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Première S

Suite géométrique


Suite géométrique

  • Conseils pour ce chapitre:
    • Commencer par regarder les vidéos de cours
    • Faire les exercices
  • Comment travailler efficacement Cours de math en vidéo
  • Conseils pour le jour du bac Cours de math en vidéo
Cours en vidéo: Ce qu'il faut savoir sur les suites géométriques Cours de math en vidéo
  • Suite géométrique
    Une suite est géométrique
    $\Updownarrow$
    lorsqu'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre.
    Ce nombre est appelé la raison de la suite,
    et on le note souvent $\boldsymbol q$.



  • $\boldsymbol{u_{n+1}=}$
    Dire qu'une suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q$
    $\Updownarrow$
    On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $q$.
    $\Updownarrow$
    Pour tout entier naturel $n$, $\boldsymbol{u_{n+1}=q\times u_n}$.
    Ecrire que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=q\times u_n$
    signifie
    qu'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $r$.


  • $\boldsymbol{u_{n}=}$
    Dire qu'une suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q$
    $\Updownarrow$
    On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $q$.
    $\Updownarrow$
    Pour tout entier naturel $n$, $\boldsymbol{u_{n+1}=q\times u_n}$.
    $\Updownarrow$
    Pour tout entier naturel $n$, $\boldsymbol{u_{n}=u_0\times q^n}$
    Cette formule est valable pour $q\ne 0$.
    Car avec $q=0$ et $n=0$,
    on obtient $u_0=q^0=0^0$
    Or $0^0$ n'est pas défini!

    Comme on multiplie toujours par $q$ pour passer d'un terme au suivant,
    pour passer de $u_0$ à $u_n$, on multiplie $n$ fois par $q$.
    Donc $u_n=u_0\times q^n$.
    Il ne faut pas apprendre cette formule,
    mais savoir la retrouver à l'aide du schéma!


  • $\boldsymbol{u_{n}=u_1\times}$
    Dire qu'une suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q$
    $\Updownarrow$
    On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $q$.
    $\Updownarrow$
    Pour tout entier naturel $n$, $\displaystyle \boldsymbol{u_{n}=u_1 \times q^{n-1}}$
    Cette formule est valable pour $q\ne 0$.
    Car avec $n=0$,
    on obtient $\displaystyle u_0=u_1\times q^{-1}=u_1\times \frac 1q$
    Et $\displaystyle \frac 1q$ n'est pas défini pour $q=0$!

    Comme on multiplie toujours par $q$ pour passer d'un terme au suivant,
    pour passer de $u_1$ à $u_n$, on multiplie $n-1$ fois par $q$.
    Donc $u_n=u_1\times q^{n-1}$.
    Il ne faut pas apprendre cette formule,
    mais savoir la retrouver à l'aide du schéma!


  • $\boldsymbol{u_{n}=u_2\times}$
    Dire qu'une suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q$
    $\Updownarrow$
    On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $q$.
    $\Updownarrow$
    Pour tout entier naturel $n$, $\boldsymbol{u_{n}=u_2\times q^{n-2}}$
    Cette formule est valable pour $q\ne 0$.
    Car avec $n=0$,
    on obtient $\displaystyle u_0=u_2\times q^{-2}=u_1\times \frac 1{q^2}$
    Et $\displaystyle \frac 1{q^2}$ n'est pas défini pour $q=0$!

    Comme on multiplie toujours par $q$ pour passer d'un terme au suivant,
    pour passer de $u_2$ à $u_n$, on multiplie $n-2$ fois $q$.
    Donc $u_n=u_2\times q^{n-2}$.
    Il ne faut pas apprendre cette formule,
    mais savoir la retrouver à l'aide du schéma!


  • Montrer qu'une suite est géométrique
    Technique 1: On remarque que $u_n=a\times b^n$
    On peut directement conclure que la suite
    est géométrique de raison $b$.
    La raison est le nombre
    qui est dans la puissance.

    Technique 2: On calcule $u_{n+1}$ que l'on transforme jusqu'à obtenir $q\times u_n$
    Il est déconseillé de calculer $\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}$.
    Sauf si on est sûr que $u_n$ ne s'annule jamais.

  • Conseil
    Penser à calculer les premiers termes.
    Cela permet de voir:
    Si la suite semble être géométrique ou pas
    Si la suite semble géométrique d'avoir une idée de la raison.
    Si la suite n'est pas géométrique, de le prouver
    Si par exemple:
    $u_0=2$, $u_1=4$ et $u_2=9$
    Cette suite n'est pas géométrique
    car pour passer de $u_0$ à $u_1$ on multplie par 2
    alors que pour passer de $u_1$ à $u_2$ on ne multiplie pas par 2.
    On ne multiplie donc pas toujours le même nombre,
    donc la suite n'est pas géométrique.





