j'ai compris mes maths
jaicompris.com
Cours et exercices corrigés en vidéo comme en classe
Terminale

Raisonnement par récurrence - Démonstration

Conseils
Raisonnement par récurrence
Cours

Raisonnement par récurrence

, expliqué en vidéo
Comment faire un raisonnement par récurrence
Quand utiliser un raisonnement par récurrence
Cours

Le raisonnement par récurrence : nouvelle méthode pour étudier les variations d'une suite

, expliquée en vidéo
4 méthodes pour étudier les variations d'une suite
A savoir

Exercice 1: Ecrire la propriété P(n) au rang n+1

Soit ${\rm P}(n)$ la propriété définie pour tout entier $n\geqslant 1$ par: $1\times 2+2\times 3+....+n\times (n+1)$$=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$
  1. Écrire la propriété au rang 1, au rang 2.
  2. Vérifier que la propriété est vraie au rang 1 et au rang 2.
  3. Écrire la propriété au rang $n+1$.
  4. Démontrer que pour tout entier $n\geqslant 1$, la propriété ${\rm P}(n)$ est vraie.

Exercice 2: Somme de 1+2+...n et raisonnement par récurrence - Somme des n premiers entiers

Démontrer par récurrence que pour tout entier $n\geqslant 1$: $1+2+3+...+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$

Exercice 3: Somme des carrés 1²+2²+3²+...+n² et raisonnement par récurrence

Démontrer par récurrence que pour tout entier $n\geqslant 1$: $1^2+2^2+3^2+...+n^2$$=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Exercice 4: Somme des cubes et raisonnement récurrence

Démontrer par récurrence que pour tout entier $n\geqslant 1$: $1^3+2^3+3^3+...+n^3$$=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$

Exercice 5: Démonstration par récurrence & Un+1=f(Un)

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\sqrt{u_n+1}$.
  1. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $0 \lt u_n \lt 2$.
  2. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n\leqslant u_{n+1}$. Que peut-on déduire?

Exercice 6: raisonnement par récurrence et sens de variation - Suite arithmético-géométrique

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=10$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac 12 u_n+1$.
  1. Calculer les 4 premiers termes de la suite.
  2. Quelle conjecture peut-on faire concernant le sens de variation de $(u_n)$.
  3. Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac 12 x+1$.
  4. Démontrer la conjecture par récurrence

Exercice 7: Démontrer par récurrence qu'une suite est croissante - D'après question de Bac - suite arithmético-géométrique

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_1=0,4$ et pour tout entier $n\geqslant 1$, $u_{n+1}=0,2 u_n+0,4$.
Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante.

Exercice 8: Démontrer par récurrence qu'une suite est croissante ou décroissante - sujet bac Pondichéry 2015 partie B - suite arithmético-géométrique

Soit la suite $(h_n)$ définie par $h_0=80$ et pour tout entier naturel $n$, $h_{n+1}=0.75 h_n+30$.
  1. Conjecturer les variations de $(h_n)$.
  2. Démontrer par récurrence cette conjecture.

Exercice 9: Démontrer par récurrence une inégalité avec un+1=f(un)

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et pour tout entier naturel $n$, $ u_{n+1}=\dfrac{u_n+3}{4u_n+4}$. On considère la fonction $f$ définie sur $]-1;+\infty[$ par $ f(x)=\dfrac{x+3}{4x+4}$.
  1. Étudier les variations de $f$.
  2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0\leqslant u_n \leqslant 1$.

Exercice 10: Démontrer par récurrence une inégalité avec un+1=f(un)

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0\in ]0;1[$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n(2-u_n)$.
Soit la fonction $f$ définie sur [0;1] par $f(x)=x(2-x)$.
  1. On a tracé la courbe de \(f\) ci-dessous:
    Représenter les premiers termes de la suite. Quelle conjecture peut-on faire concernant le sens de variation de $(u_n)$?
  2. Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur [0;1] par $f(x)=x(2-x)$.
  3. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $0\leqslant u_n\leqslant 1$.
  4. Démontrer la conjecture du 1.

Exercice 11: Démontrer par récurrence & arithmétique - divisible - multiple

Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $7^n-1$ est divisible par $6$.

Exercice 12: Raisonnement par récurrence - Les erreurs à éviter - Un classique !

Pour tout entier naturel $n$, on considère les deux propriétés suivantes:
  • $P_n: 10^n-1$ est divisible par 9
  • $Q_n: 10^n+1$ est divisible par 9
  1. Démontrer que si $P_n$ est vraie alors $P_{n+1}$ est vraie.
  2. Démontrer que si $Q_n$ est vraie alors $Q_{n+1}$ est vraie.
  3. Un élève affirme: " Donc $P_n$ et $Q_n$ sont vraies pour tout entier naturel $n$". Expliquer pourquoi il commet une erreur grave.
  4. Démontrer que $P_n$ est vraie pour tout entier naturel $n$.
  5. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $Q_n$ est fausse. On pourra utiliser un raisonnement par l'absurde.

Exercice 13: suite de Héron - Démontrer par récurrence une inégalité

On considère la fonction définie sur $]0;+\infty[$, par $f(x)=\dfrac x 2 +\dfrac 1 x$.
  1. Étudier les variations de $f$.
  2. On considère la suite définie par $u_0=5$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$.
    1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $\sqrt 2\leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 5$
    2. Que peut-on conclure?

Exercice 14: Raisonnement par récurrence & arithmétique multiple diviseur

Soit $P(n)$ la propriété définie sur $\mathbb{N}$ par: $4^n+1$ est divisible par 3.
  1. Démontrer que si $P(n)$ est vraie alors $P(n+1)$ est vraie.
  2. Que peut-on conclure?

Exercice 15: Raisonnement par récurrence & arithmétique multiple diviseur

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $3^{2n}-1$ est un multiple de $8$.


Trustpilot
Trustpilot