Produit scalaire dans le plan - calcul de longueur et d'angle

Produit scalaire dans le plan

♦ Les différentes façons de calculer un produit scalaire:

Avec un angle

$\overrightarrow{\rm AB}\cdot \overrightarrow{\rm AC}=\rm AB\cdot AC\cdot \cos \widehat{BAC}=\rm AB\cdot AC\cdot \cos \alpha$

$\rm \widehat{BAC}$ est ce qu'on appelle un angle géométrique.
Sa mesure est toujours comprise entre 0 et 180°
ou en radian entre 0 et $\pi$ rad.
Penser à utiliser cette formule quand on connait
un angle et les 2 longueurs adjacentes.
Avec des vecteurs colinéaires

• Si les vecteurs sont colinéaires et de même sens:
$\overrightarrow{\rm AB}\cdot \overrightarrow{\rm AC}=\rm AB\cdot AC$

C'est un cas particulier de la formule:
$\overrightarrow{\rm AB}\cdot \overrightarrow{\rm AC}=\rm AB\cdot AC\cdot \cos \widehat{BAC}$
lorsque $\rm \widehat{BAC}=0$ et donc $\rm \cos\widehat{BAC}=1$

• Si les vecteurs sont colinéaires et de sens opposé:
$\overrightarrow{\rm AB}\cdot \overrightarrow{\rm AC}=-\rm AB\cdot AC$

C'est un cas particulier de la formule:
$\overrightarrow{\rm AB}\cdot \overrightarrow{\rm AC}=\rm AB\cdot AC\cdot \cos \widehat{BAC}$
lorsque $\rm \widehat{BAC}=\pi$ rad et donc $\rm \cos\widehat{BAC}=-1$
Avec les longueurs

$\overrightarrow{\rm AB}\cdot \overrightarrow{\rm AC}=\rm \dfrac12(AB^2+AC^2-BC^2)$

Penser à utiliser cette formule,
quand on connait les 3 longueurs dans un triangle.

Dans cet exemple:
$\overrightarrow{\rm AB}\cdot \overrightarrow{\rm AC}=\rm \dfrac12(5^2+4^2-3^2)=16$
Avec les coordonnées

$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=xx'+yy'$

avec $\overrightarrow{u}(x;y)$ et $\overrightarrow{v}(x';y')$

Pour calculer le produit scalaire avec les coordonnées,
il faut être dans un repère orthonormé !
Avec la projection orthogonale

$\rm \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AH}$

Et comme $\rm \overrightarrow{AB}$ et $\rm \overrightarrow{AH}$ sont colinéaires,
on se ramène à un calcul de produit scalaire
avec des vecteurs colinéaires, ce qui est plus simple.

$\rm \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AK}$

Et comme $\rm \overrightarrow{AC}$ et $\rm \overrightarrow{AK}$ sont colinéaires,
on se ramène à un calcul de produit scalaire
avec des vecteurs colinéaires, ce qui est plus simple.

On peut projeter,
soit le premier vecteur sur le deuxième
soit le deuxième vecteur sur le premier

Donc ne pas oublier qu'il y a deux possibilités !
Avec une décomposition

Penser à décomposer les vecteurs,
en utilisant les angles droits
ou les sommets de la figure.
Puis développer!

$\rm \overrightarrow{JB}\cdot \overrightarrow{JC}=(\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{AB})(\overrightarrow{JD}+\overrightarrow{DC})$
Conseils

Quand il y a un rectangle, un carré,
penser à introduire un repère orthonormé!

• Puis trouver les coordonnées des points qui vous intéressent.
• Puis calculer les coordonnées des vecteurs.
• Puis calculer le produit scalaire avec les coordonnées.

