Suite géométrique

$(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q$. Dans chaque cas, déterminer $u_1$, $u_2$ et $u_3$:

$(u_n)$ est une suite géométrique de raison $5$. On sait que $u_2=10$. Déterminer $u_3$, $u_1$ et $u_0$.

On a représenté une suite géométrique $(u_n)$:

1. Lire $u_0$ et la raison $q$.
2. Donner l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

Dans chaque cas, donner l'expression $u_n$ en fonction de $n$:

1. $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $5$ et $u_0=2$.
2. Pour tout entier $n \geqslant 0$, $u_{n+1}=3u_n$ et $u_0=4$.

Un scientifique observe l'évolution d'une population de poissons dans un aquarium. Il compte $500$ poissons en 2019 et $600$ en 2020. Il décide de modéliser l'évolution du nombre de poissons par une suite géométrique.

1. Déterminer la raison de cette suite.
2. Le scientifique compte $761$ poissons en 2022. Que penser de cette modélisation?

$(u_n)$ est la suite définie par $u_0=10$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,5u_n+3$.

1. Démontrer que $(u_n)$ n'est ni arithmétique, ni géométrique.
2. $(v_n)$ est la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=u_n-6$.
   1. Démontrer que $(v_n)$ est géométrique.
   2. En déduire l'expression de $v_n$ puis de $u_n$ en fonction de $n$.
   3. En déduire la limite de $(u_n)$

Une action est cotée à $57$€. Sa valeur augmente de $3\%$ tous les mois. Écrire une fonction en Python qui renvoie le nombre de mois à attendre pour que sa valeur dépasse $200$€.

Préciser si les suites suivantes, définies sur $\mathbb{N}$, sont géométriques.
Dans ce cas, indiquer alors la raison $q$ et le premier terme.
a) $a_n=5^{n+2}$ b) $b_n=\dfrac{-2}{3^{n+1}}$ c) $c_n=\dfrac{(-2)^{3n+1}}{3^{2n}}$ d) $d_n=n^2$ e) $e_n=2^n$ f) $f_n=2\times 3^{-n}$

Préciser si les suites suivantes, définies sur $\mathbb{N}$, sont géométriques.
Dans l'affirmative, indiquer alors la raison et le premier terme.
a) $u_n=3^n+4^n$ b) $v_n=3^n \times 4^{n+1}$ c) $\left\{ \begin{array}{l} w_0 = 4 \\ w_{n+1}=\dfrac{w_n}3 \end{array} \right.$ d) $\left\{ \begin{array}{l} x_0 = 4 \\ x_{n+1}=3+ \dfrac{1}{2}\times x_n \end{array} \right.$

On considère les suites $u$ et $v$ telles que $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac12 u_n+3$ et $v_n=u_n-6$.
1) La suite $(u_n)$ est-elle arithmétique? géométrique? Justifier.
2) Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique.
3) En déduire l'expression de $v_n$ puis de $u_n$ en fonction de $n$.

1) Est-ce que les nombres 7 ; 14 ; 21 sont les termes consécutifs d'une suite géométrique?
2) Est-ce que les nombres $\dfrac13$ ; 2 ; 12 sont les termes consécutifs d'une suite géométrique?
3) Est-ce que les nombres $\dfrac13$ ; $-2$ ; 12 sont les termes consécutifs d'une suite géométrique?
4) Est-ce que les nombres $16$ ; $12$ et $9$ sont les termes consécutifs d'une suite géométrique?
5) Déterminer $x$ pour que les nombres 7; $x$; 63 soient les termes consécutifs d'une suite géométrique.

1) La suite $(u_n)$ est géométrique. $u_0=-8$ et $q=\dfrac12$. Déterminer $u_{4}$.
2) La suite $(v_n)$ est géométrique. $v_{1}=2$ et $v_2=-6$. Déterminer la raison et $v_{0}$.
3) La suite $(t_n)$ est géométrique. $t_2=3$ et $t_4=12$. Que peut-on dire de la raison et de $t_3$?
4) La suite $(w_n)$ est géométrique. $q=0.1$ et $w_{4}=2$. Déterminer $w_{0}$.
5) La suite $(a_n)$ est définie par $\left\{ \begin{array}{l} a_0 = 4 \\ a_{n+1}=a_n- \dfrac{2}{3}\times a_n \end{array} \right.$ est-elle géométrique?
6) La suite $(b_n)$ est géométrique de raison $4$. Exprimer $b_n$ en fonction de $b_1$.