Variation d'une suite géométrique

Cours en vidéo: Variation des suites géométriques Cours de math en vidéo
  • Sens de variation de $(q^n)$
    • Si $q\gt 1$ alors la suite $(q^n)$ est strictement croissante.
    • Si $0\lt q\lt 1$ alors la suite $(q^n)$ est strictement décroissante.
    • Si $q\lt 0$ alors la suite $(q^n)$ n'est pas monotone.

  • Sens de variation d'une suite géométrique
    Pour trouver les variations de la suite définie par $u_n=u_0\times q^n$:
    1) D'abord trouver les variations de $(q^n)$
    • Si $q\gt 1$ alors la suite $(q^n)$ est strictement croissante.
    • Si $0\lt q\lt 1$ alors la suite $(q^n)$ est strictement décroissante.
    • Si $q\lt 0$ alors la suite $(q^n)$ n'est pas monotone.

    2) Tenir compte de $u_0$
    comme expliqué dans la vidéo.


  • Graphiquement

    $q\gt 1$ alors la suite $(q^n)$ est strictement croissante.

    $0\lt q\lt 1$ alors la suite $(q^n)$ est strictement décroissante.

    $q\lt 0$ alors la suite $(q^n)$ n'est pas monotone.
Démonstration des variations en vidéo: Cours de math en vidéo ♦ Fais varier $u_0$ et $q$
Fais varier $u_0$ et $q$
pour comprendre leurs influences sur les variations de la suite géométrique.




Limite d'une suite géométrique

Limite d'une suite géométrique expliqué en vidéo Cours de math en vidéo
  • Si $\boldsymbol{q\gt 1}$
    Si $\boldsymbol{q\gt 1}$ alors \[\boldsymbol{\lim_{\substack{n \to +\infty}} q^n=+\infty}\]

    On retrouve ce résultat graphiquement:

    Graphique de la suite $(q^n)$ lorsque $\boldsymbol{q\gt 1}$

    On retrouve que
    lorsque $n$ tend vers $+\infty$
    $q^n$ tend vers $+\infty$.

  • Si $\boldsymbol{-1\lt q\lt 1}$
    Si $\boldsymbol{-1\lt q\lt 1}$ alors \[\boldsymbol{\lim_{\substack{n \to +\infty}} q^n=0}\]

    On retrouve ce résultat graphiquement:

    Graphique de la suite $(q^n)$ lorsque $\boldsymbol{0\lt q\lt 1}$

    On retrouve que
    lorsque $n$ tend vers $+\infty$
    $q^n$ tend vers 0.


    Graphique de la suite $(q^n)$ lorsque $\boldsymbol{-1\lt q\lt 0}$

    On retrouve que
    lorsque $n$ tend vers $+\infty$
    $q^n$ tend vers 0.

  • Si $\boldsymbol{ q\leqslant -1}$
    Si $\boldsymbol{ q\leqslant -1}$ alors $(q^n)$ n'a pas de limite, ni finie, ni infinie.

    On retrouve ce résultat graphiquement:

    Graphique de la suite $(q^n)$ lorsque $\boldsymbol{q\lt -1}$

    On retrouve que
    lorsque $n$ tend vers $+\infty$
    $q^n$ n'a pas de limite, ni finie, ni infinie.

  • \[\boldsymbol{\lim_{\substack{n \to +\infty}} u_0\times q^n}\]
    1) On trouve la limite de $\boldsymbol{q^n}$
    • Si $\boldsymbol{ q\gt 1}$ alors \[\boldsymbol{\lim_{\substack{n \to +\infty}} q^n=+\infty}\]
    • Si $\boldsymbol{-1\lt q\lt 1}$ alors \[\boldsymbol{\lim_{\substack{n \to +\infty}} q^n=0}\]
    • Si $\boldsymbol{q\leqslant -1}$ alors $(q^n)$ n'a pas de limite, ni finie, ni infinie

    2) On tient compte de $\boldsymbol{u_0}$
    Comme expliqué dans la vidéo




Exercices 1:

Reconnaitre une suite géométrique


Préciser si les suites suivantes, définies sur $\mathbb{N}$, sont géométriques.
Dans ce cas, indiquer alors la raison $q$ et le premier terme.
a) $a_n=5^{n+2}$ b) $b_n=\frac{-2}{3^{n+1}}$ c) $c_n=\frac{(-2)^{3n+1}}{3^{2n}}$ d) $d_n=n^2$ e) $e_n=2^n$ f) $f_n=2\times 3^{-n}$
Exercices 2:

