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Terminale S

Equation du second degré

Résoudre $ax^2+bx+c=0$
avec $a\ne 0$
sinon ce n'est pas une équation du second degré!
    
  • Conseils pour ce chapitre:
    • Regarder les vidéos:
      - ne pas confondre équation et égalité
      - Résoudre une équation graphiquement
  • Comment travailler efficacement Cours de math en vidéo
  • Conseils pour le jour du bac Cours de math en vidéo

Comment résoudre une équation du second degré

: regarde le cours en vidéo Cours de math en vidéo
  • Commencer par 
    On essaye de résoudre en factorisant, sans utiliser le discriminant
    Pour factoriser, 2 techniques:
    - Le facteur commun
    - L'identité remarquable $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$


    Résoudre $4x^2=x$
    $4x^2=x$
    $\Leftrightarrow 4x^2-x=0$
    On se ramène à ...=0

    $\Leftrightarrow x(4x-1)=0$
    On factorise

    $\Leftrightarrow x=0$ ou $4x-1=0$
    On applique la règle du produit nul
    $\rm A\times B=0\Leftrightarrow A=0$ ou $\rm B=0$

    $\Leftrightarrow x=0$ ou $x=\frac 14$
  • Dans les autres cas  
    Quand on ne peut pas factoriser,
    On calcule le discriminant $\Delta=b^2-4ac$
    Discriminer signifie traiter différement selon les cas.
    Le discriminant sert justement à celà.
    Le discriminant permet de savoir combien, il y a de solution.
    Pour cela, il suffit de regarder son signe, comme expliqué ci-après.

  • Si $\Delta\gt 0$  
    L'équation $ax^2+bx+c=0$ a deux solutions:
    $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$


    On peut factoriser $ax^2+bx+c$
    $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$

    La parabole
    La parabole coupe deux fois l'axe des abscisses, en $x_1$ et $x_2$.
  • Si $\Delta = 0$  
    L'équation $ax^2+bx+c=0$ a une seule solution:
    $x_1=\frac{-b}{2a}$
    On retrouve cette formule,
    en appliquant les formules avec $\Delta \gt 0$ avec $\Delta=0$


    On peut factoriser $ax^2+bx+c$
    $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_1)=a(x-x_1)^2$

    La parabole
    La parabole coupe une seule fois l'axe des abscisses, en $x_1$.
  • Si $\Delta \lt 0$  
    L'équation $ax^2+bx+c=0$ n'a pas de solution dans $\mathbb{R}$
    Vous verrez peut-etre plus tard que
    l'équation a quand même des solutions
    qui ne sont pas des nombres réels,
    mais des nombres complexes.


    On ne peut pas factoriser $ax^2+bx+c$ dans $\mathbb{R}$.
    La parabole
    La parabole ne coupe pas l'axe des abscisses.
  • Les solutions s'appellent aussi 
    Les solutions de
    $ax^2+bx+c=0$
    s'appellent aussi
    les racines.
  • Si les coefficients sont compliqués 
    Penser à multiplier à gauche et à droite par un même nombre
    de façon à avoir des coefficients plus simples

    Exemple:
    $-\frac 12x^2+\frac 14 x+1=0$
    Ici on peut tout multiplier par 4:
    $-\frac 12x^2+\frac 14 x+1=0$
    $\Updownarrow$
    $-2x^2+x+4=0$

    Du coup, on a des coefficients plus simples
    pour calculer $\Delta$

Démonstrations des formules du cours - Discriminant et racines

: en vidéo Cours de math en vidéo




Equation cas général

♦ Savoir résoudre une équation dans le cas général: cours en vidéo Cours de math en vidéo
  • Essaye d'isoler $x$ 
  • Sinon essaye de factoriser
    Si tu n'arrives pas isoler $x$
    1) Ecris l'équation sous la forme ....=0
    2) Factorise au maximum
    3) Applique la règle du produit nul
    4) Conclus

    Exemple:
    Résous $4x^2=x$
    $4x^2=x$
    $\Leftrightarrow 4x^2-x=0$
    On se ramène à ...=0

    $\Leftrightarrow x(4x-1)=0$
    On factorise

    $\Leftrightarrow x=0$ ou $4x-1=0$
    On applique la règle du produit nul
    $\rm A\times B=0\Leftrightarrow A=0$ ou $\rm B=0$

    $\Leftrightarrow x=0$ ou $x=\frac 14$
  • Sinon regarde s'il s'agit d'une équation du second degré
    Si tu n'arrives à factoriser
    regarde s'il s'agit d'une équation du second degré,
    et dans ce cas,
    applique la méthode des équations du second degré,
    avec le discriminant.
  • S'il y a des fractions
    1) Mets tout au même dénominateur.
    2) Jusqu'à obtenir une équation de la forme $\rm \frac AB=0$.
    On peut aussi utiliser
    le produit en croix

    3) Résous $\rm A=0$
    4) Toujours vérifier que les solutions trouvées au 3) n'annulent pas le dénominateur.
    Sinon ce sont des
    valeurs interdites!
    Et on ne peut donc pas les garder.


    Exemple:
    Résoudre $\frac 1x+\frac 1{x-1}=0$
    $\frac 1x+\frac 1{x-1}=0$
    $\Leftrightarrow \frac{x-1+x}{x(x-1)}=0$
    $\Leftrightarrow \frac{2x-1}{x(x-1)}=0$

    On résout $2x-1=0\Leftrightarrow x=\frac 12$
    On remplace $\frac 12$ dans le dénominateur $x(x-1)$
    ce qui donne $\frac 12 \times (\frac 12 -1)$
    ce qui ne fait pas 0
    On peut donc garder $\frac 12$
    L'équation a donc une solution $\frac 12$.
  • Ne pas confondre équation et égalité
    Dans une égalité ..=... Dans une équation ..=...
    Si la question est
    Si la question est
    Démontrer que $...=....$
    il s'agit d'une égalité.
    Parfois au lieu de "démontrer que",
    on utilise un synonyme
    "Vérifier que", "Montrer que", "Justifier que".
    Il s'agit alors d'une égalité!


    Si la question est
    Si la question est
    Résoudre $...=....$
    il s'agit d'une équation.

    Démontrer une égalité
    C'est montrer que
    la partie gauche et la partie droite
    sont toujours égales
        
    Résoudre une équation
    C'est trouver
    toutes les valeurs de l'inconnue,
    pour lesquelles la partie gauche et la partie droite
    sont égales. Ces valeurs s'appellent les solutions.

    Pour démontrer une égalité
    on transforme la partie gauche
    Pour transformer,
    en général,
    on met au même dénominateur,
    on développe,
    ou on factorise.

    jusqu'à obtenir la partie droite.
    Pour montrer une égalité du type A=B
    On peut aussi:
    Transformer la partie droite jusqu'à obtenir la partie gauche
    ou
    • Calculer A-B et montrer que ça fait 0.

            
    Pour résoudre une équation
    On utilise
    les techniques expliquées précédement,
    Equation cas général
  • Pour savoir si un nombre est solution
    Pour savoir si un nombre est solution d'une équation

    Remplace le nombre dans l'équation.
    • Si tu obtiens quelque chose de la forme A=A alors le nombre est solution.
    • Sinon le nombre n'est pas solution.


Exercice en ligne Exercices 1: Comprendre le lien entre le discriminant et la parabole - Première S - ES - STI
Corrigé en vidéo! Exercices 2: Résoudre des équations du second degré - Première S - ES - STI
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:
a) \[-\frac 12 x^2+\frac 32x-\frac 98=0\] b) \[-\frac 1{10}x^2+\frac 15=-\frac 1{10}\]
c) \[ -1,3x^2+0,2x+2,6=0\] d) \[ 2x^2-3x=0\]
Corrigé en vidéo! Exercices 3: équation se ramenant à une équation du second degré - Première S - ES - STI
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:
a) $-2x^3+3x^2=x$ b) $x^4+x^5+x^6=0$
Corrigé en vidéo! Exercices 4: Résoudre une équation du second degré graphiquement et par le calcul - Première S - ES -STI
On a tracé la parabole représentant la fonction $f:\to -x^2+x+4$.

1) Résoudre graphiquement $-x^2+x+4=0$.
2) Résoudre algébriquement $-x^2+x+4=0$.
Exercices 5: Intersection de 2 courbes & équation du second degré
On a tracé la parabole représentant la fonction $f:\to x^2+2x-1$ et la droite d'équation $y=\frac 12 x+1$.

1) Résoudre graphiquement $x^2+2x-1=\frac 12 x+1$.
2) Résoudre algébriquement $x^2+2x-1=\frac 12 x+1$.
Corrigé en vidéo! Exercices 6: Discriminant pas toujours utile pour résoudre des équation du second degré - Première S - ES - STI
Résoudre sans calculer le discriminant les équations suivantes sur $\mathbb{R}$ :
a) $2x^2 - 6 = 0$ b) $4x^2 - 6x = 0$ c) $x^2 + 2 = 0$ d) $(2x - 1)^2= 25$
Corrigé en vidéo! Exercices 7: équation se ramenant à une équation du second degré - Première S - ES - STI
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:
a) \[ \frac {x-1}{2x-4}=0\] b) \[ \frac 1x =x\] c)\[ \frac{x^2-9}{3-x}=0\]
Exercices 8: équation se ramenant à une équation du second degré - Première S - ES - STI
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:
a) \[ \frac 1x+\frac {2}{1-2x}=0\] b) \[ \frac 1{x^2}-\frac 2x =3\] c) \[ \frac2{x-1}-\frac 2x=1\]
Corrigé en vidéo! Exercices 9: Lire le discriminant, a et c - Première S - ES - STI
Les graphiques ci-dessous correspondent chacun à la courbe d'une fonction $f:x\to ax^2+bx+c$.

Dans chaque cas, que peut-on dire de $a$, $c$ et du discriminant $\Delta$.
Corrigé en vidéo! Exercices 10: Déterminer un polynôme du second degré connaissant la parabole - Première S - ES - STI
Les graphiques ci-dessous correspondent chacun à la courbe d'une fonction polynôme du second degré $f$.

Dans chaque cas, déterminer $f(x)$.
Corrigé en vidéo! Exercices 11: Déterminer un polynôme du second degré - Première S - ES - STI
Dans chaque cas, déterminer une fonction polynôme du second degré $\rm P$ telle que:
1) P admet pour racine les nombres $-1$ et $3$.
2) P admet pour racine les nombres $0$ et $-3$ et admet un maximum sur $\mathbb{R}$.
3) P admet une racine double égale à $2$ et admet un minimum sur $\mathbb{R}$.
4) P n'admet aucune racine et admet un maximum sur $\mathbb{R}$.
5) P admet un maximum en $3$ qui vaut $4$.
Exercices 12: Tabelau de variations & fonction du second degré - Première S - ES - STI
On donne le tableau de variations d'une fonction $f$ du second degré.

Proposer une valeur pour le ? telle que:
1) Le discriminant de l'équation $f(x)=0$ soit strictement positif.
2) Le discriminant de l'équation $f(x)=2$ soit strictement négatif.

Exercices 13: Intersection de 2 courbes & équation du second degré - Première S - ES - STI
On a tracé la courbe de fonction $f$ définies sur $\mathbb{R}\backslash\{0\}$ par $f(x)=\frac 2x$
et la courbe de la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=1-x$

1) Déterminer graphiquement l'intersection des courbes de $f$ et $g$.
2) Refaire la question précédente par le calcul.
Corrigé en vidéo! Exercices 14: Résoudre une équation avec racine carrée à l'aide du second degré - Première S - ES - STI
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation:   $x=\sqrt x +2$.


Corrigé en vidéo! Exercices 15: Distance d'un point à une courbe & second degré - Première S - ES - STI
Dans un repère orthonormé, on a tracé la courbe $\mathscr{C}$ de la fonction racine carrée et $\rm A$ est
le point de coordonnées $(2;0)$.

1) Déterminer graphiquement quel est le point de $\mathscr{C}$ qui est le plus proche de $\rm A$.
2) Refaire la question 1) par le calcul.
Corrigé en vidéo! Exercices 16: Utiliser le discriminant - Première S - ES - STI
Soit une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne 0$.
Son discriminant est noté $\Delta$, sa courbe est la parabole notée $\mathscr{P}$ et son sommet est noté $\rm S$.
1) Si $a>0$ et $\Delta$<$0$, que peut-on dire du sommet $\rm S$?
2) Si $\Delta$ > $0$ et l'ordonnée de $\rm S$ est positive, que peut-on dire de $a$?
3) Si $a$ et $c$ sont non nuls et de signes contraires, $\mathscr{P}$ coupe combien de fois l'axe des abscisses?
Corrigé en vidéo! Exercices 17: Résoudre une équation du troisième degré à l'aide du second degré - Première S - ES - STI
1) Montrer qu'il existe trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que pour tout réel $x$ :
\[x^3 -2x - 1 = (x + 1)(ax^2 + bx + c) \] 2) Résoudre l'équation $x^3 -2x-1 = 0$
Corrigé en vidéo! Exercices 18: Equation du second degré dépendant d'un paramètre - Première S - ES - STI
Soit $m$ un nombre réel, on considère l'équation :
\[x^2 + mx + m + 1 = 0 \] Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre $m$ l'équation ci-dessus admet-elle une unique solution ?
Corrigé en vidéo! Exercices 19: Problème se ramenant à une équation du second degré - Première S - ES - STI
Trouver tous les triangles rectangles dont les mesures des côtés sont des entiers consécutifs.


Corrigé en vidéo! Exercices 20: Volume d'un cube et équation du second degré - Première S - ES - STI
Si on augmente de deux centimètres la longueur de l'arête d'un cube, son volume augmente alors de 2 402 cm3. Combien mesure l'arête de ce cube ?
Corrigé en vidéo! Exercices 21: Dimension d'un rectangle et équation du second degré - Première S - ES - STI
Quelles sont les dimensions d'un rectangle de $34$ cm de périmètre et de $60$ cm2 d'aire ?


Corrigé en vidéo! Exercices 22: Signe de a et c et nombre de solutions d'équation du second degré - Première S - ES - STI
On considère l'équation $ax^2+bx+c = 0$ d'inconnue $x$ où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels avec $a \neq 0$.
1) Démontrer la proposition suivante :
Si $a$ et $c$ sont de signes contraires, alors l'équation $ax^2+bx+c = 0$ possède au moins une solution réelle.
2) La réciproque est-elle vraie ? Justifier.
Corrigé en vidéo! Exercices 23: Problème de mise en équation - Second degré - Première S - ES - STI
Avec $180$ € j'ai acheté un certain nombre d'articles identiques. Si chaque article avait coûté $3$ € de moins, j'aurais pu en acheter $3$ de plus. Combien en ai-je acheté ?
Corrigé en vidéo! Exercices 24: Points d'intersection de 2 courbes & équation du second degré - Première S - ES - STI
On considère la droite $\mathscr{D}$ d'équation $y = \dfrac{1}{2} x + 1$ et la parabole $\mathscr{P}$ d'équation $y = x^2 - \frac{3}{2}x - 1$.
Calculer les coordonnées des points d'intersection de $\mathscr{D}$ et $\mathscr{P}$.
Corrigé en vidéo! Exercices 25: Problème de vitesse de train & équation du second degré - Première S - ES - STI
Deux trains A et B partent en même temps d'une même gare, l'un vers le nord et l'autre vers l'est. Le train A se déplace à $25$ km/h de plus en moyenne que le train B.
Après $2$ heures, ils sont à $250$ km de distance (à vol d'oiseau) l'un de l'autre.
Trouver la vitesse moyenne de chaque train.
Corrigé en vidéo! Exercices 26: équation bicarrée et second degré - Première S - ES - STI
On souhaite résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $(E)$ : $x^4 - x^2 - 6 = 0$.
1) Montrer que si un nombre réel $x$ est solution de l'équation $(E)$
     alors le nombre $X$ défini par $X = x^2$ vérifie $X^2 -X -6 = 0$.
2) Déterminer les valeurs possibles de $X$.
3) Résoudre l'équation $(E)$.
Corrigé en vidéo! Exercices 27: Démonstration des formules du cours - Discriminant & racines - Première S - ES - STI
Soient $a$, $b$ et $c$ trois réels avec $a\neq 0$, on admet que pour tout réel $x$, on a : \[ax^2+bx+c = a\big(x+\frac{b}{2a}\big)^2 - \frac{b^2}{4a}+c \] 1) Montrer que pour tout réel $x$, $ax^2+bx+c = a\Big(\big(x+\frac{b}{2a}\big)^2 -\frac{b^2-4ac}{4a^2}\Big)$.
2) On pose $\Delta = b^2 -4ac$.
     a) Montrer que si $\Delta$ >0, l'équation $ax^2+bx+c =0$ n'a pas de solutions réelles.
     b) Montrer que si $\Delta \geqslant 0$, on a $ax^2+bx+c = a\Big(x+\frac{b}{2a} -\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\Big)\Big(x+\frac{b}{2a} +\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\Big)$.
3) Montrer que si $\Delta \geqslant 0$, l'équation $ax^2+bx+c =0$ a des solutions réelles et exprimer les solutions en fonction de $a$, $b$ et $\Delta$.
Exercices 28: équation du second degré - Première S - ES - STI
Déterminer $m$ pour que l'équation $5x^2-2mx+m=0$ admette -2 comme solution.
Donner l'autre solution.
Exercices 29: équation du second degré et racine double - Première S - ES - STI
Déterminer $a$ pour que l'équation $ax^2-12x+9=0$ admette une racine double.
Donner cette racine double.
Exercices 30: équation du équation du second degré n'ayant pas de solution réelle - Première S - ES - STI
Déterminer $m$ pour que l'équation $2x^2+4x+m=0$ n'admette pas de solution dans $\mathbb{R}$.

Exercices 31: équation du second degré avec paramètre - Première S - ES - STI
Déterminer $m$ pour que l'équation $2x^2+mx+2=0$ n'admette pas de solution dans $\mathbb{R}$.

Exercices 32: équation du second degré avec paramètre - Première S - ES - STI
Déterminer $m$ pour que l'équation $mx^2+(m-2)x-2=0$ admette une seule solution.


Equation du second degré : Exercices

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Qui sommes-nous? Nicolas Halpern-Herla
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES et STI depuis 21 ans
Créateur de jeux de stratégie: Agora et Chifoumi

Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES depuis 12 ans
Champion de France de magie en 2001: Magie