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Seconde

Intervalles de $\mathbb{R}$ - Intersection - Réunion


Intervalle

♦ Cours : Les intervalles expliqués en vidéo Cours de math en vidéo
  • ${[a;b]}$ 
    ${[a;b]}$ désigne tous les nombres compris entre $a$ et $b$ inclus
    avec $a\leqslant b$

    $a$ et $b$ s'appellent les bornes de l'intervalle.

    Lorsqu'un crochet est tourné vers l'intérieur
    la borne est incluse.



    ${x\in [a;b]}$ signifie ${a\leqslant x \leqslant b}$
  • ${[a;b[}$ 
    ${[a;b[}$ désigne tous les nombres compris entre $a$ et $b$
    avec $a\leqslant b$

    $a$ inclus, $b$ exclu
    $a$ et $b$ s'appellent les bornes de l'intervalle.

    Lorsqu'un crochet est tourné vers l'intérieur
    la borne est incluse.
    Lorsqu'un crochet est tourné vers l'extérieur
    la borne est exclue.



    ${x\in [a;b[}$ signifie ${a\leqslant x \lt b}$
  • ${[a;+\infty[}$ 
    ${[a;+\infty[}$ désigne tous les nombres supérieurs ou égaux à $a$
    L'infini n'est pas un nombre!

    L'infini est toujours exclu.
    Le crochet est donc tourné vers l'extérieur en l'infini.



    ${x\in [a;+\infty[}$ signifie ${a\leqslant x }$
  • ${]a;+\infty[}$ 
    ${]a;+\infty[}$ désigne tous les nombres strictement supérieurs à $a$
    L'infini n'est pas un nombre!

    L'infini est toujours exclu.
    Le crochet est donc tourné vers l'extérieur en l'infini.



    ${x\in ]a;+\infty[}$ signifie ${a\lt x }$
  • ${]-\infty;a]}$ 
    ${]-\infty;a]}$ désigne tous les nombres inférieurs ou égaux à $a$
    L'infini n'est pas un nombre!

    L'infini est toujours exclu.
    Le crochet est donc tourné vers l'extérieur en l'infini.



    ${x\in ]-\infty;a]}$ signifie ${x\leqslant a }$
  • $[a;b]$ et $\{a;b\}$ 
    Ne pas confondre: $[a;b]$ et $\{a;b\}$
    • $[a;b]$ désigne tous les nombres compris entre $a$ et $b$
    Il y a donc une infinité de nombres dans l'intervalle $[a;b]$

    • $\{a;b\}$ désigne uniquement les nombres $a$ et $b$
    Il y a donc 2 nombres dans $\{a;b\}$
    qui sont $a$ et $b$
♦ Cours : intersection et réunion d'intervalles Cours de math en vidéo
  • $A\cap B$ 
    $A\cap B$ désigne les éléments qui sont à la fois dans $A$ et $B$
    $A$ et $B$ sont deux ensembles.

    $A\cap B$ se lit "A inter B"


    Exemple
    Pour déterminer $[1;4]\cap [-2;3[$
    1) Représenter chaque intervalle sur une droite avec une couleur différente
    2) L'intersection correspond à la zone où il y a les 2 couleurs.

    $[1;4]\cap [-2;3[=[1;3[$
  • $A\cup B$ 
    $A\cup B$ désigne les éléments qui au moins dans $A$ ou $B$
    c'est à dire qui sont au moins dans l'un des deux.

    $A$ et $B$ sont deux ensembles.

    $A\cup B$ se lit "A union B"

    $A\cup B$ correspond à la zone en vert sur le schéma.


    Exemple
    Pour déterminer $[1;4]\cup [-2;3[$
    1) Représenter chaque intervalle sur une droite avec une couleur différente
    2) La réunion correspond à la zone où il y a au moins une des 2 couleurs.

    $[1;4]\cup [-2;3[=[-2;4]$
  • Pour t'entrainer à trouver: 
    L'

    intersection

    de deux

    intervalles


    La

    réunion

    de deux

    intervalles




Corrigé en vidéo
Exercices 1: Déterminer l'

Intersection et la réunion

de deux intervalles
Dans chaque cas, déterminer $\rm I\cap J$ et $\rm I\cup J$:
  a) $\rm I=[-5;-2[$ et $\rm J=[-4;6[$
  b) $\rm I=]-\infty;4]$ et $\rm J=[-5;+\infty[$
  c) $\rm I=]6;+\infty[$ et $\rm J=[-4;+\infty[$
Corrigé en vidéo
Exercices 2:

Déterminer l'intersection et la réunion de deux intervalles


Dans chaque cas, déterminer l'intersection et la réunion des intervalles $\rm I$ et $\rm J$:
  a) $\rm I=]-4;7]$ et $\rm J=]-\infty;2[$
  b) $\rm I=]-5;3[$ et $\rm J=[3;+\infty[$
  c) $\rm I=]-5;3[$ et $\rm J=]3;+\infty[$
Corrigé en vidéo
Exercices 3:

Déterminer l'intersection et la réunion de deux intervalles


Dans chaque cas, déterminer $\rm I\cap J$ et $\rm I\cup J$:
  a) $\displaystyle\rm I=\left[\frac 23;\frac 34\right]$ et $\displaystyle\rm J=\left]\frac 57;\frac 45\right]$
  b) $\displaystyle\rm I=\left[\frac 23;\frac 45\right]$ et $\displaystyle\rm J=\left]\frac 57;\frac 34\right]$
Corrigé en vidéo
Exercices 4:

Traduire à l'aide d'intervalle - seconde


Traduire les inégalités suivantes à l'aide d'un intervalle:
  a) $-3\lt x \leqslant 5$
  b) $x \leqslant 5$
  c) $-3\lt x$
  c) $x\lt -3$ ou $x \geqslant 5$

Intervalle - Maths - seconde (En construction): Exercices à Imprimer

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Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES depuis 14 ans
Champion de France de magie en 2001: Magie