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Terminale S

Formule des probabilités totales
Evénement indépendant


Partition de l'univers

Cours en vidéo: comprendre la notion de partition Un peu de patience, la vidéo est bientôt prête
  • Faire une

    partition de l'univers

    c'est  
    découper l'univers en sous-ensembles qui soient:
    - non vides
    - 2 à 2 disjoints
    - quand on réunit les sous-ensembles, on obtient l'univers tout entier.




Formules des probabilités totales

Cours en vidéo: Comprendre et savoir appliquer la formule des probabilités totales Cours de math en vidéo
  • Formule des probabilités totales  
    $\rm{P}(\rm{B}_1)=p(A_1)\times P_{A_1}(B_1)+P(A_2)\times P_{A_2}(B_1)+...+P(A_n)\times P_{A_n}(B_1)$
    où $\rm A_1$, $\rm A_2$, $\rm A_3$,...,$\rm A_n$
    forment une partition de l'univers,
    et $\rm P(\rm A_1)\ne 0$, $\rm P(\rm A_2)\ne 0$, ..., $\rm P(\rm A_n)\ne 0$.

    Comme ça, ça parait abstrait,
    Mais avec un arbre pondéré, c'est très simple!

  • Formule des probabilités totales avec un arbre pondéré:
Chacun de ces cercles bleus s'appelle un noeud
La somme des probabilités qui partent d'un même noeud est toujours égale à 1
Le nombre de branches qui partent d'un même noeud n'est pas toujours le même.
0.6  
Le nombre indiqué ici est la probabilité de $\rm A_1$
Dans cet exemple, $\rm P(\rm A_1)=0.6$
0.1  
Le nombre indiqué ici est la probabilité de $\rm A_2$
Dans cet exemple, $\rm P(\rm A_2)=0.1$
0.3  
Le nombre indiqué ici est la probabilité de $\rm A_3$
Dans cet exemple, $\rm P(\rm A_3)=0.3$
0.2  
Le nombre indiqué ici est la probabilité de $\rm B_1$ sachant $\rm A_1$
Dans cet exemple, $\rm P_{A_1}(\rm B_1)=0.2$
0.7  
Le nombre indiqué ici est la probabilité de $\rm B_2$ sachant $\rm A_1$
Dans cet exemple, $\rm P_{A_1}(\rm B_2)=0.7$
0.1  
Le nombre indiqué ici est la probabilité de $\rm B_3$ sachant $\rm A_1$
Dans cet exemple, $\rm P_{A_1}(\rm B_3)=0.1$
0.4  
Le nombre indiqué ici est la probabilité de $\rm B_1$ sachant $\rm A_2$
Dans cet exemple, $\rm P_{A_2}(\rm B_1)=0.4$
0.6  
Le nombre indiqué ici est la probabilité de $\rm B_2$ sachant $\rm A_2$
Dans cet exemple, $\rm P_{A_2}(\rm B_2)=0.6$
0.8  
Le nombre indiqué ici est la probabilité de $\rm B_1$ sachant $\rm A_3$
Dans cet exemple, $\rm P_{A_3}(\rm B_1)=0.8$
0.2  
Le nombre indiqué ici est la probabilité de $\rm B_3$ sachant $\rm A_3$
Dans cet exemple, $\rm P_{A_3}(\rm B_3)=0.2$
$0.6\times 0.2$  
$0.6\times 0.2=\rm P(\rm A_1\cap \rm B_1)$
Quand on multiplie les probabilités le long d'une branche,
on obtient la probabilité de l'intersection
des événements qui sont sur cette branche.
$0.1\times 0.4$  
$0.1\times 0.4=\rm P(\rm A_2\cap \rm B_1)$
Quand on multiplie les probabilités le long d'une branche,
on obtient la probabilité de l'intersection
des événements qui sont sur cette branche.
$0.3\times 0.8$  
$0.3\times 0.8=\rm P(\rm A_3\cap \rm B_1)$
Quand on multiplie les probabilités le long d'une branche,
on obtient la probabilité de l'intersection
des événements qui sont sur cette branche.
$\rm P(\rm B_1)=$  
Pour déterminer $\rm P(\rm B_1)$:
1) On trouve tous les chemins qui mènent à $\rm B_1$.
Il y a 3 chemins qui mènent à $\rm B_1$:
- $\rm A_1\cap\rm B_1$
- $\rm A_2\cap\rm B_1$
- $\rm A_3\cap\rm B_1$

2) On trouve les probabilités de chacun de ces chemins.
$P(\rm A_1\cap\rm B_1)=0.6\times 0.2$
$P(\rm A_2\cap\rm B_1)=0.1\times 0.4$
$P(\rm A_3\cap\rm B_1)=0.3\times 0.8$

3) On fait la somme de ces résultats: $\rm P(\rm B_1)=0.6\times 0.2+0.1\times 0.4+0.3\times 0.8=0.4$.
Formule des probabilités totales!