Reconnaitre une suite géométrique


Préciser si les suites suivantes, définies sur $\mathbb{N}$, sont géométriques.
Dans l'affirmative, indiquer alors la raison et le premier terme.
a) $u_n=3^n+4^n$ b) $v_n=3^n \times 4^{n+1}$ c) $\left\{ \begin{array}{l} w_0 = 4 \\ w_{n+1}=\frac{w_n}3 \end{array} \right.$ d) $\left\{ \begin{array}{l} x_0 = 4 \\ x_{n+1}=3+ \frac{1}{2}\times x_n \end{array} \right.$
Exercices 3:

Suite arithmético-géométrique


On considère les suites $u$ et $v$ telles que $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\frac12 u_n+3$ et $v_n=u_n-6$.
1) La suite $(u_n)$ est-elle arithmétique? géométrique? Justifier.
2) Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique.
3) En déduire l'expression de $v_n$ puis de $u_n$ en fonction de $n$.
Exercices 4:

Raison d'une suite géométrique


1) Est-ce que les nombres 7 ; 14 ; 21 sont les termes consécutifs d'une suite géométrique?
2) Est-ce que les nombres $\frac13$ ; 2 ; 12 sont les termes consécutifs d'une suite géométrique?
3) Est-ce que les nombres $\frac13$ ; $-2$ ; 12 sont les termes consécutifs d'une suite géométrique?
4) Est-ce que les nombres $16$ ; $12$ et $9$ sont les termes consécutifs d'une suite géométrique?
5) Déterminer $x$ pour que les nombres 7; $x$; 63 soient les termes consécutifs d'une suite géométrique.
Exercices 5:

Maitriser les suites géométriques


1) La suite $(u_n)$ est géométrique. $u_0=-8$ et $q=\frac12$. Déterminer $u_{4}$.
2) La suite $(v_n)$ est géométrique. $v_{1}=2$ et $v_2=-6$. Déterminer la raison et $v_{0}$.
3) La suite $(t_n)$ est géométrique. $t_2=3$ et $t_4=12$. Que peut-on dire de la raison et de $t_3$?
4) La suite $(w_n)$ est géométrique. $q=0.1$ et $w_{4}=2$. Déterminer $w_{0}$.
5) La suite $(a_n)$ est définie par $\left\{ \begin{array}{l} a_0 = 4 \\ a_{n+1}=a_n- \frac{2}{3}\times a_n \end{array} \right.$ est-elle géométrique?
6) La suite $(b_n)$ est géométrique de raison $4$. Exprimer $b_n$ en fonction de $a_1$.
Exercices 6:

Raison d'une suite géométrique


  1. $(u_n)$ est une suite géométrique où aucun terme n'est nul et pour tout $n$, $u_{n+2}=u_n$.
    Que peut-on dire de la raison?
  2. $(u_n)$ est une suite géométrique où aucun terme n'est nul et pour tout $n$, $u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$.
    Que peut-on dire de la raison?
Exercices 7:

Suite définie à l'aide d'un tableur


On a obtenu avec un tableur les termes consécutifs d'une suite $(u_n)$.
Les valeurs ont été arrondies au cent-millième.

1) Conjecturer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
2) Quelle formule a-t-on écrite dans la cellule A2 puis copiée vers le bas pour obtenir les termes de la suite.
Exercices 8:

Suite définie à l'aide d'un algorithme


La suite $u$ est définie par l'algorithme suivant:

1) Si $n=3$, quelle valeur sera affichée?
2) La suite $u$ est-elle géométrique? Dans l'affirmative, quelle est son premier terme et sa raison?
Exercices 9:

Suite arithmético-géométrique


On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$, par: $ \left\{ \begin{array}{l} u_0 = 4 \\ u_{n+1}=\frac{u_n}{5}+8 \end{array} \right.$
1) La suite $(u_n)$ est-elle arithmétique? géométrique? Justifier.
2) Pouvez-vous exprimer $u_n$ en fonction de $n$. Justifier.
3) On pose, pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-10$. Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique.
4) Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
5) Refaire le 2).
Exercices 10:

Graphique d'une suite géométrique


On a représenté une suite définie par $u_{n+1}=f(u_n)$.

