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Limite d'une suite

Limite d'une suite: regarde le cours en vidéo

Cours de math en vidéo

  • Conseils pour ce chapitre:
    • Il faut absolument comprendre la notion de limite graphiquement Cours de math en vidéo
    • Avoir à l'esprit qu'il y a 3 cas possibles pour la limite d'une suite
    • Savoir retrouver les limites des suites usuelles à l'aide d'un graphique
    • Savoir lire la limite d'une suite sur un graphique
    • Savoir utiliser sa calculatrice pour conjecturer la limite d'une suite
  • Comment travailler efficacement Cours de math en vidéo
  • Conseils pour le jour du bac Cours de math en vidéo
Résumé de la vidéo
Il y a 3 cas possibles
On n'étudie la limite d'une suite qu'en $+\infty$ 


• La suite admet une limite finie
On dit qu'une suite (un) tend vers un nombre quand n tend vers +∞
si tout intervalle ouvert contenant , contient tous les un à partir d'un certain rang.
Dans ce cas, on dit que:

(un) tend vers
$\Updownarrow$
(un) converge vers
$\Updownarrow$
lim n → +∞
un =

$\Updownarrow$
(un) admet une limite finie


Si suite admet une limite, cette limite est unique.


• La suite admet une limite infinie:
On dit qu'une suite (un) tend vers +∞ quand n tend vers +∞
si tout intervalle de la forme ]A;+∞[, contient tous les un à partir d'un certain rang.
Dans ce cas, on dit que:

(un) tend vers +
$\Updownarrow$
(un) diverge vers +
$\Updownarrow$
lim n → +∞
un = +



• La suite n'admet pas de limite:
Une suite peut n'avoir ni limite finie, ni infinie.
on dit qu'elle n'admet pas de limite ou qu'elle diverge
Par exemple, la suite un=(-1)n n'a ni limite finie, ni infinie







Limite des suites usuelles

\[\lim_{n \to +\infty}n\] =
\[\lim_{n \to +\infty}n=+\infty\]
\[\lim_{n \to +\infty}\sqrt n\] =
\[\lim_{n \to +\infty}\sqrt n=+\infty\]
\[\lim_{n \to +\infty}\frac 1n\] =
\[\lim_{n \to +\infty}\frac 1n=0\]
Cours de math en vidéo

♦   

Limite de suite géométrique

: Cours de math en vidéo

\[\lim_{n \to +\infty}q^n\] =
• Si $q\gt 1$
Si $q\gt 1$ alors \[\lim_{n \to +\infty}q^n=+\infty\]

• Si $-1\lt q\lt 1$
Si $-1\lt q\lt 1$ alors \[\lim_{n \to +\infty}q^n=0\]

• Si $q\le -1$
Si $q\le -1$ alors $\left(q^n\right)$ n'a pas de limite, ni finie, ni infinie.







Traceurs de suite pour trouver la limite graphiquement


un=f(n) un+1=f(un)




Savoir utiliser sa calculatrice pour conjecturer la limite d'une suite

♦    Calculer avec une calculatrice CASIO graph 35+ les premiers termes d'une suite pour conjecturer la limite

: Cours de math en vidéo

♦    Calculer avec une calculatrice TI-82 ou TI-83, les premiers termes d'une suite pour conjecturer la limite

