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Inéquation du second degré

Signe $ax^2+bx+c$
avec $a\ne 0$
sinon ce n'est pas un polynôme du second degré!
    
  • Conseils pour ce chapitre:
    • Regarder les vidéos:
      - Savoir faire un tableau de signe
      - Résoudre une équation du second degré
      - Résoudre une inéquation graphiquement
  • Comment travailler efficacement Cours de math en vidéo
  • Conseils pour le jour du bac Cours de math en vidéo

Signe de $ax^2+bx+c$

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  • Méthode 1: 
    On essaye de factoriser, et on n'utilise pas le discriminant
    Pour factoriser, 2 techniques:
    - Le facteur commun
    - L'identité remarquable $\boldsymbol{a^2-b^2=(a-b)(a+b)}$

    Puis on dresse le tableau de signe.

    Signe de $x- 4x^2$
    $x-4x^2=x(1-4x)$
    On factorise


    Pour trouver le tableau de signe:
    1) On cherche le signe de chaque bloc séparément
    Ici, il faut trouver le signe de
    $x$ et $1-4x$
    qui sont des fonctions affines.

    2) On trouve le signe final en appliquant la règle des signes
    Pour trouver le tableau de signe $x(1-4x)$
    on applique la règle des signes par colonne.


  • Méthode 2: 
    Quand on ne peut pas factoriser,
    1) On calcule le discriminant $\Delta=b^2-4ac$
    2) On cherche les racines:
        Si $\Delta\gt 0$  
    Il y a deux racines:
    $\displaystyle x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $\displaystyle x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

        Si $\Delta= 0$  
    Il y a une racine:
    $\displaystyle x_1=\frac{-b}{2a}$

        Si $\Delta< 0$  
    Il n'y a pas de racine réelle.

    3) On trace l'allure de la parabole
    On n'oublie pas que:
    • La courbe d'un polynôme du second degré $ax^2+bx+c$ est une parabole.
        Si $\boldsymbol{a\gt 0}$ la parabole est tournée vers le haut.
        Si $\boldsymbol{a\lt 0}$ la parabole est tournée vers le bas.
    • Les racines correspondent aux points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses.
    Exemple:
    $a=-0,25$ et $\Delta\gt 0$ avec deux racines $x_1=-4$ et $x_2=3$
    $a\lt 0$ donc la parabole est tournée vers le bas.
    $x_1=-4$ et $x_2=3$, donc la parabole coupe l'axe des abscisses en $-4$ et $3$.


    4) On conclut
    • Là où la courbe est au dessus l'axe des abscisses correspond à ${ax^2+bx+c\boldsymbol{\gt 0}}$.
    • Là où la courbe est en dessous l'axe des abscisses correspond à ${ax^2+bx+c\boldsymbol{\lt 0}}$.


    Exemple:
    $a=-0,25$ et $\Delta\gt 0$ avec deux racines $x_1=-4$ et $x_2=3$


Signe d'une expression quelconque - Tableau de signe

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  • Méthode 
    1) Mettre au même dénominateur
    S'il y a des fractions.

    2) Factoriser au maximum
    Pour factoriser, 2 techniques:
    - Le facteur commun
    - L'identité remarquable $\boldsymbol{a^2-b^2=(a-b)(a+b)}$
    L'objectif est de factoriser en blocs qui soient
    des fonctions affines ou des polynômes du second degré.


    3) Dresser le tableau de signe
    Pour cela:
    1) On étudie le signe de chaque bloc séparément
    2) On trouve le signe final
    En appliquant la règle des signes dans chaque colonne.
  • Exemple: Signe de $\displaystyle \boldsymbol{\frac 3{x^2-2x}-1}$  
    $\displaystyle \frac 3{x^2-2x}-1$ = $\displaystyle \frac {3-(x^2-2x)}{x^2-2x}=\frac{-x^2+2x+3}{x^2-2x}$
    On a mis au même dénominateur
    = $\displaystyle \frac{-x^2+2x+3}{x(x-2)}$
    On a factorisé en 3 blocs qui sont
    soit des fonctions affines soit des polynômes du second degré.

