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Valeur absolue d'un nombre réel


Valeur absolue

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♦ Cours : Valeur absolue expliqué en vidéo Cours de math en vidéo
  • Définition 
    La valeur absolue d'un réel $x$ est égale à la distance entre zéro et $x$
    La valeur absolue
    correspond à
    la distance à zéro.

    Notation
    La valeur absolue de $x$ se note $|x|$.


    Exemples:
    $|3|=$


    L'écart entre 0 et 3 est de 3
    Donc $|3|=3$

    $|-2|=$


    L'écart entre 0 et -2 est 2
    Donc $|-2|=2$
  • $|x|=$  
    Si $x\ge 0$ alors $|x|=x$
    Si $x\le 0$ alors $|x|=-x$
    Attention
    Si $x\le 0$ alors $-x$ est positif
    Et donc $|x|$ est positive!

    la valeur absolue de $x$ est toujours positive
    que $x$ soit positif ou négatif!

  • Courbe  

    car
    Si $x\ge 0$ alors $|x|=x$
    Si $x\le 0$ alors $|x|=-x$

  • $|-x|=$  
    $|-x|=|x|$
    Exemple:
    $|-5|=|5|=5$

  • $|a-b|=$  
    $|a-b|$ est égal à la distance entre $a$ et $b$
    Pour interpréter,
    il faut absolument un moins
    entre $a$ et $b$
    $a$ et $b$
    sont 2 réels quelconques

    Exemples:
    $|x-3|$ désigne l'écart entre $x$ et 3
    et pas -3 !

    $|x+3|$ désigne l'écart entre $x$ et -3
    $|x+3|=|x-(-3)|$
    Pour interpréter une valeur absolue,
    il faut une soustraction et pas une addition!


  • Lien entre valeur absolue et racine carrée
    $\sqrt{x^2}=|x|$
    En général, $\sqrt{x^2}\ne x$
    Seulement lorsque $x\geqslant 0$, alors $\sqrt{x^2}= x$
    Mais lorsque $x\leqslant 0$, alors $\sqrt{x^2}= -x$
    Exemple:
    avec $x=-3$
    $\sqrt{x^2}=\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3=-x$


♦ Cours : Equation et inéquation avec valeur absolue Cours de math en vidéo
  • $|x|=|y|$  
    $|x|=|y|\Leftrightarrow x=y$ ou $x=-y$
    Dire que $|x|=|y|$
    signifie que $x$ et $y$ sont à la même distance de 0!
    Donc soit $x$ et $y$ sont égaux, soit ils sont opposés.
    D'où cette règle!

    Pratique
    pour résoudre des équations du type
    $|3-x|=|2x+5|$
    $|3-x|=|2x+5|$
    $\Leftrightarrow 3-x=2x+5$ ou $3-x=-(2x+5)$
    $\Leftrightarrow 3x=-2$ ou $x=-8$
    $\displaystyle\Leftrightarrow x=-\frac 23$ ou $x=-8$

  • $|x-a|={\rm R}$  
    $|x-a|={\rm R}$
    $|x-a|={\rm R}$
    R étant un nombre positif

    signifie que
    la distance de $x$ à $a$ vaut R

    $\Leftrightarrow x-a={\rm R}$ ou $x-a=-{\rm R}$
    $\Leftrightarrow x=a+{\rm R}$ ou $x=a-{\rm R}$
  • $|x-a|\le {\rm R}$  
    $|x-a|\le {\rm R}$
    $|x-a|\le {\rm R}$
    R étant un nombre positif

    signifie que
    la distance de $x$ à $a$ est inférieure ou égale à R

    $\Leftrightarrow a-{\rm R}\le x\le a+{\rm R}$
  • $|x-a|\ge {\rm R}$  
    $|x-a|\ge {\rm R}$
    $|x-a|\ge {\rm R}$
    R étant un nombre positif