1. $(u_n)$ est une suite géométrique où aucun terme n'est nul et pour tout $n$, $u_{n+2}=u_n$.
   Que peut-on dire de la raison?
2. $(u_n)$ est une suite géométrique où aucun terme n'est nul et pour tout $n$, $u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$.
   Que peut-on dire de la raison?

On a obtenu avec un tableur les termes consécutifs d'une suite $(u_n)$.
Les valeurs ont été arrondies au cent-millième.

1) Conjecturer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
2) Quelle formule a-t-on écrite dans la cellule A2 puis copiée vers le bas pour obtenir les termes de la suite.

La suite $u$ est définie par l'algorithme suivant:

1) Si $n=3$, quelle valeur sera affichée?
2) La suite $u$ est-elle géométrique? Dans l'affirmative, quelle est son premier terme et sa raison?

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$, par: $ \left\{ \begin{array}{l} u_0 = 4 \\ u_{n+1}=\dfrac{u_n}{5}+8 \end{array} \right.$
1) La suite $(u_n)$ est-elle arithmétique? géométrique? Justifier.
2) Pouvez-vous exprimer $u_n$ en fonction de $n$. Justifier.
3) On pose, pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-10$. Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique.
4) Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
5) Refaire le 2).

On a représenté une suite définie par $u_{n+1}=f(u_n)$.

1) Déterminer graphiquement $u_0$, $u_1$, $u_2$.
2) Déterminer l'expression de $f(x)$.
3) En déduire la nature de la suite $(u_n)$.
4) Déterminer, par le calcul, la valeur de $u_1$ et de $u_2$. Est-ce cohérent?

Un nénuphar en forme de cercle double sa surface chaque jour.
Soit $S_n$ sa surface et $r_n$ son rayon au bout de $n$ jour après l'éclosion.
1) Sa surface $S_n$ est-elle le terme d'une suite géométrique? Si oui, quelle est sa raison?
2) Son rayon $r_n$ est-il le terme d'une suite géométrique? Indiquer, alors la raison.
3) A l'éclosion, il mesure 1 cm$^2$. Au bout de 25 jours, il couvre la moitié de l'étang.
     Quelle est la surface de l'étang en m$^2$?
4) Au bout de combien de jour, le nénuphar couvrira-t-il la totalité de l'étang?

Sophie a placé 250€ à sa banque à intérêt composé de 7% par an.
Les intérêts sont calculés chaque année sur le montant disponible en banque et sont ajoutés au capital.
Sophie ne fait ni retrait, ni dépôt supplémentaire. On note $(s_n)$ la somme d'argent au bout de $n$ années.
1) Exprimer $s_n$ en fonction $n$.
2) Déterminer le montant dont dispose Sophie au bout de 5 années. Arrondir à l'euro prés.
3) A l'aide d'une calculatrice, déterminer au bout de combien d'années, le placement aura doublé.

Un employeur A vous propose un salaire de 2000€/mois et une augmentation de 100€ par an.
Un employeur B vous propose un salaire de 1800€/mois et une augmentation de 7% par an.

1. Quel employeur choisir, si vous envisagez de rester 3 ans dans la société?
2. Quel employeur choisir, si vous envisagez de rester 10 ans dans la société?
3. A l'aide d'une calculatrice, déterminer le nombre d'années au bout duquel la rémunération de l'employeur B est plus intéressante.

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$, par: $\left\{ \begin{array}{l} u_0 = 1.5 \\ u_{n+1}=\dfrac23 \times u_n \end{array} \right.$
1) Tracer les droites d'équation $y=x$ et $y=\dfrac23 x$ en utilisant des points à coordonnées entières.
2) Déterminer graphiquement $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_4$.

$(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0$.
On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$, par $v_n=2^{u_n}$.
Démontrer que $(v_n)$ est géométrique. Préciser le premier terme et la raison.

Dans chaque cas, déterminer le sens de variation de la suite $(u_n)$:
1) $(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0=-2$ et de raison $q$ où $q\geqslant 1$
2) $(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0=-1.1$ et de raison $q$ où $0\lt q \lt 1$
3) $(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0=-3$ et de raison $q$ où $q\lt 0$

Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$, par $\left\{ \begin{array}{l} u_0 = 5 \\ u_{n+1}=\dfrac12 u_n-2 \end{array} \right.$

1. Tracer la courbe de la fonction $f:x\to \dfrac12 x-2$.
   Représenter graphiquement les quatre premiers termes de la suite $(u_n)$.
2. Quel semble être le sens de variation de $(u_n)$? $(u_n)$ semble-t-elle avoir une limite?
3. On considère la $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$, par $v_n=u_n+4$.
   Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont précisera la raison.
4. Exprimer pour tout entier naturel $n$, $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
5. Démontrer les conjectures faites à la question 2)

Soit la suite \(u\) définie sur \(\mathbb{N}\) par \(u_0=1\) et pour tout entier naturel \(n\), \[u_{n+1}=2+\dfrac{3}{u_n}\].
On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_n\gt 0$.
L'objectif du problème est d'exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\) puis de trouver la limite de \((u_n)\).

