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Valeur absolue d'un nombre réel
Cours
Valeur absolue
expliquée en vidéo
Définition
La
valeur absolue
d'un réel $x$ est égale à la
distance
entre
zéro
et $x$
La
valeur absolue
correspond à la
distance
à
zéro
.
Notation
La
valeur absolue
de $x$ se note $|x|$.
Exemples
$|3|$
L'
écart
entre 0 et 3 est de 3. Donc $|3|=3$
$|-2|$
L'
écart
entre 0 et -2 est de 2. Donc $|-2|=2$
•
$|x|=$
Propriété
Si $x\geqslant 0$ alors $|x|=x$.
Si $x\leqslant 0$ alors $|x|=-x$
Si $x\leqslant 0$ alors $-x$ est positif. Et donc $|x|$ est
positive
!
la valeur absolue de $x$ est toujours positive, que $x$ soit positif ou négatif!
•
Courbe
$ \mbox{Car si} \left\{ \begin{array}{ll} x\geqslant 0 & \mbox{alors } |x|=x \\ x\leqslant 0 & \mbox{alors } |x|=-x \end{array} \right. $
•
$|-x|=$
Propriété
Pour tout $x$ réel, $|-x|=|x|$
Exemple
$|-5|$
$|-5|=|5|=5$
•
$|a-b|=$
Propriété
$|a-b|$ est égal à la distance entre $a$ et $b$
Pour interpréter, il faut absolument un
"$-$"
entre $a$ et $b$
$a$ et $b$ sont 2 réels quelconques.
Exemples
$|x-3|$
$|x-3|$ désigne l'écart entre $x$ et 3
et pas entre $x$ et -3 !
$|x+3|$
$|x+3|=|x-(-3)|$
Pour interpréter $|x+3|$, on commence par l'écrire à l'aide d'une soustraction $|... - ....|$
Puis ensuite on utilise la règle $|a-b|$ est égal à la distance entre $a$ et $b$.
Dans les exercices
Pour interpréter $|a+b|$
penser à faire apparaître une soustraction et à écrire $|a+b|=|a-(-b)|$ comme dans l'exemple ci-dessus.
• Lien entre
valeur absolue
et
racine carrée
Propriété
$\sqrt{x^2}=|x|$
$x$ désigne un réel quelconque.
Souvent les élèves pensent que $\sqrt{x^2}=x$
Cela n'est vrai que si $x\geqslant 0$
Si $x\leqslant 0$, $\sqrt {x^2}=-x$ !
Cours
Equation
et
inéquation
avec
valeur absolue
• $|x|=|y|$
Propriété
$|x|=|y|\Leftrightarrow x=y$ ou $x=-y$
Dire que $|x|=|y|$ signifie que $x$ et $y$ sont à la même distance de 0.
Donc soit $x$ et $y$ sont égaux, soit ils sont opposés. D'où cette règle!
$x$ et $y$ désignent des réels quelconques.
Exemple
Résoudre $|3-x|=|2x+5|$
$\begin{align} \phantom{\Leftrightarrow ~} & |3-x|=|2x+5| \\ \Leftrightarrow~ & 3-x=2x+5~ \mbox{ ou } ~3-x=-(2x+5) \\ \Leftrightarrow~ & -2=3x~ \mbox{ ou } ~x=-8\\ \Leftrightarrow~ & x=-\frac 23~ \mbox{ ou } ~x=-8\\ \end{align}$
On a utilisé la règle $|x|=|y|\Leftrightarrow x=y$ ou $x=-y$
• $|x-a|={\rm R}$
Propriété
$|x-a|={\rm R} \Leftrightarrow x-a={\rm R} \mbox{ ou } x-a=-{\rm R}$
$|x-a|={\rm R}$ signifie que $x$ est à une distance $\rm R$ de $a$
R étant un nombre
positif
• $|x-a|\leqslant {\rm R}$
Propriété
$|x-a|\leqslant {\rm R} \Leftrightarrow -{\rm R}\leqslant x-a\leqslant {\rm R}$
$|x-a|\leqslant {\rm R}$ signifie que $x$ est à une distance de $a$ inférieure ou égale à $\rm R$
R étant un nombre
positif
• $|x-a|\geqslant {\rm R}$
Propriété
$|x-a|\geqslant {\rm R} \Leftrightarrow x\leqslant a-{\rm R}$ ou $x\geqslant a+{\rm R}$
$|x-a|\geqslant {\rm R}$ signifie que $x$ est à une distance de $a$ supérieure ou égale à $\rm R$
R étant un nombre
positif
• $|x+y|=$
Souvent les élèves pensent que $\underbrace{|x+y|=|x|+|y|}_{\color{red}{\mbox{C'est faux!}}}$
En général, $|x+y|\ne |x|+|y|$
Exemple
$|7+(-3)|$
On n'a pas $\underbrace{|7+(-3)|}_{\displaystyle 4}=\underbrace{|7|+|-3|}_{\displaystyle 10}$
Car $|7+(-3)|=|7-3|=4$ et $|7|+|-3|=7+3=10$
En revanche, on a $|x+y|\leqslant |x|+|y|$
C'est ce que l'on appelle l'inégalité triangulaire
$x$ et $y$ désignent des réels quelconques.
