On a factorisé en 3 blocs qui
sont soit des fonctions affines soit des polynômes du second
degré.
Pour trouver le signe de $-x^2+2x+3$
On calcule le discriminant $\Delta=4-4\times (-1)\times 3=16\gt 0$
Donc il y a 2 racines:
$ x_1=\dfrac{-2-\sqrt{16}}{-2}=3$ et $
x_2=\dfrac{-2+\sqrt{16}}{-2}=-1$
0 et 2 annulent le dénominateur,
et sont donc des valeurs interdites. D'où les 2 double-barres.
Cours
Résoudre une inéquation à l'aide d'un tableau de signe
, expliqué en vidéo
• Essayer d'isoler l'inconnue $x$
Méthode Pour isoler l'inconnue, on peut:
Additionner ou soustraire la même
quantité des
2 côtés
Multiplier ou diviser par la même
quantité des
2 côtés
Pour cela, il faut
connaitre le signe de cette
quantité:
Si cette quantité est positive, on ne
change
pas le sens de l'inégalité
Si cette quantité est négative, on doit
changer le sens de
l'inégalité.
Dans tous les cas, il faut s'assurer
que cette quantité ne s'annule pas!
Exemple Résoudre $-3x\leqslant
8-x$
$-3x\leqslant 8-x$
On
additionne
$x$ des 2 côtés
$\Leftrightarrow$
$-3x+x\leqslant 8-x+x$
$\Leftrightarrow$
$-2x\leqslant 8$
On
divise par
$-2$ des 2 côtés
Et comme on divise
par un
nombre
négatif,
il faut changer le
sens de
l'inégalité.
Si on résout $\boldsymbol{...\leqslant 0}$
Regarder dans le tableau de signe
sur la dernière ligne, là où il y a des
$\boldsymbol{-}$.
Si on résout $\boldsymbol{...\geqslant 0}$
Regarder dans le tableau de signe
sur la dernière ligne, là où il y a des
$\boldsymbol{+}$.
Exemple Résoudre $ {\dfrac 3x\leqslant x+2}$
$ {\dfrac 3x\leqslant x+2}$
On va tout regrouper dans le membre de gauche,
de façon à avoir 0 à droite.
$\Leftrightarrow$
$ {\dfrac 3x -(x+2)\leqslant 0}$
On va mettre au même dénominateur.
$\Leftrightarrow$
$ {\dfrac {3 -x(x+2)}x\leqslant 0}$
On va arranger le numérateur en développant.
$\Leftrightarrow$
$ {\dfrac {-x^2-2x+3}x\leqslant 0}$
Ensuite on dresse le tableau de signe
Pour trouver le signe de $-x^2-2x+3$,
On calcule le discriminant $\Delta=(-2)^2-4\times (-1)\times 3=16\gt
0$
Donc il y a 2 racines:
$ x_1=\dfrac{2-\sqrt{16}}{-2}=1$ et $x_2=\dfrac{2+\sqrt{16}}{-2}=-3$
0 annule le
dénominateur,
et donc 0 est une valeur interdite
D'où la double-barre.
• Faire un tableau de variations
Méthode Quand on n'arrive pas à appliquer la
méthode avec le tableau de signe
car on n'arrive pas à factoriser
on utilise un tableau de
variations:
On écrit l'inéquation sous la forme $...-....\geqslant 0$
On regroupe tout dans le membre de
gauche
de façon à avoir 0 à droite
On pose $f(x)=...-....$
On étudie les variations de $f$
Pour cela, on utilise très souvent la dérivation.
On conclut en cherchant le maximum et le minimum
Si le maximum est négatif
alors
$f$ est
négative.
Si le minimum est positif
alors
$f$ est
positive.
Exemple Montrer que pour tout $x\gt 0$,
$ x+\dfrac 1x\geqslant 2$
• Si les coefficients sont compliqués
Méthode Penser à
multiplier à gauche et à
droite par un même nombre
de façon à avoir des coefficients plus
simples
Ne pas oublier que si on multiplie ou
divise par un nombre
négatif,
il faut changer le sens de
l'inégalité!
Exemple $ -\dfrac 12x^2\geqslant \dfrac
14 x+1 $
Ici on peut tout multiplier par
4:
$-\dfrac 12x^2\geqslant \dfrac 14 x+1 $
$\Leftrightarrow -2x^2\geqslant x+4$
Du coup, on a des coefficients plus simples
pour
calculer $\Delta$
Résumé du cours
en vidéo
Exercice
1: Inéquation et tableau de signe d'un quotient - Polynôme du second degré •
Première spécialité mathématiques S - ES - STI
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation : $\dfrac {2-x}{-x^2+2x+3}\leqslant 0$
Exercice
2: Inéquation et tableau de signe - Polynôme du second degré •
Première spécialité mathématiques S - ES - STI
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\displaystyle 9x\geqslant x^3$
Exercice
3: Démontrer une inégalité - Tableau de signe - Parabole - Première
spécialité maths S - ES
- STI
Démontrer que pour tout $x$ strictement positif, $ x+\dfrac 1x\geqslant 2$.
Exercice
4: Résoudre une inéquation avec fraction - Tableau de signe -
Polynôme
du second degré - Première
spécialité mathématiques S -
ES - STI
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $ \dfrac {4x-20}{-x^2+x+2}\leqslant 2$
Exercice
5: inéquation du second degré - tableau de signe polynôme du second
degré - Première
spécialité mathématiques S -
ES - STI
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $ \dfrac 2{x-1}\geqslant 2x-5$.
Exercice
6: inéquation du second degré avec fraction •
Première
spécialité mathématiques S -
ES - STI
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $ \dfrac 6{2x-1}\geqslant \dfrac x{x-1}$
Exercice
7: Inégalité - Polynôme du second degré • Première
spécialité mathématiques S -
ES - STI
On a tracé ci-dessous la courbe $\mathscr{C}$ représentative de la fonction $f$ définie par : $f(x)
= \dfrac{2x-1}{x^2-x+2}$.
Pourquoi $f$ est-elle définie sur $\mathbb{R}$?
Pourquoi la courbe $\mathscr{C}$ est-elle entièrement dans la bande du plan délimitée
par les
droites d'équations $y=1$ et $y=-1$ ?
Exercice
8: inéquation du troisième degré - signe d'un polynôme du second degré • Première
spécialité mathématiques S - ES - STI
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $ x^3+1\geqslant (x+1)^2$
Exercice
9: Inéquation avec racine carrée et polynôme du second degré •
Première spécialité mathématiques S - ES - STI
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation suivante $\sqrt{-x^2+3x+4}\leqslant \dfrac 12 x+2$
Exercice
10: domaine de définition d'une fonction et inéquation du second degré • Première spécialité mathématiques S - ES - STI
Déterminer le domaine de définition de la fonction $f: x\to \sqrt {-x^2+3x+4}$.
Ce site ne convient pas aux enfants de moins de 36 mois, sauf s'ils insistent vraiment.
Ne pas dépasser la dose prescrite.
Posologie: 1 fois/jour la semaine avant le contrôle.
L'efficacité du traitement dépend d'une prise régulière.
Effet secondaire: Peut procurer du plaisir surtout en cas de réussite !
En cas de persistance des difficultés, arrêter le traitement pendant une nuit, puis reprendre le
lendemain.
L'objectif est de
factoriser en blocs qui soient des
fonctions affines ou des polynômes du
second degré.
