Il est important de regarder la vidéo de cours avant de faire les exercices
Puis faire les exercices
Conseils pour travailler efficacement
Conseils pour le jour du Bac
Fonction paire et impaire
Cours
Fonction paire et impaire
expliquées en vidéo
•
Définition d'une fonction paire
Fonction paire Une fonction $f$ définie sur
$\mathscr{D}$ est paire lorsque:
• son domaine de définition $\mathscr{D}$ est symétrique par rapport à $0$
Pour tout $x$ de $\mathscr{D}$, $-x$ appartient aussi à $\mathscr{D}$.
• Pour tout $x$ de $\mathscr{D}$, $f(-x)=f(x)$.
La courbe d'une fonction paire
La courbe d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées
dans un repère orthogonal
Méthode pour montrer qu'une fonction $f$ est paire
• On vérifie que le domaine de définition est bien symétrique par rapport à
$0$.
• On calcule $f(-x)$ que l'on transforme jusqu'à obtenir $f(x)$
,comme dans l'exemple ci-dessous.
Exemple
Montrer que la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac
1{x^2+1}$ est paire
• Le domaine de définition est $\mathbb{R}$ qui bien symétrique
par rapport à $0$.
• Pour tout $x$ réel: $f(-x)=\dfrac 1{(-x)^2+1}$$=\dfrac
1{x^2+1}=f(x)$
Donc $f$ est bien paire.
•
Définition d'une fonction impaire
Fonction impaire Une fonction $f$ définie sur
$\mathscr{D}$ est impaire lorsque:
• son domaine de définition $\mathscr{D}$ est symétrique par rapport à $0$
Pour tout $x$ de $\mathscr{D}$, $-x$ appartient aussi à $\mathscr{D}$.
• Pour tout $x$ de $\mathscr{D}$, $f(-x)=-f(x)$.
La courbe d'une fonction impaire
La courbe d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine
Dans un repère orthogonal
Méthode pour montrer qu'une fonction $f$ est impaire
• On vérifie que le domaine de définition est bien symétrique par rapport à
$0$.
• On calcule $f(-x)$ que l'on transforme jusqu'à obtenir $-f(x)$
,comme dans l'exemple ci-dessous.
Exemple
Montrer que la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3+2x$ est
impaire
• Le domaine de définition est $\mathbb{R}$ qui bien symétrique
par rapport à $0$.
• Pour tout $x$ réel:
$f(-x)=(-x)^3+2(-x)$$=-x^3-2x=-(x^3+2x)$$=-f(x)$
Donc $f$ est bien impaire.
•
Attention
Une fonction peut être ni paire ni impaire.
Méthode pour montrer qu'une fonction $f$ n'est ni paire ni impaire
On cherche une valeur $a$ telle que $f(a)$ ne soit égale ni à $f(-a)$ ni à
$-f(-a)$
,comme dans l'exemple ci-dessous. Conseil On peut s'aider de la courbe
de $f$ pour trouver cette valeur.
Exemple
Montrer que la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3x-1$ n'est
ni paire ni impaire.
$f(1)=3\times 1-1=3-1=2$
$f(-1)=3\times (-1)-1=-3-1=-4$
$f(-1)\ne f(1)$ donc $f$ n'est pas paire.
$f(-1)\ne -f(-1)$ donc $f$ n'est pas impaire.
Donc $f$ est ni paire, ni impaire.
•
Parité
Si on demande d'étudier la parité d'une fonction, il faut dire si elle paire, impaire ou
ni l'un ni l'autre.
Méthode pour étudier la parité d'une fonction
Conseil On peut s'aider de la courbe
de $f$ pour conjecturer si elle paire, impaire ou ni l'un ni l'autre.
On calcule $f(-x)$
Si $f(-x)=f(x)$ alors $f$ est paire.
Si $f(-x)=-f(x)$ alors $f$ est impaire.
Dans les autres cas, appliquer la méthode pour montrer qu'elle n'est ni
paire, ni impaire.
Exercice
1: Montrer qu'une fonction est paire / impaire
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=5x^2-x^4$ et
$g(x)=4x-x^3$.
Montrer que la fonction $f$ est paire.
Montrer que la fonction $g$ est impaire.
Exercice
2: Fonction ni paire, ni impaire
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3x^2-x$. Démontrer que la fonction n'est ni
paire ni impaire.
Exercice
3: Compléter la courbe d'une fonction paire / impaire
Soit $f$ une fonction définie sur [-3;3] dont la courbe est représentée sur [0;3].
Compléter la courbe sachant que $f$ est paire.
Compléter la courbe sachant que $f$ est impaire.
Exercice
4: parité d'une fonction linéaire
Démontrer que toute fonction linéaire est impaire.
Exercice
5: Reconnaitre une fonction Paire / Impaire avec courbe et symétrie
Parmi les fonctions représentées ci-dessous, indiquer celles qui semblent représenter une fonction
paire, impaire:
a.
b.
c.
d.
Exercice
6: Parité d'une fonction
Dans chaque cas, étudier la parité de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par:
$f(x)=3\sqrt{x^2+1}$
$f(x)=2x\sqrt{x^2+1}$
Ce site ne convient pas aux enfants de moins de 36 mois, sauf s'ils insistent vraiment.
Ne pas dépasser la dose prescrite.
Posologie: 1 fois/jour la semaine avant le contrôle.
L'efficacité du traitement dépend d'une prise régulière.
Effet secondaire: Peut procurer du plaisir surtout en cas de réussite !
En cas de persistance des difficultés, arrêter le traitement pendant une nuit, puis reprendre le
lendemain.