Exercice 1: Calculer avec des valeurs absolues
Écrire les nombres suivants sans valeur absolue:
$\color{red}{\textbf{a. }} |-2|$
$\color{red}{\textbf{b. }} |\pi - 3|$
$\color{red}{\textbf{c. }} |\pi -4|$
$\color{red}{\textbf{d. }} |1-\sqrt 2|$
$\color{red}{\textbf{e. }} \displaystyle\left|\frac 2{\sqrt 3}-\sqrt 3\right|$
Exercice 2: Passer de valeur absolue à intervalle
Dans chaque cas, traduire la condition suivante à l'aide d'un intervalle :
$\color{red}{\textbf{a. }} |x-1|\leqslant 10^{-2}$
$\color{red}{\textbf{b. }} |x+2,5|\leqslant 2$
Exercice 3: Passer d'intervalle ou inégalité à valeur absolue
Dans chaque cas, traduire la condition suivante à l'aide d'une valeur absolue :
$\color{red}{\textbf{a. }} 2\leqslant x \leqslant 7$
$\color{red}{\textbf{b. }} x\in ]-4;10[$
Exercice 4: Résoudre des équations et inéquations avec valeur absolue
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes à l'aide d'un schéma:
$\color{red}{\textbf{a. }} |x-4|=3$
$\color{red}{\textbf{b. }} |x+5|\lt 2$
$\color{red}{\textbf{c. }} |1-x|\geqslant 2$
$\color{red}{\textbf{d. }} |x+6|=|x|$
Exercice 5: Résoudre des équations et inéquations avec valeur absolue
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes à l'aide d'un schéma:
$\color{red}{\textbf{a. }} |x+3|=-1$
$\color{red}{\textbf{b. }} |x|\gt 2$
$\color{red}{\textbf{c. }} |x+2|=|1-x|$
$\color{red}{\textbf{d. }} |x-3|\leqslant |x-1|$
Exercice 6: valeur absolue - exercice de révisions
Écrire sans valeur absolue $\left|\dfrac 2{\sqrt 3}-\sqrt 3\right|$.
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $|x+1|\leqslant 10^{-2}$.
Traduire à l'aide d'une valeur absolue la condition $y\in [2,4;2,6]$.
Exercice 7: Interpréter une inégalité à l'aide de la valeur absolue - Maths Seconde
Représenter l'ensemble des points M($x;y$) tels que $ \left\{ \begin{array}{rl} |x-2| & \leqslant 1 \\ |y+2| & \leqslant 3 \end{array} \right.$
Exercice 8: Vrai faux valeur absolue - Mathématiques - Seconde Maths
Pour chaque affirmation suivante, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier:
Pour tous réels $x$ et $y$, $|x+y|=|x|+|y|$
Si $|x|=|y|$ alors $x=y$
Si $|x|\leqslant |y|$ alors $x\leqslant y$
Si $x\leqslant y$ alors $|x|\leqslant |y|$
Ce site ne convient pas aux enfants de moins de 36 mois, sauf s'ils insistent vraiment.
Ne pas dépasser la dose prescrite.
Posologie: 1 fois
/
jour la semaine avant le contrôle.
L'efficacité du traitement dépend d'une prise régulière.
Effet secondaire: Peut procurer du plaisir surtout en cas de réussite !
En cas de persistance des difficultés, arrêter le traitement pendant une nuit, puis reprendre le lendemain.
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Si $x\leqslant 0$ alors $-x$ est positif. Et donc $|x|$ est positive!
