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Nombres Entiers
(En Construction)


Nombres entiers

  • Comment travailler efficacement Cours de math en vidéo
  • Conseils pour le jour du bac Cours de math en vidéo
♦ Cours : nombres entiers Cours de math en vidéo
  • Entiers naturels 
    Un entier naturel est un entier supérieur ou égal à 0.
    L'ensemble des entiers naturels est noté $\pmb{\mathbb{N}}$
    $\pmb{\mathbb{N}}=\{0,1,2,....\}$


    3 est un entier naturel
    Car 3 est un entier supérieur à 0.

    On peut écrire $\pmb{3\in\mathbb{N}}$
    $\boldsymbol{\in}$ signifie "appartient"


    -3 n'est pas un entier naturel
    -3 est un entier mais n'est pas positif.
    Donc -3 n'est pas un entier naturel.

    On peut écrire $\pmb{-3\notin\mathbb{N}}$
    $\boldsymbol{\notin}$ signifie "n'appartient pas"


    Dans les énoncés
    S'il est écrit:
    Soit $n\in \mathbb{N}$
    cela signifie que
    $n$ est un entier positif ou nul.
  • Entiers relatifs 
    Un entier relatif est un entier positif, négatif ou nul.
    L'ensemble des entiers relatifs est noté $\pmb{\mathbb{Z}}$
    $\pmb{\mathbb{Z}}=\{...,-2,-1,0,1,2,....\}$


    3 est un entier relatif
    Car 3 est un entier positif.

    On peut écrire $\pmb{3\in\mathbb{Z}}$
    $\boldsymbol{\in}$ signifie "appartient"


    -3 est un entier relatif
    Car -3 est un entier négatif.

    On peut écrire $\pmb{-3\in\mathbb{Z}}$

    0,5 n'est pas un entier relatif
    Car 0,5 n'est pas un entier.

    On peut écrire $\pmb{0,5\notin\mathbb{Z}}$

    Dans les énoncés
    S'il est écrit:
    Soit $n\in \mathbb{Z}$
    cela signifie que
    $n$ est un entier positif, négatif ou nul.

  • Multiple - Diviseur 
    $a$ est un multiple de $b$ si $a=k\times b$
    avec $k$ entier relatif.

    Autrement dit lorsque $a$ est égal à un certain nombre de fois $b$.

    On dit alors que $b$ est diviseur de $a$

    $\boldsymbol{-12}$ est un multiple de 4
    $-12=-3\times 4$

    $\boldsymbol{5}$ est un diviseur de 35
    $35=7\times 5$


  • Multiples de a  Cours de math en vidéo
    La somme de 2 multiples de $a$ est un multiple de $a$
    Par exemple,
    12 et 15 sont des multiples de 3
    Donc 12+15 est encore un multiple de 3.


    Il faut savoir faire la démonstration de cette propriété
    (voir la vidéo)
  • Nombre pair et impair  Cours de math en vidéo
    Un nombre pair est nombre qui est divisible par 2
    autrement dit qui peut s'écrire sous la forme $\boldsymbol{2n}$
    Lorsque dans un énoncé, on vous dit:
    Soit $n$ un entier pair,
    Penser à écrire $n=2k$ avec $k\in \mathbb{Z}$


    Un nombre impair est nombre qui n'est pas divisible par 2
    autrement dit qui peut s'écrire sous la forme $\boldsymbol{2n+1}$
    Lorsque dans un énoncé, on vous dit:
    Soit $n$ un entier impair,
    Penser à écrire $n=2k+1$ avec $k\in \mathbb{Z}$


    $\boldsymbol{15}$ est un nombre impair
    $\pmb{15=2\times 7+1}$
    Il peut bien s'écrire sous la forme $\boldsymbol{2n+1}$

    $\boldsymbol{16}$ est un nombre pair
    $\pmb{16=2\times 8}$
    Il peut bien s'écrire sous la forme $\boldsymbol{2n}$

    Propriétés
    Avec une somme
    pair + pair = pair
    pair + impair = impair
    impair + impair = pair

    Avec un produit
    pair $\times$ ... = pair
    impair $\times $ impair = impair


    Pour démontrer qu'un entier $n$ est
    pair
    Méthode 1: On montre que $n=2 \times \text{un entier}$
    Méthode 2: On applique les propriétés

    impair
    Méthode 1: On montre que $n=2 \times \text{un entier}+1$
    Méthode 2: On applique les propriétés
  • Critère de divisibilité 
    Un nombre est divisible par:
        • 2
    si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.

        • 3
    si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
    On peut réappliquer la propriété sur la somme des chiffres!

        • 5
    si son chiffre des unités est 0 ou 5.

        • 9
    si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
    On peut réappliquer la propriété sur la somme des chiffres!

        • 10
    si son chiffre des unités est 0.
♦ Cours : nombres premiers Cours de math en vidéo
  • Définition 
    Un nombre premier est un entier naturel qui a exactement 2 diviseurs positifs, 1 et lui-même.

    $\boldsymbol{0}$
    0 n'est pas premier,
    car il a une infinité de diviseurs.

    $\boldsymbol{1}$
    1 n'est pas premier,
    car 1 n'a qu'un seul diviseur positif, lui-même.

    $\boldsymbol{2}$
    2 est premier,
    car 2 a bien deux diviseurs positifs, 1 et lui-même.

    $\boldsymbol{5}$
    5 est premier,
    car 5 a bien deux diviseurs positifs, 1 et lui-même.

    $\boldsymbol{9}$
    9 n'est pas premier,
    car 9 a trois diviseurs positifs: 1, 3 et lui-même.
  • Comment savoir si un nombre est premier  
    Pour savoir si un nombre $a$ est premier,
    on cherche ses diviseurs positifs.
    S'il en a un autre que 1 et lui-même, il n'est pas premier.
    S'il n'a comme diviseur positif que 1 et lui-même, il est premier.
    Pas la peine d'essayer tous les entiers entre 1 et $a$,
    Il suffit d'essayer ceux entre 2 et $\sqrt a$ !


    51
    51 n'est pas divisible par 2.
    51 est divisible par 3
    La somme des chiffres de 51 vaut 6 qui est divisible par 3.
    Donc 51 est divisible par 3.

    Donc 51 n'est pas premier
    Il a au moins 3 diviseurs: 1, 3 et lui-même.

    53
    On commence par calculer $\sqrt{53}\approx 7,28$
    Donc il suffit de chercher les diviseurs de 53
    que jusqu'à 7 et pas plus !


    53 n'est pas divisible par 2.
    53 n'est pas divisible par 3
    La somme des chiffres de 53 vaut 8 qui n'est pas divisible par 3.
    Donc 53 n'est pas divisible par 3.

    53 n'est pas divisible par 4
    Car sinon il serait divisible par 2.
    Or il n'est pas divisible par 2.

    53 n'est pas divisible par 5
    Car son chiffre des unités n'est pas 0 ou 5.

    53 n'est pas divisible par 6
    Car sinon il serait divisible par 2.
    Or il n'est pas divisible par 2.

    53 n'est pas divisible par 7
    53 n'est pas dans la table des 7.
    Sinon le faire à la calculatrice.


    Donc 51 est premier
    Car il n'y pas de diviseur positif,
    inférieur ou égaux à $\sqrt{53}$
    Donc $53$ est premier.
  • Décomposition en facteurs premiers  Cours de math en vidéo
    Tout entier supérieur ou égal à 2 se décompose en produit de facteurs premiers.
    Cette décomposition est unique (à l'ordre près des facteurs)

    $\boldsymbol{300}$
    $\begin{align} 300 &= 3\times 100 \\ &= 3\times 2\times 50 \\ &= 3\times 2\times 2\times 25\\ &= \underbrace{2^2\times 3 \times 5^2}_{\text{ Décomposition en }\\ \text{facteurs premiers}} \end{align}$
♦ Python : Comprendre l'opérateur modulo et à quoi il sert Cours de math en vidéo

Corrigé en vidéo
Exercices 1:

Placer


Parmi les nombres suivants, lesquels sont premiers?
     87      109      143      215
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Exercices 2:

Placer


Démontrer que:
    la somme de deux entiers pairs est paire.
    la somme d'un entier pair et impair est impaire.
    la somme de deux entiers impairs est paire.
Corrigé en vidéo
Exercices 3:

Placer


Démontrer que:
    le produit de deux entiers pairs est pair.
    le produit d'un entier pair et impair est pair.
    le produit de deux entiers impairs est impair.
Corrigé en vidéo
Exercices 4:

Ensemble


Démontrer par deux méthodes, que pour tout entier relatif $n$, $4n+5$ est un entier impair.

Corrigé en vidéo
Exercices 5:

Ensemble


On considère le nombre $A=n^2-1$. Quelle est la parité de A si $n$ est impair?

Corrigé en vidéo
Exercices 6:

Démonstration cours seconde - nombre pair - impair - Logique


Démontrer que si $a^2$ est un nombre pair alors $a$ est un nombre pair
(Penser à utiliser la contraposé)
Corrigé en vidéo
Exercices 7:

Décomposition en produit de facteurs premiers


Décomposer $450$ et $1197$ en produit de facteurs premiers.

Corrigé en vidéo
Exercices 8:

Tableau à compléter


Déterminer la liste des diviseurs positifs de 60.

Corrigé en vidéo
Exercices 9:

Placer


1) Décomposer 300 en produit de facteurs premiers.
2) En déduire les diviseurs positifs de 300.
Corrigé en vidéo
Exercices 10:

Nature d'un nombre


rendre une fraction irreductible
Corrigé en vidéo
Critère de divisibilité - Arithmétique - Seconde Maths
Exercices 11:

Dans chacun des cas suivants, déterminer les chiffres a, b, c :
1) 23a4 est divisible par 3
2) 23a4 est divisible par 3 mais pas par 9.
3) 23b5c est divisible par 3 et par 5.

Corrigé en vidéo
Exercices 12:

Algorithmique - programme python - nombre premier


Samuel affirme que la somme de quatre entiers consécutifs est toujours paire.
Ziad affirme que la somme de trois entiers consécutifs est toujours impaire.
Que penser de ces affirmations? Justifier.
Corrigé en vidéo
Exercices 13:

Algorithmique - programme python - nombre premier


Gaspard affirme que la somme de trois entiers consécutifs est toujours divisible par 3.
1) Que penser de cette affirmation? Justifier.
2) Que peut-on dire de la somme de quatre entiers consécutifs?
Corrigé en vidéo
Exercices 14:

Algorithmique - programme python - nombre premier


Sans calculatrice, indiquer si $14~400$ est le carré d'un entier. Justifier.
Corrigé en vidéo
Exercices 15:

Algorithmique - programme python - nombre premier


Sans calculatrice, indiquer si $253~253$ est un nombre premier. Justifier.
Corrigé en vidéo
Exercices 16:

Algorithmique - programme python - modulo - nombre pair ou impair


Dans chaque cas, écrire un programme en python qui affiche:
  1) si un nombre est divisible par 6 ou pas
  2) si un nombre est pair ou pas.
Corrigé en vidéo
Exercices 17:

Algorithmique - programme python - modulo et divisibilité


Ecrire un programme en python qui affiche tous les diviseurs positifs d'un entier naturel non nul.

Corrigé en vidéo
Exercices 18:

Algorithmique - programme python - Simplifier une fraction


Ecrire un programme en python pour simplifier une fraction et la rendre irréductible.

Corrigé en vidéo
Exercices 19:

Algorithmique - programme python - nombre premier


Ecrire un programme en python pour savoir si un nombre est premier ou pas.

Corrigé en vidéo
Exercices 20:

Algorithmique - programme python - nombre premier


On a $n$ allumettes. A tour de rôle, le joueur puis l'ordinateur prennent 1, 2 ou 3 allumettes. Celui qui prend la dernière allumette a perdu. Pour trouver la stratégie gagnante, remplir le tableau suivant:
Allumette: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
J'en prends:
Lorsqu'on a perdu dans tous les cas, on mettra P dans le tableau.
Pour 5 allumettes, on fera un arbre pour justifier.
Pour 6 allumettes, on fera une phrase pour justifier.
Écrire un programme en Python pour jouer contre l'ordinateur.
Amélioration: Vérifier que le joueur prend bien entre 1 et 3 allumettes.

Ensemble de nombre (En construction) : Exercices à Imprimer

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Qui sommes-nous? Nicolas Halpern-Herla
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES et STI depuis 23 ans
Créateur de jeux de stratégie: Agora et Chifoumi

Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES depuis 14 ans
Champion de France de magie en 2001: Magie