• On a tracé la courbe de la fonction \(f\) définie sur \(]0;+\infty[\) par\[f(x)=2+\dfrac3x\]
  
  
• Déterminer graphiquement puis par le calcul, \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\).
• Quelles conjectures peut-on faire concernant le sens de variation, et la limite de cette suite \((u_n)\).

On considère la suite \((v_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par: \[v_n=\dfrac{u_n-3}{u_n+1}\]
• Déterminer par le calcul les 4 premiers termes de la suite \((v_n)\).
• La suite $v$ semble-t-elle arithmétique? Géométrique?
• Démontrer votre conjecture.
• Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\). En déduire l'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).
• En déduire la limite de la suite \((u_n)\).

Une balle est lâchée sur le sol d'une hauteur de 1,5 mètre. On note $h_n$ sa hauteur en mètres après $n$ rebonds. On pose donc $h_0 = 1,5$. On suppose que la balle rebondit toujours à 80% de la hauteur du précédent rebond.

1. Vérifier que $h_2 = 0,96$.
2. Exprimer pour tout entier naturel $n$, $h_{n+1}$ en fonction de $h_n$. Quelle est la nature de la suite $(h_n)$?
3. Exprimer $h_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.
4. On estime maintenant que la balle ne rebondit plus lorsque la hauteur du rebond ne dépasse pas 0,5 cm. A l'aide de la calculatrice, déterminer le nombre de rebonds effectués par la balle.

On considère une suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1} = 3u_n - 8$ et $u_0 = 6$.
1) Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
2) La suite $(u_n)$ est-elle arithmétique ? Géométrique ?
3) On pose pour tout entier naturel $n$, $v_n = u_n - 4$.
     a) Calculer $v_0$, $v_1$, $v_2$ et $v_3$.
     b) Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique.
     c) Exprimer pour tout entier naturel $n$, $v_n$ en fonction de $n$.
4) En déduire $u_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.

On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\sqrt{u_n^2+12}$ et $u_0 = 0$.
1) Montrer que $u_1 = \sqrt{3}$ et $u_2 = \dfrac{\sqrt{15}}{2}$.
2) On pose pour tout $n \in \mathbb{N}, v_n = u_n^2-4$.
     a) Calculer $v_0$, $v_1$ et $v_2$.
     b) Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique.
     c) Exprimer pour tout $n \in \mathbb{N}$, $v_n$ en fonction de $n$.
3) En déduire $u_n$ en fonction de $n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

On considère une suite géométrique $(u_n)$ à termes strictement positifs.
On sait que $u_0 = 4$ et que $u_1 + u_2 = 15$. Déterminer $u_6$.

On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies pour tout entier naturel $n$ par $\begin{cases} u_0 =32 \quad \text{et} \quad v_0 =18 \\ u_{n+1} = 0,8 u_n+ 0,3 v_n \\ v_{n+1} = 0,2 u_n + 0,7v_n \end{cases}$
1) Calculer $u_1$ et $v_1$.
2) On pose pour tout entier naturel $n$, $s_n = u_n + v_n$ et $t_n = -2u_n + 3v_n$.
     a) Justifier par un calcul que la suite $(s_n)$ est constante et donner cette constante.
     b) Démontrer que la suite $(t_n)$ est une suite géométrique.
     c) Exprimer alors $t_n$ en fonction de $n$ pour tout entier $n$.
3) Déduire de la question précédente les expressions de $u_n$ et de $v_n$ en fonction de $n$.
4) En déduire les limites des suites $(u_n)$ et $(v_n)$.

Pour tout entier naturel $n$, on note :
    • $c_n$ le nombre de côtés de la figure $\mathscr{F}_n$ ;
    • $l_n$ la longueur d'un côté de la figure $\mathscr{F}_n$ ;
    • $p_n$ le périmètre de la figure $\mathscr{F}_n$.
1) Exprimer $c_{n+1}$ en fonction de $c_n$ puis en déduire $c_n$ en fonction de $n$.
2) Exprimer $l_{n+1}$ en fonction de $l_n$ puis en déduire $l_n$ en fonction de $n$ sachant que $l_0 = 1$.
3) En déduire $p_n$ en fonction de $n$.
4) Le flocon de von Koch est la figure obtenue quand $n$ tend vers l'infini. Que dire de son périmètre ?