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Exercices 1:

Calculer un produit scalaire avec les projetés orthogonaux

$\rm ABCD$ est un carré de centre $\rm O$ et côté $2$.
Calculer les produits scalaires suivants:
$\overrightarrow{\rm AB}\cdot \overrightarrow{\rm CD}$
$\overrightarrow{\rm AB}\cdot \overrightarrow{\rm BD}$
$\overrightarrow{\rm CB}\cdot \overrightarrow{\rm AO}$
$\overrightarrow{\rm OA}\cdot \overrightarrow{\rm OB}$

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Exercices 2:

Calculer un produit scalaire avec la formule du cosinus

$\rm ABCD$ est un carré de côté $4$.
Calculer les produits scalaires suivants:
$\overrightarrow{\rm CE}\cdot \overrightarrow{\rm CB}$
$\overrightarrow{\rm EB}\cdot \overrightarrow{\rm EC}$
$\overrightarrow{\rm CD}\cdot \overrightarrow{\rm EC}$
$\overrightarrow{\rm CD}\cdot \overrightarrow{\rm CA}$

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Exercices 3:

Calculer un produit scalaire avec avec la formule du cosinus

$\rm ABCD$ est un losange de côté $2$ et $\rm BD=2$.
Calculer les produits scalaires suivants:
$\overrightarrow{\rm DB}\cdot \overrightarrow{\rm CA}$ $\overrightarrow{\rm CD}\cdot \overrightarrow{\rm AB}$
$\overrightarrow{\rm CA}\cdot \overrightarrow{\rm DC}$ $\overrightarrow{\rm BD}\cdot \overrightarrow{\rm DA}$
$\overrightarrow{\rm BD}\cdot \overrightarrow{\rm DB}$ $\overrightarrow{\rm DC}\cdot \overrightarrow{\rm AD}$

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Exercices 4:

Les 6 techniques pour calculer un produit scalaires

()

Dans chaque cas, calculer le produit scalaire $\overrightarrow{\rm AB}\cdot \overrightarrow{\rm AC}$:

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Exercices 5:

Maîtriser les formules pour calculer un produit scalaire et des normes

Dans un repère orthonormé, on considère deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ tels que:
$||\vec u||=2$ et $||\vec v||=5$ et $(\vec u ;\vec v)=\dfrac{5\pi}6$.
Calculer: $\vec u\cdot \vec v$ $(\vec v-\vec u)(\vec u+3\vec v)$ $||\vec u+\vec v||$ $||\vec u-2\vec v||$.

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Exercices 6:

Calculer un produit scalaire de deux façons différentes

$\rm ABCD$ est un rectangle. $\rm AD=6$ et $\rm DC=8$.
$\rm I$ est le milieu de $\rm [AB]$ et $\rm J$ celui de $\rm [BC]$.
1. A l'aide d'un repère bien choisi, calculer $\overrightarrow{\rm DI}\cdot \overrightarrow{\rm DJ}$.
2. Sans utiliser de coordonnées, calculer $\overrightarrow{\rm DI}\cdot \overrightarrow{\rm DJ}$.

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Exercices 7:

Calculer un angle à l'aide d'un produit scalaire

$\rm ABCD$ est un carré de côté $1$.
$\rm I$ est le milieu de $\rm [BC]$.
En calculant de deux manières $\overrightarrow{\rm DI}\cdot \overrightarrow{\rm DB}$,
déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\rm BDI}$ à 0,1 degré près.

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Exercices 8:

Utiliser un produit scalaire pour montrer que des droites sont perpendiculaires

$\rm ABCD$ est un carré de côté $1$.
$\rm I$ est le milieu de $\rm [BC]$ et $\rm J$ celui de $\rm [AB]$.
Démontrer que $\rm (AI)$ et $\rm (DJ)$ sont perpendiculaires:
a) à l'aide d'un repère.
b) sans utiliser de repère.

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Exercices 9:

Utiliser un produit scalaire pour montrer que des droites sont perpendiculaires

$\rm ABCD$ et $\rm AEFG$ sont des carrés. Démontrer que
les droites $\rm (AI)$ et $\rm (ED)$ sont perpendiculaires.

