$ est vraie"

Car si on suppose la propriété vraie pour tout $n$, il n'y a donc rien à démontrer!
Le raisonnement par récurrence consiste à supposer qu'une propriété est vraie pour une valeur de $n$
et de montrer que cela entraine que la propriété est encore vraie au rang $n+1$.
Conclusion

On rédige la conclusion toujours de la même façon:
Comme ${\rm P}(n_0)$ est vraie et ${\rm P}(n)$ est héréditaire pour tout entier $n\geqslant n_0$, donc par récurrence ${\rm P}(n)$ est vraie pour tout entier $n\geqslant n_0$.

héréditaire signifie que la propriété se transmet de proche en proche !

Quand utiliser un raisonnement par récurrence

Cours ancienne version

, expliqué en vidéo

Exercice 1: raisonnement par récurrence & suite - terminale spécialité maths

La suite $(u_n)$ est définie par $u_0=3$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=2u_n+5$. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n > 0$.

Exercice 2: raisonnement par récurrence & suite - terminale spécialité mathématiques

La suite $(u_n)$ est définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+\dfrac{1}{u_n}$. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n \geqslant 1$.

Exercice 3: raisonnement par récurrence & suite - terminale spécialité mathématiques

La suite $(u_n)$ est définie par $u_0=0$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=2u_n+1$. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n=2^n-1$.

Exercice 4: raisonnement par récurrence & suite - terminale spécialité mathématiques

La suite $(u_n)$ est définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=3u_n-1$.

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n\leqslant u_{n+1}$.
Que peut-on déduire de la question a. ?

Exercice 5: raisonnement par récurrence & suite - terminale spécialité mathématiques

La suite $(u_n)$ est définie par $u_0=0$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{2-u_n}$.
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n=\dfrac{n}{n+1}$.

Exercice 6: raisonnement par récurrence & suite - terminale spécialité mathématiques

$(u_n)$ est la suite définie par $u_0=0$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+2n+2$.
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n=n(n+1)$.

Exercice 7: Démonstration par récurrence & Un+1=f(Un) - terminale spécialité mathématiques

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\sqrt{u_n+1}$.

Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_n\leqslant u_{n+1} \leqslant 2$.
En déduire le sens de variation de $(u_n)$.

Exercice 8: raisonnement par récurrence & suite - pour débuter

La suite $(u_n)$ est définie par $u_0=0$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}$.
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n=\dfrac{n}{n+1}$.

Exercice 9: Écrire la propriété P(n) au rang n+1

Soit ${\rm P}(n)$ la propriété définie pour tout entier $n\geqslant 1$ par: $1\times 2+2\times 3+....+n\times (n+1)$$=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$

Écrire la propriété au rang 1, au rang 2.
Vérifier que la propriété est vraie au rang 1 et au rang 2.
Écrire la propriété au rang $n+1$.
Démontrer que pour tout entier $n\geqslant 1$, la propriété ${\rm P}(n)$ est vraie.

Raisonnement par récurrence - Exercices pour débuter - Terminale spécialité maths

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