signe de ax²+bc+c • inéquation du second degré

Conseils

signe de ax²+bx+c & Inéquation du second degré

Cours

signe de ax²+bx+c

, expliqué en vidéo

• Méthode 1

Méthode sans $\Delta$

On essaye de factoriser sans utiliser le discriminant $\Delta$
Pour factoriser, 2 techniques:
- Le facteur commun
- L'identité remarquable $\boldsymbol{a^2-b^2=(a-b)(a+b)}$
on dresse le tableau de signe.

Exemple Signe de $x- 4x^2$

$x-4x^2=x(1-4x)$

Pour faire ce tableau de signe

• Méthode 2

Méthode avec $\Delta$ Quand on ne peut pas factoriser $ax^2+bx+c$:

On calcule le discriminant $\Delta=b^2-4ac$
On cherche les racines:
Si $\Delta\gt 0$
Il y a deux racines: $\displaystyle x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $\displaystyle x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

Si $\Delta= 0$
Il y a une racine: $\displaystyle x_1=\frac{-b}{2a}$

Si $\Delta\lt 0$
Il n'y a pas de racine réelle.
On trace l'allure de la parabole
On n'oublie pas que:
• La courbe d'un polynôme du second degré $ax^2+bx+c$ est une parabole.
Si $\boldsymbol{a\gt 0}$ la parabole est tournée vers le haut.
Si $\boldsymbol{a\lt 0}$ la parabole est tournée vers le bas.
• Les racines correspondent aux points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses.
Exemple
$a=-0,25$ et $\Delta\gt 0$ avec deux racines $x_1=-4$ et $x_2=3$
$a\lt 0$ donc la parabole est tournée vers le bas. $x_1=-4$ et $x_2=3$, donc la parabole coupe l'axe des abscisses en $-4$ et $3$.
On conclut
- Là où la courbe est au dessus l'axe des abscisses correspond à ${ax^2+bx+c\boldsymbol{\gt 0}}$.
- Là où la courbe est en dessous l'axe des abscisses correspond à ${ax^2+bx+c\boldsymbol{\lt 0}}$.
Exemple
$a=-0,25$ et $\Delta\gt 0$ avec deux racines $x_1=-4$ et $x_2=3$

Résumé

tout le cours sur le second degré

, expliqué en vidéo

Exercice 1: signe d'un polynôme du second degré - Parabole - Première spécialité maths S - ES - STI

On a tracé la parabole $\mathscr{P}$ représentant la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-2x^2+x+1$.

Déterminer graphiquement le signe de $f(x)$.
Refaire la question 1) par le calcul.

Exercice 2: Signe d'un polynôme du second degré - Tableau de signe - Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Déterminer le signe des trinômes suivants selon les valeurs du réel $x$:

$\color{red}{\textbf{a. }} {\rm P}(x)=x^2+2x-3$ $\color{red}{\textbf{b. }} {\rm Q}(x)=2x^2-x+\dfrac 18$ $\color{red}{\textbf{c. }} {\rm R}(x)=-4x^2+4x-5$

Exercice 3: tableau de signe polynôme du second degré - Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Dresser le tableau de signes de chacun des trinômes suivants:

$\color{red}{\textbf{a. }} 3x^2-2x+1$ $\color{red}{\textbf{b. }} 2x^2+10x-12$ $\color{red}{\textbf{c. }} -\dfrac 14x^2+4x-16$

Exercice 4: tableau de signe d'un quotient / fraction polynôme du second degré - Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Dresser le tableau de signes de la fonction $f$ :
$f(x)=\dfrac{-x^2-3x+4}{x^2-x-6}$

Exercice 5: Lien entre tableau de signe et polynôme du second degré • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Dans chaque cas, déterminer, si possible, une fonction $f$ du second degré qui correspond au tableau de signe:

Exercice 6: Logique et signe d'un polynôme du second degré • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses en justifiant:

-3 est solution de $x^2-5x-6\le 0$
$x^2-4x+4$ peut être négatif.
Pour tout réel $x$, $4x^2-12x+9$ est positif.

Exercice 7: signe d'un polynôme du second degré - Parabole • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes:

$\color{red}{\textbf{a. }} -x^2+5x\lt 6$ $\color{red}{\textbf{b. }} 2x^2\geqslant 5x-3$ $\color{red}{\textbf{c. }} -x^2+4x\lt 4$

Exercice 8: Inéquation et tableau de signe d'un quotient - Polynôme du second degré • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation : $\dfrac {2-x}{-x^2+2x+3}\leqslant 0$

Exercice 9: Inéquation et tableau de signe - Polynôme du second degré • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\displaystyle 9x\geqslant x^3$

Exercice 10: Inéquation du second degré - Tableau de signe • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\displaystyle (x-2)^2\geqslant (2x-7)^2$.

Exercice 11: Position relative de 2 courbes - signe d'un polynôme du second degré - Parabole • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

On a tracé la parabole $\mathscr{P}$ représentant la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) =-x^2+3x+1$ et la droite $\mathscr{D}$ d'équation $y= x-1$.

Déterminer la position relative de $\mathscr{P}$ et $\mathscr{D}$.

Exercice 12: Position relative de 2 courbes - Parabole - inéquations du second degré • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Dans chaque cas, étudier les positions relatives des courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ définie sur $\mathbb{R}$.

$f(x)=2x^2-3x-2$ et $g(x)=x^2-2x+4$
$f(x)=-\dfrac 12x^2+3x-1$ et $g(x)=x+1$

Exercice 13: Inéquation du second degré avec paramètre - Delta de delta • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Déterminer le réel $m$ pour que le trinôme $-2x^2+4x+m$ soit toujours négatif.

Exercice 14: Inéquation du second degré avec paramètre - Delta de delta • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Déterminer le réel $m$ pour que le trinôme $2x^2+mx+2$ soit toujours positif.