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Egalités et Equations


Egalités et Equations

 
  • Conseils pour ce chapitre:
    • Revoir ce qui a été fait au collège:
      - Vidéo comment résoudre une équation du premier degré
  • Comment travailler efficacement Cours de math en vidéo
  • Conseils pour le jour du bac Cours de math en vidéo
Cours en vidéo : Qu'est-ce qu'une équation Cours de math en vidéo
  • Une équation
    Une équation est une égalité entre deux expressions
    comprenant une ou plusieurs lettres appelées inconnues

    Exemple: $3x^2=2x+1$
    $3x^2=2x+1$ est une équation
    d'inconnue $x$.
    $3x^2$ est appelé le membre de gauche.
    $2x+1$ est appelé le membre de droite.

  • Une solution
    Lorsque dans une équation,
    on remplace l'inconnue par une valeur
    et que l'égalité est vraie
    c'est à dire que
    le membre de gauche est égal au membre de droite.

    cette valeur s'appelle une solution de l'équation.
    Si on remplace $x$ par une valeur,
    et que l'égalité n'est pas vraie,
    cette valeur n'est pas solution de l'équation.


    Exemple: $3x^2=2x+1$
    Lorsqu'on remplace $x$ par 1 dans $3x^2=2x+1$
    On obtient $3\times 1^2=2\times 1+1$ Donc $3=3$
    L'égalité étant vraie, 1 est donc solution de $3x^2=2x+1$

    Lorsqu'on remplace $x$ par 4 dans $3x^2=2x+1$
    On obtient $3\times 4^2=2\times 4+1$ Donc $48=9$
    L'égalité n'étant pas vraie, 4 n'est pas solution de $3x^2=2x+1$

  • Résoudre
    Résoudre une équation,
    C'est trouver toutes les solutions

    Exemple: $3x^2=2x+1$
    1 est solutions de cette équation
    Car si on remplace $x$ par 1 dans l'équation
    on obtient 3=3.

    On a donc trouvé une solution.
    Mais il y a peut-être d'autres solutions.
    Pour résoudre, il faut les trouver toutes.

Cours en vidéo : Les 4 règles de base pour résoudre une équation Cours de math en vidéo
  • Règles
    Règles à utiliser pour résoudre une équation
    On peut voir une équation
    comme une balance équilibrée
    Par exemple $3x+5=17$

    Tant qu'on fait la "même chose" des deux côtés,
    la balance reste équilibrée.
    On peut enlever 5 des 2 côtés

    On obtient

    Puis diviser par 3 des 2 côtés


    On peut additionner la même quantité des 2 côtés
    Par exemple, avec l'équation:
    $3x-1$ = 5
    On peut additionner 1 des deux côtés

    L'équation reste équivalente
    c'est à dire que
    ça ne change pas les solutions
    de rajouter la même quantité des 2 côtés.
    $3x-1+1$ = 5+1
    $3x$ = 6

    On peut soustraire la même quantité des 2 côtés
    Par exemple, avec l'équation:
    $3x+5$ = 17
    On peut soustraire 5 des deux côtés

    L'équation reste équivalente
    c'est à dire que
    ça ne change pas les solutions
    de soustraire la même quantité des 2 côtés.
    $3x+5-5$ = 17-5
    $3x$ = 12

    On peut multiplier par la même quantité des 2 côtés
    Par exemple, avec l'équation:
    $\displaystyle \frac 13 x$ = 6
    On peut multiplier par 3 des deux côtés
    $\displaystyle 3\times \frac 13 x$ = $3\times 6$
    $x$ = 18
    Avant de multiplier des 2 côtés par quelque chose,
    il faut s'assurer que ce quelque chose est non nul!

    On peut diviser par la même quantité des 2 côtés
    Par exemple, avec l'équation:
    $\displaystyle 5 x$ = 20
    On peut diviser par 5 des deux côtés
    $\displaystyle \frac {5x}5$ = $\displaystyle \frac {20}5$
    $x$ = 4
    Avant de diviser des 2 côtés par quelque chose,
    il faut s'assurer que ce quelque chose est non nul!


  • Equation du premier degré
    Une équation du premier degré
    est une équation qui peut s'écrire sous la forme
    $ax+b=0$
    avec $a$ non nul

    Propriété importante:
    Une équation du premier degré a toujours une solution et une seule!


    $3x=4$
    $3x$ = 4
    est une équation du premier degré
    $3x+(-4)$ = $4+(-4)$
    Car en ajoutant $-4$ des 2 côtés
    $3x+(-4)$ = 0
    On obtient bien une équation de la forme $ax+b=0$

    $5x+3=2x-1$
    $5x+3$ = $2x-1$
    est une équation du premier degré
    $5x+3-(2x-1)$ = $2x-1-(2x-1)$
    Car en enlevant $2x-1$ des 2 côtés
    $5x+3-2x+1$ = $0$
    Penser à changer les signes
    car il y a un $-$ devant la parenthèse
    $3x+4$ = $0$
    On obtient bien une équation de la forme $ax+b=0$
        Cours de math en vidéo
Cours en vidéo : Règle du produit nul Cours de math en vidéo
  • Règle du produit nul
    Résoudre une équation du type
    $\rm A\times B=0$
    D'après la règle du produit nul:
    Un produit est nul
    signifie
    que l'un des facteurs au moins est nul
    Donc ici A=0 ou B=0.

    revient à résoudre
    $\rm A=0$ ou $\rm B=0$
    L'intérêt:
    c'est qu'au lieu de résoudre une grosse équation
    $\rm A\times B=0$
    on résout 2 équations plus simples
    $\rm A=0$, $\rm B=0$.


    Exemple:
    Résoudre $(5x-10)(2x+8)=0$
    revient à résoudre
    $5x+10=0$ ou $2x+8=0$
Cours en vidéo : Comment résoudre une équation Cours de math en vidéo
  • Méthode 1
    Essayer d'isoler l'inconnue
    en additionnant, soustrayant, multipliant ou en divisant
    par la même quantité des 2 côtés.

    Exemple
    Résoudre $2-4x=x-8$
    $2-4x=x-8$
    Pour regrouper les "$x$",
    on additionne $4x$ des 2 côtés

    $2-4x\boldsymbol{+4x}=x+\boldsymbol{4x}-8$
    $2=5x-8$
    Pour regrouper les constantes,
    on additionne $8$ des 2 côtés

    $2\boldsymbol{+8}=5x-8+\boldsymbol{8}$
    $10=5x$
    Pour isoler $x$,
    on divise des 2 côtés par $5$

    $\displaystyle\frac {10}{\boldsymbol{5}}=\frac{5x}{\boldsymbol{5}}$
    $2=x$

    L'ensemble des solutions $\mathcal{S}=\{2\}$

  • Méthode 2
    Se ramener à une équation du type $~\boldsymbol{...\times ....=0}$
    C'est ce qu'on appelle une équation produit nul

    Voici les étapes à suivre:
    Pour résoudre $\boldsymbol{\rm A=B}$ $\boldsymbol{x^2=2x}$
    1) Se ramener à zéro:   $\boldsymbol{....=0}$ $\boldsymbol{x^2-2x=0}$
    2) Factoriser au maximum
    Pour factoriser, deux techniques classiques:
    • Le facteur commun
    • L'identité remarquable   $\boldsymbol{a^2-b^2=(a-b)(a+b)}$
    $\boldsymbol{x\times(x-2)=0}$
    3) Appliquer la règle du produit nul
    $\rm A\times B=0 \Leftrightarrow A=0$ ou $\rm B=0$
    Pour appliquer cette règle,
    il faut une multiplication
    C'est pourquoi il faut avoir pensé à factoriser
    à l'étape précédente!
    $\boldsymbol{x=0}$ ou $\boldsymbol{x-2=0}$
    4) Résoudre chaque équation séparement     $\boldsymbol{x=0}$ ou $\boldsymbol{x=2}$

  • Une Erreur classique
    Erreur classique
    Diviser ou multiplier des 2 côtés par une quantité qui peut s'annuler
    C'est en faisant ce type d'erreur
    qu'on fabrique de fausses démonstrations
    pour démontrer par exemple que
    0=1 !

    Voici un exemple classique
    Donc surtout à ne pas faire!

    $\displaystyle\boldsymbol{x^2=x}$
    On est tenté de diviser par $x$ des 2 côtés.
    Mais c'est une erreur
    Car $x$ peut s'annuler!

    $\displaystyle\boldsymbol{\frac{x^2}x=\frac xx}$
    $\displaystyle\boldsymbol{x=1}$
    On a donc trouvé qu'une seule solution!
    Or il y en a deux!
    Il y a aussi 0!!!!
    Mais on l'a perdue
    lorsque l'on a divisé par $x$!
    Car diviser par $x$
    suppose que $x$ est différent de 0!
    Donc on a perdu cette solution!
        Cours de math en vidéo
Cours en vidéo : Ne pas confondre Résoudre et Montrer que Cours de math en vidéo
  • Résoudre $\boldsymbol{...=....}$
    Résoudre $\boldsymbol{...=....}$
    signifie qu'il s'agit d'une équation.

    On cherche les valeurs de l'inconnue
    ou des inconnues

    pour lesquelles la partie gauche est égale à la partie droite.

    Exemple:
    Résoudre $3x-1=5$
    En général,
    $3x-1$ n'est pas égal à 5.
    On cherche $x$ pour que $3x-1=5$

  • Montrer que $\boldsymbol{...=....}$
    Si la question est
    Montrer que $\boldsymbol{...=....}$
    il s'agit de montrer que la partie gauche et la partie droite
    représentent la même chose
    présentée différemment


    Exemple:
    Montrer que pour tout $x$ réel, $x^2-1=(x-1)(x+1)$
    Il faut montrer que
    $x^2-1$ et $(x-1)(x+1)$ sont toujours égales.

Solveur d'équation en ligne: Tape ton équation + clique sur X=



Exercices 1:

Résoudre des équations en ligne - Entraine-toi en ligne


Score:0

Résoudre:
$10x-2=3$


Corrigé en vidéo
Exercices 2:

Savoir si un nombre est solution d'une équation


Dire si -2 est solution des équations suivantes:
\[ x+2=0\] \[ -t-2=0\] \[ -t^2+t+6=0\]
Corrigé en vidéo
Exercices 3:

Savoir si un nombre est solution d'une équation


Trouver mentalement une solution de chacune des équations suivantes:
\[ 2y+3=11\] \[ 4a^2=3a\] \[ (3-b)^2=0\]
Corrigé en vidéo
Exercices 4:

Résoudre une équation du premier degré


Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:
\[ 4x-1=19\] \[ -4t=0\] \[ \frac x3 +1=5\]
Corrigé en vidéo
Exercices 5:

Résoudre une équation du premier degré


Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:
\[ 5(x+4)=7x+6\] \[ 6(2-x)=3(x+9)\] \[ \frac x4=\frac x3-\frac 12\] \[ \frac {7x}6-\frac23=\frac{5x}{2}\]
Corrigé en vidéo
Exercices 6:

Résoudre une équation du premier degré


Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:
\[ (7+4x)-(x-6)=0\] \[ 8(1-x)-3(4-2x)=0\]
Corrigé en vidéo
Exercices 7:

Résoudre une équation du premier degré


Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:
\[ -t-6=9+4t\] \[ \frac x7=3\] \[ -4y=y\] \[ 2,5a+3=5a+7\]
Corrigé en vidéo
Exercices 8:

Résoudre une équation du premier degré avec fraction


Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:
\[ 4(2y+3)-12=-y+6(2y+1)\] \[ 3t-\frac 23=1\] \[ \frac x5=\frac 54\] \[ \frac{4z}{7}=-\frac 4{21}\]
Corrigé en vidéo
Exercices 9:

Résoudre une équation du premier degré avec fraction


Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:
\[ \frac x4+5=\frac {4x}2-1\] \[ \frac 85t-\frac 23=t\] \[ \frac 19y+\frac 13=1-y\]
Corrigé en vidéo
Exercices 10:

Résoudre une équation produit nul


Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:
\[ (x-7)(3x-12)=0\] \[ (4t-10)^2=0\] \[ 2y=y^2\]
Corrigé en vidéo
Exercices 11:

Résoudre une équation produit nul


Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:
\[ 2t(-t-7)=0\] \[ (1-2a)+(5+a)=0\] \[ 3x(1-2x)(4x+10)=0\]
Corrigé en vidéo
Exercices 12:

Résoudre une équation produit nul


Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:
\[ 15(6x-15)=0\] \[ 4x(6-x)(x+3)=0\] \[ (2x+8)^2=0\]
Corrigé en vidéo
Exercices 13:


1) Invente une équation qui admette -4 comme solution
2) Invente une équation qui admette -1 et 3 comme solution
Corrigé en vidéo
Exercices 14:

Résoudre une équation à l'aide d'une factorisation


Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:
\[ x^2=2x\] \[ (3-2x)(2x+5)=(4x-5)(2x+5)\]
Corrigé en vidéo
Exercices 15:

Résoudre une équation à l'aide d'une factorisation


Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:
\[ 5x^2=x\] \[ x^3=x\]
Corrigé en vidéo
Exercices 16:

Résoudre une équation à l'aide d'une factorisation


Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:
\[ 7(y+8)-(y+8)(y-3)=0\] \[ (8-t)^2=(3t+5)(8-t)\]
Corrigé en vidéo
Exercices 17:

Résoudre une équation à l'aide des identités remarquables


Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:
\[ x^2=81\] \[ y^2+81=0\] \[ 4y^2=25\]
Corrigé en vidéo
Exercices 18:

Résoudre une équation à l'aide des identités remarquables


Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:
\[ (x-1)^2=0\] \[ x^2-1=0\] \[ x^2+1=0\]
Corrigé en vidéo
Exercices 19:

Résoudre une équation à l'aide des identités remarquables


Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:
\[ 9-(x-4)^2=0\] \[16b^2=1\]
Corrigé en vidéo
Exercices 20:

Résoudre une équation à l'aide des identités remarquables et du facteur commun


Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:
\[ x^3=x^2\] \[(1-2x)^2=(4x-5)^2\]
Corrigé en vidéo
Exercices 21:

Résoudre une équation à l'aide des identités remarquables


Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:
\[ x^2-10x+25=0\] \[4x^2+1=4x\]
Corrigé en vidéo
Exercices 22:

Résoudre une équation à l'aide des identités remarquables


Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:
\[x^2+9=6x\] \[x^2=6x\]
Corrigé en vidéo
Exercices 23:

Résoudre une équation à l'aide des identités remarquables


Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:
\[ (3-x)^2=3-x\] \[x^2=(4-3x)^2\]
Corrigé en vidéo
Exercices 24:

Résoudre une équation


Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:
\[(1-5x)(6x+2)=(5-4x)(1-5x)\]
Corrigé en vidéo
Exercices 25:

Equation et égalité


1) Montrer que pour tout $x$ réel, $(2x-3)(3x+9)=6x^2+9x-27$.
2) Résoudre dans $\mathbb{N}$ : \[ 6x^2+9x-27=0\]
Corrigé en vidéo
Exercices 26:

Algorithmique - python - valeur approchée de racine de 2 par balayage


Ecrire un programme en python pour déterminer par balayage un encadrement de racine de 2 à $10^{-3}$ près.


Corrigé en vidéo
Exercices 27:

Algorithmique - python - valeur approchée de racine de 2 par dichotomie


Ecrire un programme en python pour déterminer par dichotomie un encadrement de racine de 2 à $10^{-3}$ près.



Equation seconde (En construction): Exercices à Imprimer

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Qui sommes-nous? Nicolas Halpern-Herla
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES et STI depuis 23 ans
Créateur de jeux de stratégie: Agora et Chifoumi

Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES depuis 14 ans
Champion de France de magie en 2001: Magie