    Ensuite on dresse le tableau de signe:

    Pour trouver le signe de $-x^2+2x+3$
    On calcule le discriminant $\Delta=4-4\times (-1)\times 3=16\gt 0$
    Donc il y a 2 racines:
    $\displaystyle x_1=\frac{-2-\sqrt{16}}{-2}=3$ et $\displaystyle x_2=\frac{-2+\sqrt{16}}{-2}=-1$

    Attention
    0 et 2 annulent le dénominateur,
    et sont donc des valeurs interdites
    D'où les 2 double-barres.





Inéquation - Cas général

♦ Résoudre une inéquation dans le cas général: cours en vidéo Cours de math en vidéo
  • Essayer d'isoler $x$ 
    Pour cela, on peut:
    Additionner ou soustraire la même quantité des 2 côtés
    Multiplier ou diviser par la même quantité des 2 côtés
    Pour cela, il faut connaitre le signe de cette quantité:
    • Si cette quantité est positive, on ne change pas le sens de l'inégalité
    • Si cette quantité est négative, on doit changer le sens de l'inégalité.
    Dans tous les cas, il faut s'assurer
    que cette quantité est différente de zéro.



    Exemple
    Résoudre   $-3x\leqslant 8-x$
    $-3x\leqslant 8-x$
    On additionne $x$ des 2 côtés
    $\Leftrightarrow$$-3x+x\leqslant 8-x+x$
    $\Leftrightarrow$$-2x\leqslant 8$
    On divise par $-2$ des 2 côtés
    Et comme on divise par un nombre négatif,
    il faut changer le sens de l'inégalité.
    $\Leftrightarrow$$\displaystyle \frac{-2x}{-2}\geqslant \frac 8{-2}$
    $\Leftrightarrow$$x\geqslant -4$
    Les solutions sont donc
    les nombres supérieurs ou égaux à $-4$.

    On en déduit que l'ensemble des solutions est $[-4;+\infty[$.
  • Sinon utiliser un tableau de signe
    Si tu n'arrives pas isoler $x$
    Pour résoudre $\boldsymbol{...\leqslant ....}$
    Quand on n'arrive pas à résoudre
    une inéquation en isolant l'inconnue,
    on pense à utiliser un tableau de signe.
    1) Ecrire l'inéquation sous la forme $\boldsymbol{...-....\leqslant 0}$
    De façon à avoir
    0 dans le membre de droite.

    2) Mettre au même dénominateur
    S'il y a des fractions

    3) Factoriser au maximum
    Pour factoriser, penser:
    - au facteur commun
    - à l'identité remarquable $\boldsymbol{a^2-b^2=(a-b)(a+b)}$

    3) Dresser le tableau de signe
    On étudie le signe de chaque bloc séparément.
    Puis on applique la règle des signes par colonne.

    4) Conclure
    Si on résout $\boldsymbol{...\leqslant 0}$
    Regarder dans le tableau de signe
    sur la dernière ligne, là où il y a des $\boldsymbol{-}$.

    Si on résout $\boldsymbol{...\geqslant 0}$
    Regarder dans le tableau de signe
    sur la dernière ligne, là où il y a des $\boldsymbol{+}$.
  • Exemple: Résoudre $\displaystyle \boldsymbol{\frac 3x\leqslant x+2}$  
    $\displaystyle \boldsymbol{\frac 3x\leqslant x+2}$
    On va tout regrouper dans le membre de gauche,
    de façon à avoir 0 à droite.
    $\Leftrightarrow$$\displaystyle \boldsymbol{\frac 3x -(x+2)\leqslant 0}$
    On va mettre au même dénominateur
    $\Leftrightarrow$$\displaystyle \boldsymbol{\frac {3 -x(x+2)}x\leqslant 0}$
    On va arranger le numérateur en développant.
    $\Leftrightarrow$$\displaystyle \boldsymbol{\frac {-x^2-2x+3}x\leqslant 0}$

    Ensuite on dresse le tableau de signe:

    Pour trouver le signe de $-x^2-2x+3$
    On calcule le discriminant $\Delta=(-2)^2-4\times (-1)\times 3=16\gt 0$
    Donc il y a 2 racines:
    $\displaystyle x_1=\frac{2-\sqrt{16}}{-2}=1$ et $\displaystyle x_2=\frac{2+\sqrt{16}}{-2}=-3$

    Attention
    0 annule le dénominateur,
    et donc 0 est une valeur interdite
    D'où la double-barre.