: Cours de math en vidéo



Corrigé en vidéo! Exercices 1: Conjecturer la limite d'une suite du type u(n)=f(n) et du type u(n+1)=f(u(n))
On a tracé ci-dessous la courbe d'une fonction \(f\):
  • On considère la suite \(u\) définie pour tout entier naturel \(n\), par \(u_n=f(n)\).
    a) Déterminer graphiquement \(u_0\), \(u_1\), \(u_2\), \(u_{11}\).
    b) Que peut-on conjecturer concernant \((u_n)\)?
  • On considère la suite \(v\) définie pour tout entier naturel \(n\), par \(v_0=-1\) et \(v_{n+1}=f(v_n)\).
    a) Déterminer graphiquement \(v_1\), \(v_2\), \(v_3\).
    b) Que peut-on conjecturer concernant \((v_n)\)?
  • On considère la suite \(w\) définie pour tout entier naturel \(n\), par \(w_0=16\) et \(w_{n+1}=f(w_n)\).
    a) Déterminer graphiquement \(w_1\), \(w_2\), \(w_3\).
    b) Que peut-on conjecturer concernant \((w_n)\)?
Exercices 2: Conjecturer limite - Rang à partir duquel ...
On considère la suite définie pour tout entier \(n\ge 1\) par \(u_n=\frac 1n\). 1) Conjecturer la limite de \((u_n)\). 2) A partir de quel rang \(N\) a-t-on \(|u_n|<0.01\)?
Corrigé en vidéo! Exercices 3: Conjecturer limite - A partir de quel rang a-t-on ...
On considère la suite définie pour tout entier $n\ge 0$ par $u_n=\frac {3}{n+1}$. 1) Conjecturer la limite de \((u_n)\). 2) A partir de quel rang \(N\) a-t-on \(|u_n|<0.01\)?
Corrigé en vidéo! Exercices 4: Conjecturer la limite d'une suite graphiquement - Suite convergente - divergente
Pour chacune des suites suivantes définies pour tout entier naturel \(n\) par:
\(u_n=1-\frac1n\) \(v_n=0.9^n\) \(w_n=1.1^n\) \(t_n=\frac{1,1^n}{n^2}\) \(z_n=\frac{3n^2+n}{2n^2+10}\)
1) Représenter chaque suite à l'aide de la calculatrice ou des traceurs ci-dessus. 2) Conjecturer la limite éventuelle de chaque suite. 3) Indiquer les suites qui semblent converger et celles qui semblent diverger.
Corrigé en vidéo! Exercices 5: Déterminer la limite d'une suite graphiquement
Pour chacune des suites suivantes définies pour tout entier naturel \(n\) par:
\[\left\{ \begin{array}{l} u_0 = -1 \\ u_{n+1}=\sqrt{u_n+2} \end{array} \right.\] \[\left\{ \begin{array}{l} v_0 =4 \\ v_{n+1}=\cos{v_n} \end{array} \right.\] \[w_n=\cos n\]
1) Représenter chaque suite à l'aide de la calculatrice ou des traceurs ci-dessus. 2) Conjecturer la limite éventuelle de chaque suite. 3) Indiquer les suites qui semblent converger et celles qui semblent diverger.
Exercices 6: Influence de u0 sur la limite d'une suite récurrente
On considère la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par : \(\left\{ \begin{array}{l} u_0 = 0,8 \\ u_{n+1}={u_n}^2 \end{array} \right.\)
1) Représenter la suite à l'aide de la calculatrice ou des traceurs ci-dessus.
2) Conjecturer la limite éventuelle.
3) Refaire les questions précédentes lorsque \(u_0=1.1\)
Exercices 7: Méthode de Héron - Convergence vers √...
On considère la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par : \(\left\{ \begin{array}{l} u_0 = 1 \\ u_{n+1}=\frac12(u_n+\frac{2}{u_n}) \end{array} \right.\)
  • Représenter la suite à l'aide de la calculatrice ou des traceurs ci-dessus.
  • Conjecturer la limite éventuelle.
    Cette limite est la racine carrée d'un nombre. Lequel?
  • Refaire les questions précédentes lorsque \(\left\{\begin{array}{l} u_0 = 1 \\ u_{n+1}=\frac12(u_n+\frac{3}{u_n}) \end{array} \right.\)
  • Que doit-on changer dans la définition de \(u_n\) pour qu'elle tende vers \(\sqrt{7}\)?
Corrigé en vidéo! Exercices 8: Limite de suite géométrique
Déterminer les limites éventuelles suivantes:
\[\lim_{n \to +\infty}\left(\frac 2 3 \right)^n\] \[\lim_{n \to +\infty}\frac{1}{2^n}\] \[\lim_{n \to +\infty}\frac{3^n}{2^{2n}}\] \[\lim_{n \to +\infty}\left(-1 \right)^n\] \[\lim_{n \to +\infty}\frac{\left( -1 \right)^n}{2^n}\]

Limite d'une suite : Exercices à Imprimer

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Qui sommes-nous? Nicolas Halpern-Herla
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Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES depuis 14 ans
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