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Entiers - Décimaux - Rationnels - Réels
(En Construction)


Ensembles de nombres

  • Comment travailler efficacement Cours de math en vidéo
  • Conseils pour le jour du bac Cours de math en vidéo
♦ Cours : connaitre les ensembles de nombres Cours de math en vidéo
  • Entiers naturels 
    Un entier naturel est un entier supérieur ou égal à 0.
    L'ensemble des entiers naturels est noté $\pmb{\mathbb{N}}$
    $\pmb{\mathbb{N}}=\{0,1,2,....\}$


    3 est un entier naturel
    Car 3 est un entier supérieur à 0.

    On peut écrire $\pmb{3\in\mathbb{N}}$
    $\boldsymbol{\in}$ signifie "appartient"


    -3 n'est pas un entier naturel
    -3 est un entier mais n'est pas positif.
    Donc -3 n'est pas un entier naturel.

    On peut écrire $\pmb{-3\notin\mathbb{N}}$
    $\boldsymbol{\notin}$ signifie "n'appartient pas"
  • Entiers relatifs 
    Un entier relatif est un entier positif, négatif ou nul.
    L'ensemble des entiers relatifs est noté $\pmb{\mathbb{Z}}$
    $\pmb{\mathbb{Z}}=\{...,-2,-1,0,1,2,....\}$


    3 est un entier relatif
    Car 3 est un entier positif.

    On peut écrire $\pmb{3\in\mathbb{Z}}$
    $\boldsymbol{\in}$ signifie "appartient"


    -3 est un entier relatif
    Car -3 est un entier négatif.

    On peut écrire $\pmb{-3\in\mathbb{Z}}$

    0,5 n'est pas un entier relatif
    Car 0,5 n'est pas un entier.

    On peut écrire $\pmb{0,5\notin\mathbb{Z}}$

  • Nombres décimaux 
    Un nombre décimal est nombre qui peut s'écrire
    avec un nombre fini de chiffre derrière la virgule.
    $\boldsymbol{\Leftrightarrow}$
    Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire $\boldsymbol{\displaystyle\frac a{10^n}}$
    avec $a$ entier relatif
    $n$ entier naturel


    L'ensemble des décimaux est noté $\pmb{\mathbb{D}}$


    2,23 est un nombre décimal
    On peut écrire $\pmb{2,23\in\mathbb{D}}$
    $\boldsymbol{\in}$ signifie "appartient"


    3 est un nombre décimal
    Car 3 peut s'écrire 3,0.

    On peut écrire $\pmb{3\in\mathbb{D}}$

    $\displaystyle\frac 13$ n'est pas un nombre décimal
    voir démonstration en vidéo

    On peut écrire $\pmb{\displaystyle\frac 13\notin\mathbb{D}}$

  • Nombres rationnels 
    Un nombre rationnel est nombre qui peut s'écrire
    sous la forme $\displaystyle \boldsymbol{\frac pq}$
    où $p$ et $q$ sont des entiers relatifs.
    $q$ est non nul,
    car il est au dénominateur.

    L'ensemble des rationnels est noté $\pmb{\mathbb{Q}}$

    3 est un nombre rationnel
    Car 3 peut s'écrire $\displaystyle \frac 31$.

    On peut écrire $\pmb{3\in\mathbb{Q}}$

    2,23 est un nombre rationnel
    Car 2,23 peut s'écrire $\frac {223}{100}$.

    On peut écrire $\pmb{2,23\in\mathbb{Q}}$
    $\boldsymbol{\in}$ signifie "appartient"


    $\displaystyle -\frac 53$ est un nombre rationnel
    Car $-\displaystyle \frac 53$ peut s'écrire $\displaystyle \frac {-5}{3}$.

    On peut écrire $\displaystyle\pmb{-\frac 53\in\mathbb{Q}}$

    $\sqrt 2$ n' est pas un nombre rationnel
    Car on ne peut pas l'écrire sous la forme $\displaystyle\frac pq$ avec $p$ et $q$ entiers.
    Voir démonstration très importante en vidéo.

