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Première S

Polynôme du second degré

Définition
  • Conseils pour ce chapitre:
    • Commencer par regarder les vidéos de cours
    • Faire les exercices
    • Ensuite seulement, regarder les démonstrations
  • Comment travailler efficacement Cours de math en vidéo
  • Conseils pour le jour du bac Cours de math en vidéo

Fonction polynôme du second degré

: regarde le cours en vidéo Cours de math en vidéo
  • Une fonction polynôme du second degré 
    Une fonction polynôme du second degré
    est une fonction qui peut s'écrire sous la forme
    $ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$
  • Savoir trouver les coefficients $a$, $b$, $c$  
    $-5x^2+4x$
    $-5x^2+4x=-5x^2+4x+0$
    Donc
    $a=-5$, $b=4$, $c=0$

    $4-x^2$
    $4-x^2=-x^2+0\times x+4$
    Donc
    $a=-1$, $b=0$, $c=4$

    $2x^2$
    $2x^2=2x^2+0\times x+0$
    Donc
    $a=2$, $b=0$, $c=0$

    $(x-3)^2$
    $(x-3)^2=(x-3)(x-3)=x^2-6x+9$
    Donc
    $a=1$, $b=-6$, $c=9$

    $2x-3$
    $2x-3$
    n'est pas du second degré!
  • Trinôme du second degré  
    Au lieu de dire
    polynôme du second degré
    on peut dire
    trinôme du second degré
  • Par abus, au lieu de dire  
    Au lieu de dire
    fonction polynôme du second degré
    on peut dire seulement
    polynôme du second degré




Forme canonique - courbe - variations

♦ Forme canonique: cours en vidéo Cours de math en vidéo
  • Forme canonique 
    Tout trinôme du second degré
    $f(x)=ax^2+bx+c$
    peut s'écrire sous la forme
    $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$
    Cette forme s'appelle la forme canonique.
    $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.
    Exemple:
    $f(x)=3x^2-12x+16=3(x-2)^2+4$
    $a=3$, $b=-12$, $c=16$
    Donc
    $\alpha=-\frac{-12}{2\times 3}=2$
    et
    $\beta=f(2)=3\times 2^2-12\times 2+16=4$


  • Différentes façons d'écrire un trinôme du second degré
    Il y a 3 formes à connaitre:
    la forme développée, factorisée, et canonique

    $f(x)=4x^2-8x-12$ (Forme développée)
    $f(x)=4(x-3)(x+1)$ (Forme factorisée)
    $f(x)=4(x-1)^2-16$ (Forme canonique)
    On peut toujours trouver la forme développée et canonique.
    Mais la forme factorisée n'existe pas toujours!

  • A quoi sert la forme canonique
    La forme canonique est pratique pour:
    - Trouver les coordonnées du sommet (voir paragraphe suivant)
    - Démontrer les théorèmes du cours
  • Courbe de $f:x\to ax^2+bx+c$ 
    La courbe d'une fonction polynôme du second degré
    est une parabole,
    ayant un axe de symétrie d'équation $x=-\frac b{2a}$
    dans un repère orthogonal.

    résoudre une inéquation en factorisant avec le facteur commun
  • Si $a\gt 0$
    La parabole est tournée vers le haut
    et on a donc le tableau de variations suivant:

    Il y a un minimum $\beta$ atteint en $\alpha$.
  • Si $a\lt 0$
    La parabole est tournée vers le bas
    et on a donc le tableau de variations suivant:

    Il y a un maximum $\beta$ atteint en $\alpha$.
  • coordonnées du sommet 
    L'abscisse du sommet est $\alpha=-\frac b{2a}$.
    L'ordonnée du sommet est $f(\alpha)$.

    résoudre une inéquation en factorisant avec le facteur commun
  • Lien avec la forme canonique
    Si $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$
    L'abscisse du sommet est $\alpha$.
    L'ordonnée du sommet est $\beta$.
    Si $f(x)=3(x+1)^2-5$
    $\alpha=-1$ et pas 1 !
    Il faut faire apparaitre
    une soustraction pour lire $\alpha$!

    car $f(x)=3(x-(-1))^2+(-5)$
    et donc
    $\beta=-5$


    Réciproquement,
    si les coordonnées du sommet sont ($\alpha$;$\beta$)
    alors
    $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$
  • Lien avec la forme factorisée
    Si on connait la forme factorisée,
    L'abscisse du sommet est la moyenne de(s) racine(s)
    Une racine est une valeur
    pour laquelle le polynôme s'annule.

    Si $f(x)=-5(x-3)(x+1)$
    alors
    les racines sont 3 et -1
    Car $f(3)=0$ et $f(-1)=0$


    Donc l'abscisse du sommet est $\frac{3+(-1)}2=1$

♦ 3 techniques pour écrire un polynôme du second degré sous forme canonique : cours en vidéo Cours de math en vidéo
  • 3 méthodes pour trouver la forme canonique
    Pour trouver la forme canonique de $f(x)=ax^2+bx+c$
    - Méthode 1: Utiliser $\alpha=-\frac b{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$
    $ax^2+bx+c=a(x-\alpha)^2+\beta$

    - Méthode 2: Factoriser par $a$ puis compléter le carré
    comme expliqué dans la vidéo.

    - Méthode 3: Si on connait les coordonnées du sommet
    Si la parabole a pour sommet,
    le point de coordonnées
    $(\alpha;\beta)$
    alors
    $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$
Démonstration pour écrire sous forme canonique : cours en vidéo Cours de math en vidéo


Corrigé en vidéo! Exercices 1:
Dans chaque cas, dire s'il s'agit d'une fonction polynôme du second degré.
Dans l'affirmative, donner les coefficients $a$, $b$, $c$.
a) $-2x^2+5$        b) $(1-2x)^2$        c) $\frac{x^2+6x-1}3$        d) $(3x-2)^2-9x^2$
Corrigé en vidéo! Exercices 2: Écrire un polynôme sous forme canonique - Première S - ES -STI
Dans chaque cas, déterminer la forme canonique des trinômes suivants:
a) $x^2+6x+1$ b) $-2x^2+5$
c) $2x^2+x$d) $(1-2x)^2$
Corrigé en vidéo!
Exercices 3: Parabole - coordonnées du sommet - polynôme du second degré - Première S - ES - STI
On note $\mathscr{P}$ la parabole représentant la fonction $f$.
Dans chaque cas, déterminer les coordonnées du sommet de $\mathscr{P}$:
a) $f(x)=-x^2+4x+1$ b) $f(x)=2(x+3)^2-7$ c) $f(x)=(1-x)(x+3)$
Corrigé en vidéo! Exercices 4: Abscisse du sommet d'une parabole
Soit $f$ un polynôme du $2^{\text{nd}}$ degré tel que $f(2)=3$ et $f(10)=3$.
Déterminer l'abscisse du sommet.
Corrigé en vidéo! Exercices 5: Variations, maximum et minimum d'un polynôme du second degré - Première S - ES - STI
Dresser le tableau de variations de chacune des fonctions suivantes définies sur $\mathbb{R}$:
a) $f(x)=x^2-2x+3$ b) $f(x)=-2(x+1)^2-3$ c) $f(x)=(4-2x)(x-3)$
Corrigé en vidéo! Exercices 6: Déterminer la parabole connaissant un point et le sommet
Soit une parabole qui admet pour sommet le point (2;1) et qui passe par le point (1;3).
Déterminer la fonction $f$ qui correspond à cette parabole.
Corrigé en vidéo! Exercices 7: Reconnaitre la fonction qui correspond à une parabole
On a représenté les courbes de cinq fonctions: $f, g, h, k, m$.
$f(x)=x^2-6x+8$ $g(x)=-2x^2+2x+1$ $h(x)=2x-1$ $k(x)=(x-1)^2+3$ $m(x)=x^2+4x+4$
Associer à chaque courbe, la fonction qui lui correspond, en justifiant:
résoudre une inéquation du 2nd degré
Corrigé en vidéo!
Exercices 8: QCM - polynôme du second degré - forme canonique - sommet
Préciser si les affirmations sont vraies ou fausses:
1) La courbe de la fonction $f(x)=2(1-x)^2-3$ est une parabole tournée vers le haut.
2) La courbe de la fonction $f(x)=-2x^2+12x-17$ est une parabole et son sommet a pour abscisse 3.
3) La courbe de la fonction $f(x)=3(x+2)^2+5$ est une parabole et le sommet a pour coordonnées (-2;5).
Corrigé en vidéo!
Exercices 9: Tableau de variations et polynôme du 2nd degré
On donne le tableau de variation d'une fonction $f$:
résoudre une inéquation du 2nd degré
Parmi les fonctions suivantes, une est $f$. Laquelle? Justifier
$x\rightarrow (x-3)^2+5$ $x\rightarrow (x+3)^2+5$ $x\rightarrow -(x-3)^2+5$ $x\rightarrow -(x-5)^2+3 $
Corrigé en vidéo!
Exercices 10: QCM - variations et forme canonique - polynôme du 2nd degré
Dans chaque cas, indiquer la ou les bonnes réponses:
1) Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3(x-1)^2-2$
a) $f$ est croissante sur $[1;+\infty[$ b) Pour $x\le 1$, $f(x)\le 0$ c) $f$ admet un maximum en 1
2) Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-(x+4)^2-3$
a) Le maximum de $f$ est 4 b) $f$ admet un maximum en -4 c) Pour tout $x$, $f(x)\le 0$
3) Soit $f:x\rightarrow -3(x-4)^2+7$
a) L'équation $f(x)=8$ admet des solutions b) L'équation $f(x)=0$ admet 2 solutions
Corrigé en vidéo! Exercices 11: Polynôme du second degré et Bénéfice maximal
Un pompiste vend le litre d'essence au prix de $1,20$ € . Le prix d'achat est pour lui de $0,85$ €, le litre.
Il sait qu'il peut compter sur une vente journalière de $1 000$ litres et qu'à chaque baisse de $1$ centime qu'il consent pour le prix du litre, il vendra $100$ litres de plus par jour.
À quel prix le pompiste doit-il vendre le litre d'essence pour faire un bénéfice maximal et quelle est la valeur de ce bénéfice maximal ?
Corrigé en vidéo! Exercices 12: Polynôme du second degré et aire maximale
$ABCD$ est un carré de côté $10$ cm et $M$ est un point de $[AB]$ (distinct de $A$ et de $B$) et $AMON$ est un carré de côté $x$.
résoudre une inéquation du 2nd degré
1) Montrer que l'aire grise (en $\text{cm}^2$) s'écrit $-x^2 + 5x + 50$.
2) Où placer le point $M$ pour obtenir la plus grande aire grise possible ? Que vaut alors l'aire grise ?
Corrigé en vidéo! Exercices 13: Traduire un problème en équation du 2nd degré - Trouver le maximum - Algorithme
Une agence immobilière possède $200$ studios qui sont tous occupés quand le loyer est de $700$ euros par mois. L'agence estime qu'à chaque fois qu'elle augmente le loyer de $5$ euros, un appartement n'est plus loué. On note $x$ le nombre d'augmentations de $5$ euro sur le loyer mensuel.
1) Montrer que le revenu mensuel de l'agence (en euros) s'écrit : $-5x^2 + 300x +140000$.
2) En déduire le montant du loyer pour maximiser le revenu mensuel de l'agence.
3) Ecrire un algorithme en langage naturel permettant de retrouver la réponse à ce problème.
Corrigé en vidéo! Exercices 14: Polynôme du second degré et aire maximale - Enclos
On souhaite délimiter un enclos rectangulaire adossé à un mur à l'aide d'une clôture en grillage de $80$ mètres de long comme indiqué sur le schéma ci-dessous :
résoudre une inéquation du 2nd degré
Quelles sont les dimensions de l'enclos pour obtenir la plus grande surface possible ?
Corrigé en vidéo! Exercices 15: Polynôme du second degré - Démonstrations - Variations
En utilisant la définition d'une fonction strictement croissante sur un intervalle (puis celle d'une fonction strictement décroissante), démontrer que :
1) la fonction $f : x \mapsto 2(x-3)^2 -1$ est strictement croissante sur $[3~;~+\infty[$.
2) la fonction $f : x \mapsto -3(x+1)^2 + 5$ est strictement décroissante sur $[-1~;~+\infty[$.
3) la fonction $f : x \mapsto \frac{1}{2}(x-2)^2 + 3$ est strictement décroissante sur $]-\infty~;~2]$.

Polynômes du second degré - forme canonique - sommet - variations : Exercices

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Qui sommes-nous? Nicolas Halpern-Herla
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES et STI depuis 21 ans
Créateur de jeux de stratégie: Agora et Chifoumi

Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES depuis 12 ans
Champion de France de magie en 2001: Magie