  • Si les coefficients sont compliqués 
    Penser à multiplier à gauche et à droite par un même nombre
    de façon à avoir des coefficients plus simples
    Ne pas oublier que si on multiplie ou divise par un nombre négatif,
    il faut changer le sens de l'inégalité!


    Exemple:
    $\displaystyle -\frac 12x^2\geqslant \frac 14 x+1 $
    Ici on peut tout multiplier par 4:
    $-\frac 12x^2\geqslant \frac 14 x+1 $
    $\Updownarrow$
    $-2x^2\geqslant x+4$

    Du coup, on a des coefficients plus simples
    pour calculer $\Delta$
  • Autre méthode 
    Pour résoudre $\boldsymbol{... \geqslant ...}$
    Quand on n'arrive pas à appliquer la méthode avec le tableau de signe
    souvent car on n'arrive pas à factoriser.

    On utilise un tableau de variations:

    1) On écrit l'inéquation sous la forme $...-....\geqslant 0$
    On regroupe tout dans le membre de gauche
    de façon à avoir 0 à droite.

    2) On pose $f(x)=...-....$
    Evidement on peut utiliser un autre nom que $f(x)$!

    3) On étudie les variations de $f$
    Pour cela, on utilise très souvent la dérivation

    4) On conclut
    On cherche le maximum et le minimum.
    Et dans les 2 cas suivants, on peut conclure:
    Si le maximum est négatif alors $f$ est négative.
    Si le minimum est positif alors $f$ est positive.


    Exemple :
    Montrer que pour tout $x\gt 0$,   $\displaystyle x+\frac 1x\geqslant 2$
    On veut donc montrer que pour tout $x\gt 0$,   $\displaystyle x+\frac 1x-2\geqslant 0$.
    Pour tout $x\gt 0$, on pose $f(x)=\displaystyle x+\frac1x-2$.
    $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et on a pour tout $x\gt 0$, $\displaystyle f'(x)=1-\frac 1{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}$.
    Ensuite on dresse le tableau de variations de $f$:

    On conclut ensuite ainsi:
    Le minimum de $f$ sur $]0;+\infty[$ est 0,
    Donc pour tout $x\gt 0$,
    $f(x)\geqslant 0$
    Donc $\displaystyle x+\frac 1x-2\geqslant 0$
    Donc $\displaystyle x+\frac 1x\geqslant 2$
    C'est ce qu'il fallait démontrer!

    On aurait pu traiter cet exemple
    avec la méthode
    utilisant un tableau de signe.

    Voir l'exemple en vidéo Cours de math en vidéo



Exercices 1: Rappel: savoir faire un tableau de signe - Première S - ES - STI
Étudier le signe de chacune des expressions suivantes définies sur $\mathbb{R}$:
\[f(x)=-2(6-5x)(3x+4)\] \[g(t)=t(3-2t)\] \[i(x)=-x^2-1\] \[j(x)=-x^2+1\]
Exercices 2: signe d'un polynôme du second degré - Parabole - Première S - ES - STI
On a tracé la parabole $\mathscr{P}$ représentant la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-2x^2+x+1$.

1) Déterminer graphiquement le signe de $f(x)$.
2) Refaire la question 1) par le calcul.
Corrigé en vidéo! Exercices 3: Signe d'un polynôme du second degré - Tableau de signe - Première S - ES - STI
Déterminer le signe des trinômes suivants selon les valeurs du réel $x$:
${\rm P}(x)=-3x^2+6x-9$ $\displaystyle {\rm Q}(x)=2x^2-x+\frac 18$ ${\rm R}(x)=-4x^2+4x-5$
Corrigé en vidéo! Exercices 4: Résoudre une inéquation avec fraction - Tableau de signe - Polynôme du second degré - Première S - ES - STI
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\displaystyle \frac {4x-20}{-x^2+x+2}\leqslant 2$
Corrigé en vidéo! Exercices 5: Inéquation et tableau de signe - Polynôme du second degré - Première S - ES - STI
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\displaystyle 9x\geqslant x^3$