1) Déterminer graphiquement $u_0$, $u_1$, $u_2$.
2) Déterminer l'expression de $f(x)$.
3) En déduire la nature de la suite $(u_n)$.
4) Déterminer, par le calcul, la valeur de $u_1$ et de $u_2$. Est-ce cohérent?
Exercices 11:

Suite géométrique et augmentation


Un nénuphar en forme de cercle double sa surface chaque jour.
Soit $S_n$ sa surface et $r_n$ son rayon au bout de $n$ jour après l'éclosion.
1) Sa surface $S_n$ est-elle le terme d'une suite géométrique? Si oui, quelle est sa raison?
2) Son rayon $r_n$ est-il le terme d'une suite géométrique? Indiquer, alors la raison.
3) A l'éclosion, il mesure 1 cm$^2$. Au bout de 25 jours, il couvre la moitié de l'étang.
     Quelle est la surface de l'étang en m$^2$?
4) Au bout de combien de jour, le nénuphar couvrira-t-il la totalité de l'étang?
Corrigé en vidéo
Exercices 12:

Suite géométrique et intérêt composé


Sophie a placé 250€ à sa banque à intérêt composé de 7% par an.
Les intérêts sont calculés chaque année sur le montant disponible en banque et sont ajoutés au capital.
Sophie ne fait ni retrait, ni dépôt supplémentaire. On note $(s_n)$ la somme d'argent au bout de $n$ années.
1) Exprimer $s_n$ en fonction $n$.
2) Déterminer le montant dont dispose Sophie au bout de 5 années. Arrondir à l'euro prés.
3) A l'aide d'une calculatrice, déterminer au bout de combien d'années, le placement aura doublé.
Exercices 13:

Suite géométrique et augmentation en pourcentage


Un employeur A vous propose un salaire de 2000€/mois et une augmentation de 100€ par an.
Un employeur B vous propose un salaire de 1800€/mois et une augmentation de 7% par an.
  1. Quel employeur choisir, si vous envisagez de rester 3 ans dans la société?
  2. Quel employeur choisir, si vous envisagez de rester 10 ans dans la société?
  3. A l'aide d'une calculatrice, déterminer le nombre d'années au bout duquel la rémunération de l'employeur B est plus intéressante.
Exercices 14:

Suite géométrique et graphique


On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$, par: $\left\{ \begin{array}{l} u_0 = 1.5 \\ u_{n+1}=\frac23 \times u_n \end{array} \right.$
1) Tracer les droites d'équation $y=x$ et $y=\frac23 x$ en utilisant des points à coordonnées entières.
2) Déterminer graphiquement $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_4$.
Exercices 15:

Suite arithmétique et géométrique


$(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0$.
On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$, par $v_n=2^{u_n}$.
Démontrer que $(v_n)$ est géométrique. Préciser le premier terme et la raison.
Exercices 16:

Variations d'une suite géométrique


Dans chaque cas, déterminer le sens de variation de la suite $(u_n)$:
1) $(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0=-2$ et de raison $q$ où $q\geqslant 1$
2) $(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0=-1.1$ et de raison $q$ où $0\lt q \lt 1$
3) $(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0=-3$ et de raison $q$ où $q\lt 0$
Exercices 17:

Etude complète d'une suite arithmético-géométrique - Suite géométrique auxiliaire


Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$, par $\left\{ \begin{array}{l} u_0 = 5 \\ u_{n+1}=\frac12 u_n-2 \end{array} \right.$
  1. Tracer la courbe de la fonction $f:x\to \frac12 x-2$.
    Représenter graphiquement les quatre premiers termes de la suite $(u_n)$.
  2. Quel semble être le sens de variation de $(u_n)$? $(u_n)$ semble-t-elle avoir une limite?
  3. On considère la $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$, par $v_n=u_n+4$.
    Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont précisera la raison.
  4. Exprimer pour tout entier naturel $n$, $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
  5. Démontrer les conjectures faites à la question 2)
Exercices 18:

Etude d'une suite homographique à l'aide d'une suite auxiliaire géométrique - Limite d'une suite


Soit la suite \(u\) définie sur \(\mathbb{N}\) par \(u_0=1\) et pour tout entier naturel \(n\), \[u_{n+1}=2+\frac{3}{u_n}\].
On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_n\gt 0$.
L'objectif du problème est d'exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\) puis de trouver la limite de \((u_n)\).
  • On a tracé la courbe de la fonction \(f\) définie sur \(]0;+\infty[\) par\[f(x)=2+\frac3x\]

  • Déterminer graphiquement puis par le calcul, \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\).
  • Quelles conjectures peut-on faire concernant le sens de variation, et la limite de cette suite \((u_n)\).