  • Nombres irrationnels 
    Un nombre irrationnel est un nombre réel qui n'est pas rationnel,
    c'est à dire qui ne peut pas s'écrire sous la forme $\displaystyle \boldsymbol{\frac pq}$
    où $p$ et $q$ sont des entiers relatifs.
    Irrationnels classiques:
    $\boldsymbol{\sqrt 2}$
    Car on ne peut pas l'écrire sous la forme $\displaystyle\frac pq$ avec $p$ et $q$ entiers.
    Voir démonstration très importante en vidéo.

    $\boldsymbol{\pi}$
    Car on ne peut pas l'écrire sous la forme $\displaystyle\frac pq$ avec $p$ et $q$ entiers.


  • Nombres réels 
    On considère une droite munie d'un repère.
    Un nombre est réel s'il correspond à l'abscisse d'un point de cette droite.
    L'ensemble des nombres réels est noté $\pmb{\mathbb{R}}$



    2 est un nombre réel
    2 correspond à un point de la droite

    On peut écrire $\pmb{2\in\mathbb{R}}$

    -1,2 est un nombre réel
    -1,2 correspond à un point de la droite

    On peut écrire $\pmb{-1,2\in\mathbb{R}}$
    $\boldsymbol{\in}$ signifie "appartient"


    $\displaystyle \frac 53$ est un nombre réel
    $\displaystyle\frac 53$ correspond à un point de la droite

    On peut écrire $\displaystyle\pmb{\frac 53\in\mathbb{R}}$

    $\sqrt 2$ et $\pi$ sont des nombres réels
    Ils correspondent à un point de la droite


    En fait tous les nombres que vous connaissez en seconde,
    correspondent tous à des points de la droite. Et donc sont réels.
    Donc tous les nombres que vous connaissez en seconde sont réels.

    Pourtant vous verrez plus tard que les points à l'exterieur de la droite
    correspondent aussi à des nombres mais qui ne sont pas réels et qu'on appelle
    nombres complexes
  • Schéma à connaitre 
  • Nature d'un nombre 
    Donner la nature d'un nombre
    c'est dire le plus petit ensemble auquel ce nombre appartient.

    Exemple: Donner la nature de $\displaystyle\frac{\sqrt{225}}6$
    $\require{cancel} \displaystyle\frac{\sqrt{225}}6=\frac {15}6=\frac{\cancel{3} \times 5}{\cancel{3} \times 2}=\frac 52=2,5$
    Donc $\displaystyle\frac{\sqrt{225}}6\in \mathbb{D}$
    Autrement dit
    $\displaystyle\frac{\sqrt{225}}6$ est un nombre décimal.
  • Ne pas confondre $\boldsymbol\in$ et $\boldsymbol\subset$ 
    • Pour dire qu'un élèment $a$ appartient à un ensemble ${\rm A}$
    on écrit: $\boldsymbol{a\in {\rm A}}$

    Pour dire qu'un ensemble ${\rm A}$ est inclus dans un ensemble ${\rm B}$
    on écrit: $\boldsymbol{\rm A\subset B}$
♦ Cours : Savoir démontrer qu'un nombre est décimal Cours de math en vidéo
  • Méthodes 
    • Montrer qu'un nombre est décimal
    Méthode 1: Montrer qu'il peut s'écrire avec un nombre fini de chiffre derrière la virgule
    Par exemple:
    2,25 est un nombre décimal
    car il y a un nombre fini de chiffre derrière la virgule

    Méthode 2: Montrer qu'il peut s'écrire sous la forme $\displaystyle\frac a{10^n}$
    avec $a$ entier relatif et $n$ entier naturel.

    Par exemple:
    2,25 est un nombre décimal
    car $\displaystyle 2,25=\frac {225}{100}=\frac {225}{10^2}$
    C'est bien de la forme $\displaystyle\frac a{10^n}$
    avec $a$ entier relatif et $n$ entier naturel.

