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Suite arithmétique


Suite arithmétique

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Cours en vidéo: Ce qu'il faut savoir sur les suites arithmétiques Cours de math en vidéo
  • Suite arithmétique
    Une suite est arithmétique
    $\Updownarrow$
    lorsqu'on passe d'un terme au suivant en rajoutant toujours le même nombre.
    Ce nombre est appelé la raison de la suite,
    et on le note souvent $\boldsymbol r$.



  • $\boldsymbol{u_{n+1}=}$
    Dire qu'une suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$
    $\Updownarrow$
    On passe d'un terme au suivant en rajoutant toujours le même nombre $r$.
    $\Updownarrow$
    Pour tout entier naturel $n$, $\boldsymbol{u_{n+1}=u_n+r}$.
    Ecrire que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+r$
    signifie
    qu'on passe d'un terme au suivant en rajoutant toujours le même nombre $r$.


  • $\boldsymbol{u_{n}=}$
    Dire qu'une suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$
    $\Updownarrow$
    On passe d'un terme au suivant en rajoutant toujours le même nombre $r$.
    $\Updownarrow$
    Pour tout entier naturel $n$, $\boldsymbol{u_{n+1}=u_n+r}$.
    $\Updownarrow$
    Pour tout entier naturel $n$, $\boldsymbol{u_{n}=u_0+n\times r}$.
    Comme on rajoute toujours $r$ pour passer d'un terme au suivant,
    pour passer de $u_0$ à $u_n$, on rajoute $n$ fois $r$.
    Donc $u_n=u_0+n\times r$.
    Il ne faut pas apprendre cette formule,
    mais savoir la retrouver à l'aide du schéma!


  • $\boldsymbol{u_{n}=u_1+}$
    Dire qu'une suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$
    $\Updownarrow$
    On passe d'un terme au suivant en rajoutant toujours le même nombre $r$.
    $\Updownarrow$
    Pour tout entier naturel $n$, $\boldsymbol{u_{n}=u_1+(n-1)\times r}$.
    Comme on rajoute toujours $r$ pour passer d'un terme au suivant,
    pour passer de $u_1$ à $u_n$, on rajoute $n-1$ fois $r$.
    Donc $u_n=u_1+(n-1)\times r$.
    Il ne faut pas apprendre cette formule,
    mais savoir la retrouver à l'aide du schéma!


  • $\boldsymbol{u_{n}=u_2+}$
    Dire qu'une suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$
    $\Updownarrow$
    On passe d'un terme au suivant en rajoutant toujours le même nombre $r$.
    $\Updownarrow$
    Pour tout entier naturel $n$, $\boldsymbol{u_{n}=u_2+(n-2)\times r}$.
    Comme on rajoute toujours $r$ pour passer d'un terme au suivant,
    pour passer de $u_2$ à $u_n$, on rajoute $n-2$ fois $r$.
    Donc $u_n=u_2+(n-2)\times r$.
    Il ne faut pas apprendre cette formule,
    mais savoir la retrouver à l'aide du schéma!


  • Montrer qu'une suite est arithmétique
    Technique 1: On remarque que $u_n=an+b$
    On peut directement conclure que la suite
    est arithmétique de raison $a$.
    La raison est le nombre qui multiplie $n$.

    Technique 2: On calcule $u_{n+1}-u_n$
    On vérifie que pour tout entier naturel $n$,
    $u_{n+1}-u_n$ est égal à une constante.
    Dans ce cas, la suite est arithmétique.
    Et la raison est égale à cette constante.


  • Sens de variation
    Soit une suite arithmétique $(u_n)$ de raison $r$:
    • Si $r\gt 0$ alors $(u_n)$ est strictement croissante.
    • Si $r\lt 0$ alors $(u_n)$ est strictement décroissante.
    • Si $r=0$ alors $(u_n)$ est constante.

  • Graphiquement
    Lorsqu'on représente une suite arithmétique
    avec $n$ en abscisse et $u_n$ en ordonnée,
    les points sont alignés.
    La raison $\boldsymbol{r}$ est le coefficient directeur de la droite.
    $\boldsymbol{u_0}$ est l'ordonnée à l'origine.

           

  • Conseil
    Penser à calculer les premiers termes. Cela permet:
    Si la suite est arithmétique d'avoir une idée de la raison.
    Si la suite n'est pas arithmétique, de le prouver
    Si par exemple:
    $u_0=2$, $u_1=5$ et $u_2=9$
    Cette suite n'est pas arithmétique
    car pour passer de $u_0$ à $u_1$ on rajoute 3
    alors que pour passer de $u_1$ à $u_2$ on rajoute 4.
    On ne rajoute donc pas toujours le même nombre,
    donc la suite n'est pas arithmétique.





Limite d'une suite arithmétique

Limite d'une suite arithmétique expliqué en vidéo Cours de math en vidéo
  • Si $\boldsymbol{r\gt 0}$
    Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $\boldsymbol{r\gt 0}$
    alors
    \[\boldsymbol{\lim_{\substack{n \to +\infty}} u_n=+\infty}\]

    On retrouve ce résultat graphiquement:

    Graphique d'une suite arithmétique de raison $\boldsymbol{r\gt 0}$

    On retrouve que
    lorsque $n$ tend vers $+\infty$
    $u_n$ tend vers $+\infty$.

  • Si $\boldsymbol{r\lt 0}$
    Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $\boldsymbol{r\lt 0}$
    alors
    \[\boldsymbol{\lim_{\substack{n \to +\infty}} u_n=-\infty}\]

    On retrouve ce résultat graphiquement:

    Graphique d'une suite arithmétique de raison $\boldsymbol{r\lt 0}$

    On retrouve que
    lorsque $n$ tend vers $+\infty$
    $u_n$ tend vers $-\infty$.




Exercices 1:

Reconnaitre une suite arithmétique


Préciser si les suites suivantes, définies sur $\mathbb{N}$, sont arithmétiques.
Dans ce cas, indiquer alors la raison et le premier terme.
a) $a_n=3n-2$ b) $b_n=\frac{2n+3}4$ c) $c_n=(n+1)^2-n^2$ d) $d_n=n^2+n$
Exercices 2:

Reconnaitre une suite arithmétique


Préciser si les suites suivantes, définies sur $\mathbb{N}$, sont arithmétiques.
Dans l'affirmative, indiquer alors la raison et le premier terme.
a) $\left\{ \begin{array}{l} u_0 = 4 \\ u_{n+1}=-0.9+ u_n \end{array} \right.$ b) $\left\{ \begin{array}{l} v_0 = 4 \\ v_{n+1}=3+ \frac{1}{2}v_n \end{array} \right.$ c) $w_n=\frac{3}{n+2}$ d) $t_n=\frac{n^2-1}{n+1}$
e) La suite des multiples de 4
Exercices 3:

Suite arithmétique : trouver la raison et calculer des termes


1) La suite $(u_n)$ est arithmétique. $u_0=-2$ et $r=5$. Déterminer $u_{15}$.
2) La suite $(v_n)$ est arithmétique. $v_{6}=4$ et $r=-3$. Déterminer $v_{15}$.
3) La suite $(w_n)$ est arithmétique. $w_4=2$ et $w_{10}=14$. Déterminer la raison $r$ et $w_{0}$.
4) La suite $(t_n)$ est arithmétique. $t_2+t_3+t_4=12$. Déterminer $t_3$.
Exercices 4:

Suite définie à l'aide d'un tableur


On a obtenu avec un tableur les termes consécutifs d'une suite $(u_n)$.

1) Que peut-on conjecturer concernant cette suite?
2) Quelle est la valeur de la cellule A1 et A100?
Exercices 5:

Dénombrer à l'aide d'une suite arithmétique


On considère l'intervalle I=[17;154].
1) Combien I contient-il de nombres entiers?
2) Combien I contient-il de nombres pairs?
3) Combien I contient-il de multiples de 4?
Exercices 6:

Suite définie à l'aide d'un algorithme


La suite $u$ est définie par l'algorithme suivant:

1) Si $n=3$, quelle valeur sera affichée?
2) La suite $u$ est-elle arithmétique? Dans l'affirmative, quelle est son premier terme et sa raison?
Exercices 7:

Utiliser une suite auxiliaire arithmétique pour étudier une suite plus compliquée


On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et pour tout entier naturel $n$, $\displaystyle{u_{n+1}=\frac{u_n}{1+3u_n}}$.
     1) La suite $(u_n)$ est-elle arithmétique? Justifier.
     2) La suite $(u_n)$ est-elle géométrique? Justifier.
     3) Que faut-il faire pour calculer $u_{10}$?
Pour tout $n$, on pose $\displaystyle{v_n=\frac{1}{u_n}}$
     4) Calculer $v_0$, $v_1$, $v_2$, $v_3$. Quelle conjecture peut-on faire concernant $(v_n)$.
     5) Démontrer cette conjecture.
     6) Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
     7) Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
     8) Peut-on déterminer $u_{10}$ simplement. Comparer avec le 3).
Exercices 8:

Associer à une suite le graphique qui lui correspond


On a représenté trois suites $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$.

