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Définition d'une suite


Suite - formule explicite et par récurrence

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Cours en vidéo: Comprendre la notion de suite - formule explicite et par récurrence Cours de math en vidéo
  • Une suite est
    Imaginer une suite de cartes.
    Chaque carte est numérotée en bas à gauche.
    Et au centre de chaque carte, on marque une valeur en rouge.

    On appelle $\boldsymbol u$ l'ensemble des cartes.
    La valeur de la carte numéro $0$ est appelée $u_0$.
    La valeur de la carte numéro $1$ est appelée $u_1$.
    La valeur de la carte numéro $2$ est appelée $u_2$.
    ....
    La valeur de la carte numéro $\boldsymbol n$ est appelée $\boldsymbol{u_n}$.
    $\boldsymbol{u_n}$ est appelé le terme d'indice $\boldsymbol n$.
    ou encore le terme de rang $n$.
    $u_n$ est un
    $\boldsymbol{u_n}$ est réel.
    Car $u_n$ représente la valeur de la carte.
    La valeur peut être positive, négative, nulle,
    une fraction, une racine,...

    alors que $n$
    $\boldsymbol n$ est entier positif.
    Car $n$ est le numéro de la carte.

    Ici on a: $u_0=5$, $u_1=-1,3$, $u_2=\pi$


    La suite est l'ensemble des cartes et se note $\boldsymbol u$ ou $\boldsymbol{ (u_n)}$.
    Ne pas confondre $(u_n)$ et $u_n$
    $\boldsymbol{ (u_n)}$ désigne toute la suite (Toutes les cartes).
    $\boldsymbol{u_n}$ désigne seulement la carte numéro $n$.


    Mathématiquement
    Une suite est une fonction de $ \mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$.
    Tout entier naturel $\boldsymbol n$ a pour image un réel noté $\boldsymbol{u_n}$.
    Autrement dit à chaque carte numéro $n$, on associe une valeur $u_n$.

  • Formule explicite
    Une suite est définie de manière explicite
    lorsqu'elle est de la forme $\boldsymbol{u_n=f(n)}$.
    Autrement dit,
    $\boldsymbol{u_n}$ ne dépend que de $\boldsymbol n$.
    On peut donc calculer les termes directement
    sans connaitre les précédents.


    Exemple:
    $u_n=5n+(-1)^n$
    Si on veut $u_{100}=5\times 100+(-1)^{100}=500+1=501$
    On peut calculer $u_{100}$
    sans calculer les précédents.

  • Formule de récurrence
    Une suite est définie par récurrence
    lorsqu'un terme dépend du ou des précédent(s).
    On peut donc pas calculer les termes directement.
    sans connaitre les précédents.


    Exemple: $ \left \{ \begin{array}{l } u_0=5 & \\ u_{n+1}=2u_n+3 \\ \end{array} \right. $
    Si on veut $u_{3}$,
    on commence par calculer $u_1$ et $u_2$.
    $u_1=2\times u_0+3=2\times 5+3=13$
    $u_2=2\times u_1+3=2\times 13+3=29$
    $u_3=2\times u_2+3=2\times 29+3=61$




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Exercices 1:

Mode de génération d'une suite


Pour chacune des suites définies ci-dessous, calculer à la main le terme demandé puis vérifier à la calculatrice.
1) Pour tout entier naturel $n$, $u_n = \dfrac{(-2)^n}{n+1}$. Calculer $u_5$.
2) Pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=v_n (v_n - 1) -2$ et $v_0 = 2$. Calculer $v_3$.
3) Pour tout entier naturel $n$, $w_{n+1}= (n+1)w_n$ et $w_0 = 1$. Calculer $w_4$.
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Exercices 2:

Suite définie par récurrence - $u_n=an^2+bn+c$


On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1} = u_n + 4n - 6$ avec $u_0 = 1$.
  1. Calculer à la main $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
  2. Vérifier vos résultats à la calculatrice puis afficher sur l'écran de votre calculatrice le nuage de points associé aux sept premiers termes de la suite. A quel type de fonction ce nuage de points fait-il penser?
  3. On admet maintenant qu'il existe trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que pour tout entier naturel $n$, on ait $u_n = an^2 + bn +c$. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$.
  4. Vous assurer alors que la suite $(an^2 + bn +c)$ obtenue vérifie la relation de récurrence qui définit la suite $(u_n)$.
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Exercices 3:

Définir une suite par récurrence et par une formule explicite


Pour chacune des suites proposées ci-dessous, donner une formule explicite pour $u_n$ en fonction de $n$ et une expression de $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
1) $(u_n)$ est la suite des entiers pairs : $u_0 = 0, \, u_1 = 2, \, u_2 = 4, \, u_3 = 6, \, \ldots$
2) $(v_n)$ est la suite des entiers impairs : $v_0 = 1, \, v_1 = 3, \, v_2 = 5, \, v_3 = 7, \, \ldots$
3) $(w_n)$ est la suite des carrés parfaits : $w_0 = 0, \, w_1 = 1, \, w_2 = 4, \, w_3 = 9, \, w_4 = 16, \, \ldots$
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Exercices 4:

Suite périodique


On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1} = 3-u_n$ et $u_0 = -1$.
1) Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
2) Soit $n$ un entier naturel, conjecturer les valeurs de $u_{2n}$ et de $u_{2n+1}$.
3) Démontrer maintenant que, quelle que soit la valeur de $u_0$, on a pour tout entier naturel $n$, $u_{n+2} = u_n$.
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Exercices 5:

Suite et pourcentage - Traduire une situation


Traduire chacune des situations suivantes à l'aide d'une suite $(u_n)$:
Pour cela, déterminer le terme initial et une relation de récurrence entre $u_{n+1}$ et $u_n$.
1) Tous les ans, un arbre pousse de 30 cm.
2) Un livre coûte cette année 12€. Son prix augmente de 7% par an tous les ans.
3) Un livre coûte cette année 12€. Son prix baisse de 7% par an tous les ans.
4) Chaque année, une ville de 100 000 mille habitants a sa population qui augmente.
   de 4 % par accroissement naturel et perd 3000 habitants qui déménagent.
5) Myriam place à la banque 350€ à intérêts composés de 4% par an.
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Exercices 6:

Suite définie par une formule explicite et par récurrence


On considère la suite définie pour tout entier naturel $n$, par $u_0=1$ et $u_{n+1}=2u_n-n+1$.
1) Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
2) Déterminer une relation pour $n\ge 1$ entre $u_n$ et $u_{n-1}$.
3) On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=2^n+n$.
     a) Calculer $v_0$, $v_1$, $v_2$ et $v_3$.
     b) Quelle conjecture peut-on faire? Démontrer cette conjecture.
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Exercices 7:

Suite de Syracuse - Algorithmique


On considère la suite $u$ définie par son premier terme $u_0$, entier strictement positif et
pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\left \{ \begin{array}{c l} \frac {u_n}2 & \textbf{si $u_n$ est pair} \\ 3u_n+1 & \textbf{si $u_n$ est impair} \\ \end{array} \right.$.
1) Calculer les neuf premiers termes de la suite lorsque $u_0=10$. Qu'observe-t-on?
2) Qu'observe-t-on lorsque $u_0=13$?
3) Quelle conjecture peut-on faire?
4) Écrire un algorithme pour tester cette conjecture.
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Exercices 8:

Suites imbriquées - Algorithmique


On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par:
$u_0=1$ et $v_0=0$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=3u_n+4v_n$ et $v_{n+1}=2u_n+3v_n$.
On cherche $u_n$ et $v_n$ qui soient tous les deux supérieurs à 1000.
Écrire un algorithme qui affiche le premier couple $(u_n;v_n)$ qui vérifie cette condition, en
utilisant une boucle Tant Que.
Exercices 9:

Suite périodique


Soit la suite $(u_n)$ définie par son premier terme $u_0\ne 1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\frac{u_n + 1}{u_n -1}$.
On admet que tous les termes de la suite sont différents de 1.
1) Calculer les quatre premiers termes de la suite lorsque $u_0=0$. Qu'observe-t-on?
2) Même question lorsque $u_0=2$.
3) Quelle conjecture peut-on faire?
4) Démontrer cette conjecture.
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Exercices 10:

Calculer les termes d'une suite à l'aide d'un tableur


  1. Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=2u_n+5$.
    A l'aide d'un tableur, on obtient les valeurs des premiers termes de la suite $(u_n)$.
  2. Quelle formule, étirée vers le bas, peut-on écrire dans la cellule $\rm A3$ pour obtenir les
    termes successifs de la suite $(u_n)$?
  3. Soit la suite $(v_n)$ définie par $v_0=3$ et pour tout entier naturel $n$ par $v_{n+1}=2n v_n+5$.
    A l'aide d'un tableur, déterminer les premiers termes de la suite $(v_n)$.
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Exercices 11:

Suite et algorithmique - Piège très Classique


On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\left(\frac {n+1}{2n+4}\right)u_n$.
On admet que la limite de la suite $(u_n)$ vaut 0.
Compléter l’algorithme ci-dessous, afin qu’il affiche la plus petite valeur de $n$ pour laquelle $u_n \leqslant 10^{-5}$.
$n ~\leftarrow ~0^{\scriptsize \strut}$
$U \,\leftarrow ~1$
Tant que $\dots$
     $n ~\leftarrow ~\dots_{\scriptsize \strut}$
     $U \,\leftarrow ~\dots_{\scriptsize \strut}$
Fin Tant que
Afficher $n_{\scriptsize \strut}$

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Stephane Chenevière
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