    • Montrer qu'un nombre n'est pas décimal
    Méthode: Montrer qu'il ne peut pas s'écrire $\displaystyle\frac a{10^n}$
    On utilise souvent un raisonnement par l'absurde:
    On suppose que le nombre peut s'écrire sous la forme $\displaystyle\frac a{10^n}$
    Puis on montre que l'on aboutit à une contradiction
    Pour cela, on utilise souvent la décomposition en facteur premier.
  • $\displaystyle \frac 13$ n'est pas décimal Cours de math en vidéo  
    Démo à faire
  • Piège avec les décimaux 
    Si le nombre est écrit avec un nombre de chiffres derrière la virgule
    fini $\Rightarrow$ Le nombre est décimal
    Par exemple,
    132,25
    Il y a 2 chiffres après la virgule
    Le nombre de chiffre derrière la virgule est donc fini
    Donc 132,25 est un nombre décimal.

    infini $\Rightarrow$ Le nombre peut être décimal ou pas
    Autrement dit, on ne peut rien conclure!
    0,333... n'est pas un nombre décimal
    Voir la vidéo:
    $\displaystyle \frac 13$ n'est pas décimal Cours de math en vidéo

    0,999... est un nombre décimal
    Car on démontre que:
    0,999...=1
    Or 1 est un entier, donc un décimal!

    Voir la vidéo:
    $0,999..=1$ Cours de math en vidéo
♦ Cours : Savoir démontrer que $\sqrt 2$ est irrationnel Cours de math en vidéo

Corrigé en vidéo
Exercices 1:

Tableau à compléter


Sans utiliser de calculatrice, compléter le tableau par OUI ou NON:
Appartient à $~~~~\mathbb{N}~~~~$ $~~~~\mathbb{Z}~~~~$ $~~~~\mathbb{D}~~~~$ $~~~~\mathbb{Q}~~~~$ $~~~~\mathbb{R}~~~~$
-5
$\displaystyle\frac 43$
$\displaystyle\frac 34$
$\displaystyle\sqrt 2$
$\displaystyle\frac {\sqrt{144}}3$
$\displaystyle\pi$
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Exercices 2:

Placer


Placer les nombres suivants sur le schéma, sans utiliser de calculatrice:
        $\displaystyle\frac{-84}{14}$         $\displaystyle\frac{-15\sqrt{2}}{\sqrt 8}$         $5,1$         $10^3$         $\displaystyle\frac{1,26}{18}$         $\displaystyle\frac 1{18}$
Corrigé en vidéo
Exercices 3:

Ne pas confondre les symboles appartient $\in$ et inclus $\subset$


Compléter par $\in$, $\not\in$, $\subset$, $\not\subset$:
a) 3 .... $\mathbb{Z}$b) $\displaystyle \frac 54$ .... $\mathbb{D}$ c) $\sqrt 2$ .... $\mathbb{Q}$
d) $\displaystyle \frac 13$ .... $\mathbb{D}$e) $\mathbb{Q}$ .... $\mathbb{D}$e) $\mathbb{N}$ .... $\mathbb{Q}$
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Exercices 4:

Nature d'un nombre


Sans calculatrice, donner la nature des nombres suivants:
        $-5,6$         $\displaystyle\frac 34$         $\displaystyle\frac 43$         $\displaystyle\frac 25$         $\displaystyle\sqrt {6,25}$
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Exercices 5:

Nature d'un nombre - seconde


  1. $\displaystyle \frac {784}3$ appartient-il à $\mathbb{N}$?
  2. $\displaystyle\frac 5{1+\frac 23}$ est-il décimal?