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Exercices 10:

Utiliser un produit scalaire pour savoir quand des droites sont perpendiculaires

$\rm ABCD$ est un rectangle. $\rm AB=5$ et $\rm AD=3$. $\rm E$ est un point de $\rm [DC]$.
Où placer le point $\rm E$ sur $\rm [DC]$ pour que les droites $\rm (AE)$ et $\rm (BD)$
soient perpendiculaires?

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Exercices 11:

Droite perpendiculaire

Sur la figure ci-contre, $\rm ABCD$ est un carré.
$\rm E$ est un point de $\rm [AB]$ et $F$ un point de $\rm [AD]$ tel que $\rm AE = AF$.
$\rm G$ est le milieu de $\rm [DE]$.
Montrer que $(AG)$ et $(BF)$ sont perpendiculaires.

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Exercices 12:

Calculer des longueurs à l'aide d'un produit scalaire

Dans le repère orthonormé ci-dessous, on a placé les points $\rm A$, $\rm B$ et $\rm C$.
$\rm H$ est le projeté orthogonal de $\rm C$ sur $\rm (AB)$.
Déterminer la valeur exacte de $\rm AH$.

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Exercices 13:

Calculer des longueurs à l'aide d'un produit scalaire

On sait que $\rm AB=8$ m, $\rm BC=6$ m et $\rm AC=4$ m.
Déterminer la longueur $\rm AH$.

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Exercices 14:

Calculer des longueurs à l'aide d'un produit scalaire

Benjamin doit calculer les longueurs des côtés du triangle $\rm ABC$ ci-dessous rectangle en $\rm A$.
$\rm H$ est le pied de la hauteur issue de $\rm A$.
Une tache d'encre l'en empêche. Comment peut-il faire?

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Exercices 15:

Calculer des longueurs à l'aide d'un produit scalaire

$\rm ABC$ est un rectangle avec $\rm AB=6$ et $\rm AD=4$.
1. Montrer que $\rm \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=-20$.
2. En déduire que $\rm EF=\dfrac{10\sqrt {13}}{13}$.

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Exercices 16:

Calculer un angle à l'aide du produit scalaire

Sur la figure ci-contre, $\mathrm{ABCD}$ est un carré.
$\mathrm{BCE}$ un triangle équilatéral de côté $1$.
1) Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\mathrm{ACE}}$ en radians.
2) On se place dans le repère orthonormé $(\rm A~;~\overrightarrow{\mathrm{AB}}~;~\overrightarrow{\mathrm{AD}})$.
a) Déterminer les coordonnées du point $\rm E$.
b) Calculer $\overrightarrow{\mathrm{CE}}.\overrightarrow{\mathrm{CA}}$.
3) En déduire que $\cos \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$.

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Exercices 17:

Hauteur d'un triangle sont concourantes

Le but de cet exercice est de montrer que les hauteurs d'un triangle sont concourantes.
Soit $\rm ABC$ un triangle.

Démontrer que pour tout point $M$ du plan, on a : $\overrightarrow{\rm AM}\cdot \overrightarrow{\rm BC} +\overrightarrow{\rm BM}\cdot \overrightarrow{\rm CA} + \overrightarrow{\rm CM}\cdot \overrightarrow{\rm AB} = 0$
Soit $\rm H$ le point d'intersection des hauteurs du triangle $\rm ABC$ issues de $\rm A$ et $\rm B$.
Démontrer à l'aide de l'égalité précédente que la troisième hauteur passe aussi par le point $\rm H$ et conclure.

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Exercices 18:

Inégalité de Cauchy-Schwarz

Soit $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs.
1. Démontrer l'inégalité suivante appelée "Inégalité de Cauchy-Schwarz": $|\vec u \cdot \vec v|\leqslant ||\vec u||\times ||\vec v||$.
2. Démontrer qu'il y a égalité si et seulement si $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires.