équation du second degré ax²+bx+c • discrimant Δ=b²-4ac • racine

Conseils

Résoudre $ax^2+bx+c=0$

Exercice type

pour savoir résoudre une équation du second degré (en 8 min !) - Les 3 situations à connaître

Conseil n°1

Essayer de résoudre sans $\Delta$. C'est souvent possible, comme expliqué dans la vidéo et ça fait gagner beaucoup de temps

Conseil n°2

Avant de calculer $\Delta$, essayer de SIMPLIFIER l'équation, comme expliqué dans la vidéo. Cela fait gagner beaucoup de temps

Cours complet

Comment résoudre une équation du second degré ax²+bx+c=0

•

Dans $ax^2+bx+c$, bien avoir en tête que $a$ est

•

Commencer par

Méthode Commencer par essayer de résoudre en factorisant, sans utiliser le discriminant

2 méthodes pour factoriser

Exemples Résoudre $4x^2=4x$

$\begin{align} \phantom{\Leftrightarrow} & ~4x^2=4x \\ \Leftrightarrow & ~4x^2-4x=0\\ \Leftrightarrow & ~x(4x-4)\\ \Leftrightarrow & ~x=0 \mbox{ ou } 4x-4=0\\ \Leftrightarrow & ~x=0 \mbox{ ou } 4x=4\\ \Leftrightarrow & ~x=0 \mbox{ ou } x=\dfrac 44\\ \Leftrightarrow & ~x=0 \mbox{ ou } x=1\\ \end{align}$

On a appliqué la méthode très classique:
On essaye de se ramener à une équation du type $~\boldsymbol{...\color{red}{\times} ....\color{red}{=0}}$

Voici les étapes à suivre pour résoudre $\boldsymbol{\rm ...=....}$

Se ramener à zéro: $\boldsymbol{....=0}$
Factoriser au maximum
Pour factoriser, deux techniques classiques:
• Le facteur commun
• L'identité remarquable $\boldsymbol{a^2-b^2=(a-b)(a+b)}$
Appliquer la règle du produit nul
$\rm A\times B=0 \Leftrightarrow A=0$ ou $\rm B=0$
Pour appliquer cette règle, il faut une multiplication. C'est pourquoi il faut avoir pensé à factoriser à l'étape 2.
Résoudre chaque équation séparément

L'équation a donc deux solutions $\{0;1\}$

•

Quand on ne peut pas factoriser

Méthode On calcule le discriminant $\Delta=b^2-4ac$

Si $\Delta\gt 0$

L'équation $ax^2+bx+c=0$ a deux solutions

• On peut factoriser $ax^2+bx+c$

• La parabole

Si $\Delta = 0$

L'équation $ax^2+bx+c=0$ a une seule solution

• On peut factoriser $ax^2+bx+c$

• La parabole

Si $\Delta \lt 0$

•

Les solutions s'appellent aussi

•

Si les coefficients sont compliqués

Démonstrations

des formules du discriminant et racines

Résumé du Cours

en vidéo

S’entraîner en ligne

Comprendre le lien entre le discriminant $\Delta$, la parabole et a

Exercice 1: Résoudre une équation du second degré - Première Spécialité maths - S ES STI

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:

$\color{red}{\textbf{a. }} 3x^2-4x+2=0$ $\color{red}{\textbf{b. }} 2x^2+x-10=0$ $\color{red}{\textbf{c. }} 4x^2-4x=-1$

Exercice 2: Résoudre une équation du second degré - Première Spécialité maths - S ES STI

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:

$\color{red}{\textbf{a. }} -x^2+x+6=0$ $\color{red}{\textbf{b. }} 2x^2-5x+6=0$ $\color{red}{\textbf{c. }} 4x^2=12x-9$

Exercice 3: Résoudre une équation du second degré avec ou sans delta - Première Spécialité maths - S ES STI

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:

$\color{red}{\textbf{a. }} 2x^2-5x-3=0$ $\color{red}{\textbf{b. }} 2x^2-5x=0$ $\color{red}{\textbf{c. }} 2x^2-5=0$

Exercice 4: factoriser un polynôme du second degré - Première Spécialité maths - S ES STI

Factoriser si possible:

$\color{red}{\textbf{a. }} 2x^2+5x-3$ $\color{red}{\textbf{b. }} x^2+2x+2$ $\color{red}{\textbf{c. }} -4x^2+12x-9$

Exercice 5: factoriser un polynôme du second degré sans utiliser le discriminant delta - Première Spécialité maths - S ES STI

Factoriser si possible sans utiliser le discriminant:

$\color{red}{\textbf{a. }} 2x^2-6x$ $\color{red}{\textbf{b. }} 4x^2-25$ $\color{red}{\textbf{c. }} x^2+6x+9$

Exercice 6: Résoudre une équation du second degré graphiquement et par le calcul - Première Spécialité maths - S ES STI

On a tracé la parabole représentant la fonction $f:x\to -x^2+x+4$:

Résoudre graphiquement $-x^2+x+4=0$.
Résoudre algébriquement $-x^2+x+4=0$.

Exercice 7: Série TF1 Demain nous appartient - Trouver les 3 erreurs! Première Spécialité maths - S ES STI

Regarder cette image tirée de la série, Demain nous appartient, et trouver les 2 erreurs qui se sont glissées!

Exercice 8: Lire le discriminant, a et c - Première Spécialité maths S ES STI

Les graphiques ci-dessous correspondent chacun à la courbe d'une fonction $f:x\to ax^2+bx+c$.

Dans chaque cas, que peut-on dire de $a$, $c$ et du discriminant $\Delta$.

Exercice 9: Déterminer un polynôme du second degré connaissant la parabole - Première Spécialité maths - S ES STI

Les graphiques ci-dessous correspondent chacun à la courbe d'une fonction polynôme du second degré $f$:

Dans chaque cas, déterminer $f(x)$.

Exercice 10: hauteur maximale d'un lancer & polynômes du second degré • Première spé maths S ES STI

Un athlète s’entraîne au lancer de javelot. Le javelot est lancé à une hauteur de $2$ m et touche le sol $75$ m plus loin. Sa trajectoire est une parabole qui est représentée sur le graphique ci-dessous:

Le sommet de cette parabole a pour abscisse $35$. On appelle $f$ la fonction qui correspond à cette parabole.

Déterminer une expression de $f(x)$.
Déterminer la hauteur maximale atteinte par le javelot.

Exercice 11: Déterminer un polynôme du second degré - Première Spécialité maths - S ES STI

Dans chaque cas, déterminer une fonction polynôme du second degré $\rm P$ telle que:

P admet pour racine les nombres $-1$ et $3$.
P admet pour racine les nombres $0$ et $-3$ et admet un maximum sur $\mathbb{R}$.
P admet une racine double égale à $2$ et admet un minimum sur $\mathbb{R}$.
P n'admet aucune racine et admet un maximum sur $\mathbb{R}$.
P admet un maximum en $3$ qui vaut $4$.

Exercice 12: Résoudre des équations du second degré - Première Spécialité maths - S ES STI

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:

$\color{red}{\textbf{a. }} -\dfrac 12 x^2+\dfrac 32x-\dfrac 98=0$ $\color{red}{\textbf{b. }} -\dfrac 1{10}x^2+\dfrac 15=-\dfrac 1{10}x$ $\color{red}{\textbf{c. }} 1,3x^2+0,2x+2,6=0$ $\color{red}{\textbf{d. }} 2x^2-3x=0$

Exercice 13: Intersection de 2 courbes & équation du second degré - Première Spécialité maths S ES STI

On a tracé la parabole représentant la fonction $f:x\to x^2+2x-1$ et la droite d'équation $y= x+2$.

Résoudre graphiquement $x^2+2x-1=x+2$.
Résoudre algébriquement $x^2+2x-1= x+2$.

Exercice 14: Discriminant pas toujours utile pour résoudre des équations du second degré - Première Spécialité maths - S ES STI

Résoudre sans calculer le discriminant les équations suivantes dans $\mathbb{R}$ :

$\color{red}{\textbf{a. }} 2x^2 - 6 = 0$ $\color{red}{\textbf{b. }} 4x^2 - 6x = 0$ $\color{red}{\textbf{c. }} x^2 + 2 = 0$ $\color{red}{\textbf{d. }} (2x - 1)^2= 25$

Exercice 15: Tableau de variations & fonction du second degré - Première Spécialité maths S ES STI

On donne le tableau de variations d'une fonction $f$ du second degré.

Proposer une valeur pour le ? telle que:

Le discriminant de l'équation $f(x)=0$ soit strictement positif.
Le discriminant de l'équation $f(x)=2$ soit strictement négatif.

Exercice 16: équation du second degré & problème de géométrie - triangle équilatéral dans un carré - Première Spécialité maths S ES STI

$\rm ABCD$ est un carré de côté $1$. On note ${\rm DM}=x$ et ${\rm CM}=y$.

Déterminer $x$ pour que le triangle $\rm CMN$ soit équilatéral. En déduire $y$.

Exercice 17: Distance d'un point à une courbe & second degré - Première Spécialité maths S ES STI

Dans un repère orthonormé, on a tracé la courbe $\mathscr{C}$ de la fonction racine carrée et $\rm A$ est le point de coordonnées $(2;0)$.

Déterminer graphiquement quel est le point de $\mathscr{C}$ qui est le plus proche de $\rm A$.
Refaire la question 1) par le calcul.

Exercice 18: Utiliser le discriminant - Première Spécialité maths S ES STI

Soit une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne 0$. Son discriminant est noté $\Delta$, sa courbe est la parabole notée $\mathscr{P}$ et son sommet est noté $\rm S$.

Si $a>0$ et $\Delta \lt 0$, que peut-on dire du sommet $\rm S$?
Si $\Delta \gt 0$ et l'ordonnée de $\rm S$ est positive, que peut-on dire de $a$?
Si $a$ et $c$ sont non nuls et de signes contraires, $\mathscr{P}$ coupe combien de fois l'axe des abscisses?

Exercice 19: Equation du second degré dépendant d'un paramètre - Première Spécialité maths S ES STI

Soit $m$ un nombre réel, on considère l'équation : $x^2 + mx + m + 1 = 0$.
Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre $m$ l'équation ci-dessus admet-elle une unique solution ?

Exercice 20: Problème se ramenant à une équation du second degré - Première Spécialité maths S ES STI

Trouver tous les triangles rectangles dont les mesures des côtés sont des entiers consécutifs.