    signifie que
    la distance de $x$ à $a$ est supérieure ou égale à R

    $\Leftrightarrow x\le a-{\rm R}$ ou $x\ge a+{\rm R}$
  • $|x+y|$  
    Attention
    En général,
    $|x+y|\ne |x|+|y|$
    Par exemple:
    $|7+(-3)|=|4|=4$
    Or $|7|+|-3|=7+3=10$
    Donc $|7+(-3)|\ne |7|+|-3|$

    mais on a
    $|x+y|\le |x|+|y|$
    C'est l'inégalité triangulaire
  • Se débarasser des valeurs absolues
    Souvent il est utile de se débarasser des valeurs absolues
    car c'est plus pratique pour faire des calculs
    Surtout avec des additions
    Comme $|x+y|\ne |x|+|y|$
    Il est souvent préférable
    de se débarasser des valeurs absolues.


    Pour cela:
    1) Etudier le signe des expressions qui sont dans les valeurs absolues
    2) Regrouper les résultats dans un tableau de signe
    3) Conclure comme expliqué dans la vidéo.

Corrigé en vidéo
Exercices 1:

Calculer avec des valeurs absolues


Ecrire les nombres suivants sans valeur absolue:
     a) $|-2|$      b) $|\pi - 3|$      c) $|\pi -4|$      d) $|1-\sqrt 2|$      e) $\displaystyle\left|\frac 2{\sqrt 3}-\sqrt 3\right|$
Corrigé en vidéo
Exercices 2:

Passer de valeur absolue à intervalle


Dans chaque cas, traduire la condition suivante à l'aide d'un intervalle :
     a) $|x-1|\leqslant 10^{-2}$      b) $|x+2,5|\leqslant 2$
Corrigé en vidéo
Exercices 3:

Passer d'intervalle ou inégalité à valeur absolue


Dans chaque cas, traduire la condition suivante à l'aide d'une valeur absolue :
     a) $2\leqslant x \leqslant 7$      b) $x\in ]-4;10[$
Corrigé en vidéo
Exercices 4:

Résoudre des équations et inéquations avec valeur absolue


Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes à l'aide d'un schéma:
     a) $|x-4|=3$      b) $|x+5|\lt 2$      c) $|x+1|\geqslant 2$      d) $|x+6|=|x|$
Corrigé en vidéo
Exercices 5:

Résoudre des équations et inéquations avec valeur absolue


Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes à l'aide d'un schéma:
     a) $|x+3|=-1$      b) $|x|>2$      c) $|x+2|=|1-x|$      c) $|x-3|\leqslant |x-1|$
Corrigé en vidéo
Exercices 6:

valeur absolue - exercice de révisions


1) Ecrire sans valeur absolue $\left|\dfrac 2{\sqrt 3}-\sqrt 3\right|$.
2) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $|x+1|\leqslant 10^{-2}$.
3) Traduire à l'aide d'une valeur absolue la condition $y\in [2,4;2,6]$.
Corrigé en vidéo
Exercices 7:

Interpréter une inégalité à l'aide de la valeur absolue - Maths Seconde


Représenter l'ensemble des points M($x;y$) tels que $ \left\{ \begin{array}{rl} |x-2| & \leqslant 1 \\ |y+2| & \leqslant 3 \end{array} \right.$
Corrigé en vidéo
Exercices 8:

Vrai faux valeur absolue - Mathématiques - Seconde Maths


Pour chaque affirmation suivante, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier:
     1) Pour tous réels $x$ et $y$, $|x+y|=|x|+|y|$
     2) Si $|x|=|y|$ alors $x=y$
     3) Si $|x|\leqslant |y|$ alors $x\leqslant y$
     4) Si $x\leqslant y$ alors $|x|\leqslant |y|$

Valeur absolue - Seconde Maths : Exercices à Imprimer

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Qui sommes-nous? Nicolas Halpern-Herla
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Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
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