Préciser si ces suites sont arithmétiques. Justifier.
Dans l'affirmative, indiquer la raison et le 1\ier{} terme ainsi que le terme d'indice 50.
Exercices 9:

Utiliser une suite auxiliaire arithmétique pour étudier une autre suite


On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0$=2 et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\sqrt{3+{u_n}^2}$.
On admet que la suite $(u_n)$ a tous ses termes positifs.
1) Démontrer que la suite $(u_n)$ n'est ni arithmétique, ni géométrique.
2) Pour tout entier naturel $n$, on pose: $v_n=u_n^2$.
     Démontrer que $(v_n)$ est arithmétique. Préciser le premier terme et la raison.
3) Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
4) En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
Corrigé en vidéo
Exercices 10:

Utiliser une suite auxiliaire arithmétique pour étudier une autre suite


On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{1+2u_n}$.
  1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
  2. On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_n\neq 0$ et on définit la suite $(v_n)$ pour tout entier naturel $n$ par $v_n = \dfrac{1}{u_n}$.
    a) Calculer $v_0$, $v_1$ et $v_2$.
    b) Démontrer que la suite $(v_n)$ est arithmétique.
    c) En déduire l'expression de $v_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$ puis celle de $u_n$.
Exercices 11:

Utiliser une suite auxiliaire arithmétique pour étudier une autre suite


On considère la suite $(u_n)_{n \in\mathbb{N}}$ définie par $u_{n+1} = u_n + 2n - 1 $ et $u_0 = 3$.
  1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
  2. On pose pour tout entier naturel $n$, $v_n = u_n - n^2$.
    a) Calculer $v_0$, $v_1$, $v_2$ et $v_3$.
    b) Montrer que la suite $(v_n)_{n \in\mathbb{N}}$ est arithmétique.
    c) Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.
Exercices 12:

Somme et produit de $u_0$ et de $u_1$ d'une suite arithmétique


La suite $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison négative.
On sait que la somme des deux premiers termes vaut $\dfrac{5}{6}$.
Le produit des deux premiers termes vaut $\dfrac{1}{16}$.
Déterminer pour tout entier naturel $n$, $u_n$ en fonction de $n$.
Exercices 13:

Somme et produit de $u_0$, $u_1$ et $u_2$ d'une suite arithmétique


La suite $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison négative. On sait que la somme des trois premiers termes vaut $81$ et que leur produit vaut 18 360.
1) On note $r$ la raison de cette suite. Exprimer $u_0$ et $u_2$ en fonction de $u_1$ et $r$.
2) Montrer que l'on a : $\begin{cases} 3u_1 & = 81\\ u_1^3 - r^2u_1 &= 18360 \end{cases}$
3) En déduire la valeur de $u_1$ et de $r$.
4) Calculer $u_{40}$.
Exercices 14:

Retrouver $u_0$ et $r$ sans indication


La suite $(u_n)$ est une suite arithmétique telle que $u_4 = 1$ et $ \dfrac{1}{u_1u_2} + \dfrac{1}{u_2u_3} = 2$.
Déterminer $u_0$ et la raison $r$.
Exercices 15:

Somme des entiers impairs


Soit $n$ un entier naturel non nul.
Démontrer que la somme des $n$ premiers entiers naturels impairs est un carré parfait.
Exercices 16:

Poignées de mains


  1. Dans une réunion, $25$ personnes sont présentes et elles se sont toutes serré la main pour se saluer. Combien de poignées de mains ont été échangées ?
  2. Dans une autre réunion, $496$ poignées de mains ont été échangées. Sachant que tout le monde s'est salué, combien de personnes étaient présentes à cette réunion ?

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Qui sommes-nous? Nicolas Halpern-Herla
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES et STI depuis 22 ans
Créateur de jeux de stratégie: Agora et Chifoumi

Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES depuis 13 ans
Champion de France de magie en 2001: Magie