  • On considère la suite \((v_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par: \[v_n=\frac{u_n-3}{u_n+1}\]
  • Déterminer par le calcul les 4 premiers termes de la suite \((v_n)\).
  • La suite $v$ semble-t-elle arithmétique? Géométrique?
  • Démontrer votre conjecture.
  • Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\). En déduire l'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).
  • En déduire la limite de la suite \((u_n)\).
Exercices 19:

Nombre de rebonds


Une balle est lâchée sur le sol d'une hauteur de 1,5 mètre. On note $h_n$ sa hauteur en mètres après $n$ rebonds. On pose donc $h_0 = 1,5$. On suppose que la balle rebondit toujours à 80% de la hauteur du précédent rebond.
  1. Vérifier que $h_2 = 0,96$.
  2. Exprimer pour tout entier naturel $n$, $h_{n+1}$ en fonction de $h_n$. Quelle est la nature de la suite $(h_n)$?
  3. Exprimer $h_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.
  4. On estime maintenant que la balle ne rebondit plus lorsque la hauteur du rebond ne dépasse pas 0,5 cm. A l'aide de la calculatrice, déterminer le nombre de rebonds effectués par la balle.
Exercices 20:

Exprimer une suite arithmético-géométrique en fonction de $n$


On considère une suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1} = 3u_n - 8$ et $u_0 = 6$.
1) Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
2) La suite $(u_n)$ est-elle arithmétique ? Géométrique ?
3) On pose pour tout entier naturel $n$, $v_n = u_n - 4$.
     a) Calculer $v_0$, $v_1$, $v_2$ et $v_3$.
     b) Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique.
     c) Exprimer pour tout entier naturel $n$, $v_n$ en fonction de $n$.
4) En déduire $u_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.
Exercices 21:

Avec une suite auxiliaire géométrique


On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\sqrt{u_n^2+12}$ et $u_0 = 0$.
1) Montrer que $u_1 = \sqrt{3}$ et $u_2 = \dfrac{\sqrt{15}}{2}$.
2) On pose pour tout $n \in \mathbb{N}, v_n = u_n^2-4$.
     a) Calculer $v_0$, $v_1$ et $v_2$.
     b) Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique.
     c) Exprimer pour tout $n \in \mathbb{N}$, $v_n$ en fonction de $n$.
3) En déduire $u_n$ en fonction de $n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Exercices 22:

$u_6$ connaissant $u_0$ et $u_1 + u_2$


On considère une suite géométrique $(u_n)$ à termes strictement positifs.
On sait que $u_0 = 4$ et que $u_1 + u_2 = 15$. Déterminer $u_6$.
Exercices 23:

Suites croisées


On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies pour tout entier naturel $n$ par $\begin{cases} u_0 =32 \quad \text{et} \quad v_0 =18 \\ u_{n+1} = 0,8 u_n+ 0,3 v_n \\ v_{n+1} = 0,2 u_n + 0,7v_n \end{cases}$
1) Calculer $u_1$ et $v_1$.
2) On pose pour tout entier naturel $n$, $s_n = u_n + v_n$ et $t_n = -2u_n + 3v_n$.
     a) Justifier par un calcul que la suite $(s_n)$ est constante et donner cette constante.
     b) Démontrer que la suite $(t_n)$ est une suite géométrique.
     c) Exprimer alors $t_n$ en fonction de $n$ pour tout entier $n$.
3) Déduire de la question précédente les expressions de $u_n$ et de $v_n$ en fonction de $n$.
4) En déduire les limites des suites $(u_n)$ et $(v_n)$.
Exercices 24:

Suite géométrique et fractale - Périmètre du flocon de von Koch



Pour tout entier naturel $n$, on note :
    • le nombre de côtés de la figure $\mathscr{F}_n$ ;
    • $l_n$ la longueur d'un côté de la figure $\mathscr{F}_n$ ;
    • $p_n$ le périmètre de la figure $\mathscr{F}_n$.
1) Exprimer $c_{n+1}$ en fonction de $c_n$ puis en déduire $c_n$ en fonction de $n$.
2) Exprimer $l_{n+1}$ en fonction de $l_n$ puis en déduire $l_n$ en fonction de $n$ sachant que $l_0 = 1$.
3) En déduire $p_n$ en fonction de $n$.
4) Le flocon de von Koch est la figure obtenue quand $n$ tend vers l'infini. Que dire de son périmètre ?

Suite géométrique - Première S ES STI : Exercices à Imprimer

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Qui sommes-nous? Nicolas Halpern-Herla
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES et STI depuis 22 ans
Créateur de jeux de stratégie: Agora et Chifoumi

Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES depuis 13 ans
Champion de France de magie en 2001: Magie