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Exercices 6:

Démontrer que un tiers $\displaystyle\frac 13$ n'est pas un nombre décimal - Démonstration cours seconde - Difficile


  1. Rappeler la définition d'un nombre décimal.
  2. Démontrer que $\displaystyle\frac 13$ n'est pas un nombre décimal.
    (On pourra utiliser la décomposition en facteurs premiers).
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Exercices 7:

Démontrer que un tiers $\displaystyle\frac 97$ n'est pas un nombre décimal - Démonstration cours seconde - Difficile


  1. Rappeler la définition d'un nombre décimal.
  2. Démontrer que $\displaystyle\frac 97$ n'est pas un nombre décimal.
    (On pourra utiliser la décomposition en facteurs premiers).
Corrigé en vidéo
Exercices 8:

Démonstration cours de seconde


  1. Rappeler la définition d'un nombre décimal.
  2. Démontrer que $\displaystyle\frac {13}{80}$ est un nombre décimal.
  3. Démontrer que $\displaystyle\frac {17}{26}$ n'est pas un nombre décimal.
    (On pourra utiliser la décomposition en facteurs premiers).
Corrigé en vidéo
Exercices 9:

Démonstration cours de seconde


L'objectif de cet exercice est de démontrer que $0,999....=1$.
Notons $x=0,99....$.
  1. Calculer $10x$.
    (On admettra que multiplier par 10 revient à décaler la virgule d'un cran vers la droite.)
  2. Conclure.
Corrigé en vidéo
Exercices 10:

Démonstration cours seconde - nombre pair - impair - Logique


Démontrer que si $a^2$ est un nombre pair alors $a$ est un nombre pair
(Penser à utiliser la contraposé)
Corrigé en vidéo
Exercices 11:

Démonstration cours seconde - racine de 2 irrationnel


On rappelle le résultat suivant: Si $a^2$ est un nombre pair alors $a$ est un nombre pair.
  1. Rappeler la définition d'un nombre rationnel.
  2. Démontrer que $\sqrt 2$ n'est pas un nombre rationnel.
    (On pourra utiliser un raisonnement par l'absurde).
Corrigé en vidéo
Exercices 12:

Arithmétique - rationnel et irrationnel - seconde Spé Maths


Sachant que $\pi$ est irrationnel, démontrer que $\displaystyle\frac 3\pi$ et $\sqrt \pi$ sont irrationnels.
Exercices 13:

Somme d'un rationnel et d'un irrationnel


1) Démontrer que la somme d'un rationnel et d'un irrationnel est un irrationnel
2) La somme de deux irrationnels est un irrationnel?
3) Que peut-on dire de $\pi +1$ ?
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Exercices 14:

Développement décimal illimité


L'objectif est de deviner une propriété des nombres qui ont un développement décimal périodique.
    1. Soit $x=2,111....$
    2. Calculer $10x$.
      On admettra que multiplier par 10 revient à décaler la virgule d'un cran vers la droite.
    3. En déduire que l'on peut écrire $2,111...$ sous la forme d'une fraction de 2 entiers.
  1. Adapter la méthode à $x=2,232323...$.
  2. Adapter la méthode à $x=5,23569569...$
  3. Quelle propriété peut-on conjecturer?
Exercices 15:

Construire un rationnel à la règle et au compas


Sur une droite graduée, construire $\displaystyle\frac 13$, puis $\displaystyle\frac 47$.

Exercices 16:

Construire un irrationnel à la règle et au compas - racine de 2


Sur une droite graduée, construire $\sqrt 2$, puis $\sqrt 3$.

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Exercices 17:

Algorithmique - approximation de pi


On cherche parmi les fractions ayant un numérateur et un dénominateur à un ou deux chiffres, celle qui soit la meilleure approximation de $\pi$.
Écrire un programme en Python pour résoudre ce problème.
Corrigé en vidéo
Exercices 18:

Algorithmique - programme python - Simplifier une fraction


Ecrire un programme en python pour simplifier une fraction et la rendre irréductible.

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Exercices 19:

Algorithmique - Piège très classique - Python et les décimaux


  1. Que va afficher le programme en python ci-dessous:
      if 0.1+0.2==0.3:
        print("titi")
      else:
        print("toto")
  2. Tester le programme sur ordinateur. Expliquer.

Ensemble de nombre (En construction) : Exercices à Imprimer

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Qui sommes-nous? Nicolas Halpern-Herla
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES et STI depuis 23 ans
Créateur de jeux de stratégie: Agora et Chifoumi

Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES depuis 14 ans
Champion de France de magie en 2001: Magie