Corrigé en vidéo! Exercices 6: Inéquation du second degré - Tableau de signe - Première S - ES - STI
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\displaystyle (x-2)^2\geqslant (2x-7)^2$

Corrigé en vidéo! Exercices 7: Démontrer une inégalité - Tableau de signe - Polynôme du second degré - Première S - ES - STI
Démontrer que pour tout $x$ strictement positif, $\displaystyle x+\frac 1x\geqslant 2$.

Exercices 8: Lien entre tableau de signe et polynôme du second degré - Première S - ES - STI
Dans chaque cas, déterminer, si possible, une fonction $f$ du second degré qui correspond au tableau de signe:

Exercices 9: Logique et signe d'un polynôme du second degré - Première S - ES - STI
Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses en justifiant:
  1) -3 est solution de $x^2-5x-6\le 0$
  2) $x^2-4x+4$ peut être négatif.
  3) Pour tout $x$, $4x^2-12x+9$ est positif.
Exercices 10: Position relative de 2 courbes - signe d'un polynôme du second degré - Parabole - Première S - ES - STI
On a tracé la parabole $\mathscr{P}$ représentant la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2+2x-1$.
On a tracé également la droite $\mathscr{D}$ d'équation $\displaystyle y=\frac 12x+1$.

Déterminer la position relative de $\mathscr{P}$ et $\mathscr{D}$.
Corrigé en vidéo! Exercices 11: Position relative de 2 courbes - Parabole - inéquations du second degré - Première S - ES - STI
Dans chaque cas, étudier les positions relatives des courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ définie sur $\mathbb{R}$.
a) \[f(x)=2x^2-3x-2\] et \[g(x)=x^2-2x+4\]
a) \[f(x)=-\frac 12x^2+3x-1\] et \[g(x)=x+1\]
Corrigé en vidéo! Exercices 12: Tableau de signe d'un polynôme du second degré - Première S - ES - STI
Dresser le tableau de signe de chacun des trinômes suivants:
a) $3x^2-2x+1$ b) $2x^2+10x-12$ c) $-\frac 14x^2+4x-16$
Corrigé en vidéo! Exercices 13: inéquation du second degré - Première S - ES - STI
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\displaystyle \frac 2{x-1}\geqslant 2x-5$.

Exercices 14: inéquation du second degré avec fraction - Première S - ES - STI
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\displaystyle \frac 6{2x-1}\geqslant \frac x{x-1}$
Corrigé en vidéo! Exercices 15: Inégalité - Polynôme du second degré - Première S - ES - STI
On a tracé ci-dessous la courbe $\mathscr{C}$ représentative de la fonction $f$ définie par : $f(x) =\displaystyle \frac{2x-1}{x^2-x+2}$.

  1. Pourquoi $f$ est-elle définie sur $\mathbb{R}$?
  2. Pourquoi la courbe $\mathscr{C}$ est-elle entièrement dans la bande du plan délimitée par les droites d'équations $y=1$ et $y=-1$ ?
Corrigé en vidéo! Exercices 16: inéquation du troisième degré - Première S - ES - STI
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\displaystyle x^3+1\geqslant (x+1)^2$

Corrigé en vidéo! Exercices 17: Inéquation du second degré avec paramètre - Première S - ES - STI
Déterminer le réel $m$ pour que le trinôme $-2x^2+4x+m$ soit toujours négatif.

Exercices 18: Inéquation du second degré avec paramètre - Première S - ES - STI
Déterminer le réel $m$ pour que le trinôme $2x^2+mx+2$ soit toujours positif.


Inéquation du second degré : Exercices

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Qui sommes-nous? Nicolas Halpern-Herla
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES et STI depuis 23 ans
Créateur de jeux de stratégie: Agora et Chifoumi

Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES depuis 14 ans
Champion de France de magie en 2001: Magie