Calculer une longueur avec le produit scalaire

Conseils

Calculer une longueur avec le produit scalaire

Exercice type

Technique 1 : pour calculer une longueur avec le produit scalaire

Exercice type

Technique 2 : pour calculer une longueur avec le produit scalaire

Pour calculer une longueur avec le produit scalaire

Technique 1: On calcule un produit scalaire 2 manières différentes
Une avec la longueur qui nous intéresse et l'autre parmi une des méthodes suivantes:
- avec l'angle
- avec les coordonnées
- avec une décomposition
- en introduisant un repère orthonormé
Technique 2: Si on veut la longueur $\rm AC$, au lieu de calculer $\rm AC$, on calcule $\rm AC^2$
On écrit:
$\rm AC^2=\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AC}$
Maintenant, on va décomposer $\rm \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A...}+\overrightarrow{...C}$ avec la relation de Chasles
A vous de trouver le point qui correspond à $...$ selon l'exercice.

$\phantom{\rm AC^2}$$=\left(\overrightarrow{A...}+\overrightarrow{...C}\right)\cdot \left(\overrightarrow{A...}+\overrightarrow{...C}\right)$
Il ne reste plus qu'à développer avec la double distributivité.

Exercice 1: Calculer une longueur à l'aide d'un produit scalaire - première spé maths

Déterminer la longueur BC. On donnera la valeur exacte.

Exercice 2: Calculer une longueur à l'aide d'un produit scalaire - première spé maths

Un voilier est en V. Il est à 9 miles du phare A et 5 miles du phare B.

Déterminer la longueur AB. Arrondir au dixième.

Exercice 3: Calculer une longueur à l'aide d'un produit scalaire - première spé maths

$\rm ABCD$ est un parallélogramme:

Déterminer la longueur $\rm AC$.

Exercice 4: produit scalaire & parallélogramme - première spé maths

ABCD est un parallélogramme. $\rm AB=10$, $\rm AD=7$ et $\rm ID=5$. H est le projeté orthogonal du point D sur la droite (AB):

Calculer le produit scalaire $\rm \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}$.
En déduire $\cos(\widehat{\rm BAD})$
En déduire la longueur $\rm AH$.
En déduire l'aire du parallélogramme ABCD.

Exercice 5: Calculer une longueur à l'aide d'un produit scalaire - première spé maths

Dans le repère orthonormé ci-dessous, on a placé les points $\rm A$, $\rm B$ et $\rm C$. $\rm H$ est le projeté orthogonal de $\rm C$ sur $\rm (AB)$.

Déterminer la valeur exacte de $\rm AH$.

Exercice 6: Calculer une longueur à l'aide d'un produit scalaire - première spé maths

On sait que $\rm AB=8$ m, $\rm BC=6$ m et $\rm AC=4$ m.

Déterminer la longueur $\rm AH$.

Exercice 7: Calculer une longueur à l'aide d'un produit scalaire - première spé maths

Benjamin doit calculer les longueurs des côtés du triangle $\rm ABC$ ci-dessous rectangle en $\rm A$. $\rm H$ est le pied de la hauteur issue de $\rm A$.
Une tache d'encre l'en empêche. Comment peut-il faire?

Exercice 8: Calculer une longueur à l'aide d'un produit scalaire - première spé maths

$\rm ABC$ est un rectangle avec $\rm AB=6$ et $\rm AD=4$.

Montrer que $\rm \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=-20$.
En déduire que $\rm EF=\dfrac{10\sqrt {13}}{13}$.