Evénement indépendant

Cours en vidéo: comprendre et savoir démontrer que 2 événements sont indépendants Cours de math en vidéo
  • 3 façons de dire que A et B sont indépendants  
    A et B sont indépendants $\Leftrightarrow \rm P(\rm A\cap \rm B)=\rm P(\rm A)\times \rm P(\rm B)$

    A et B sont indépendants $\Leftrightarrow \rm P_{\rm A}(\rm B)=P(\rm B)$
    sous réserve que $\rm{P}(\rm{A})\ne 0$.


    A et B sont indépendants $\Leftrightarrow \rm P_{\rm B}(\rm A)=P(\rm A)$
    sous réserve que $\rm{P}(\rm{B})\ne 0$.
  • 3 façons de démonter que A et B sont indépendants ou pas  
    Méthode 1: On calcule $\rm P(\rm A\cap \rm B)$  
    si $\rm P(\rm A\cap \rm B)=\rm P(\rm A)\times \rm P(\rm B)$ alors A et B sont indépendants.
    si $\rm P(\rm A\cap \rm B)\ne\rm P(\rm A)\times \rm P(\rm B)$ alors A et B ne sont pas indépendants.


    Méthode 2: On calcule $\rm P_\rm A(\rm B)$  
    Si $\rm P_\rm A(\rm B)=\rm P(\rm B)$ alors A et B sont indépendants.
    Si $\rm P_\rm A(\rm B)\ne\rm P(\rm B)$ alors A et B ne sont pas indépendants.
    Avant de faire le calcul, vérifier que $\rm P(\rm A)\ne 0$.


    Méthode 3: On calcule $\rm P_\rm B(\rm A)$  
    Si $\rm P_\rm B(\rm A)=\rm P(\rm A)$ alors A et B sont indépendants.
    Si $\rm P_\rm B(\rm A)\ne\rm P(\rm A)$ alors A et B ne sont pas indépendants.
    Avant de faire le calcul, vérifier que $\rm P(\rm B)\ne 0$.
  • Si A et B sont indépendants alors  
    \[\left\{\begin{array}{l} \text{A et } \overline B \text{ sont aussi indépendants.}\\ \overline A \text{ et B sont aussi indépendants.}\\ \overline A \text{ et }\overline B \text{ sont aussi indépendants.} \end{array}\right.\]
  • Ne pas confondre indépendant et incompatible  
    Dire que A et B sont incompatibles signifie
    A et B sont incompatibles signifie qu'ils ne peuvent se réaliser en même temps
    Autrement dit: A et B sont incomptabibles $\Leftrightarrow$ leur intersection est vide $\Leftrightarrow \rm A\cap B= \varnothing$


    Dire que A et B sont indépendants signifie
    A et B sont indépendants signifie que l'un n'influe pas sur l'autre
    Dit mathématiquement: A et B sont indépendants $\Leftrightarrow \rm P_\rm B(\rm A)=\rm P(\rm A)$
    où A et B sont non vides.


    Exemple:
    A:"Obtenir un nombre pair"
    B:"Obtenir un nombre impair"
    A et B sont incompatibles car $\rm A\cap B=\varnothing$
    A et B ne sont pas indépendants.
    Car si on sait qu'on a obtenu un nombre pair,
    on sait qu'on peut ne pas obtenir un nombre impair.
    L'un influe sur l'autre.

Corrigé en vidéo
Exercices 1:

Probabilités conditionnelles - Arbre pondéré - intersection


A et B sont deux évènements tels que $\rm P(A)=0,4$, $\rm P(B)=0,16$ et $\rm P(A\cap \overline{B})=0,3$. Déterminer $\rm P_{\overline{A}}\overline{B}$.

Corrigé en vidéo
Exercices 2:

Formule des probabilités totales et arbre pondéré


Une maladie se propage dans une population. On sait que:
   20% de la population est vaccinée.
   95% des personnes vaccinées ne sont pas malades.
   6% de la population est malade.
Déterminer la probabilité pour un individu non vacciné d'être malade. Commenter ce résultat.
Corrigé en vidéo
Exercices 3:

Probabilités conditionnelles - D'après sujet de Bac


Un sportif est choisi au hasard dans un groupe pour subir un contrôle antidopage.
On appelle T l'évènement: « Le contrôle est positif». D'après les statistiques, on admet que $\rm P(T)=0,05$.
On appelle D l'évènement: « Le coureur est dopé».
Le contrôle antidopage n'étant pas fiable à 100%, on sait que:
   Si un coureur est dopé, le contrôle est positif dans 97% des cas.
   Si un coureur n'est pas dopé, le contrôle est positif dans 1% des cas.
1) On note $p$ la probabilité de D. Déterminer $p$ à l'aide d'un arbre pondéré.
2) Un coureur a un contrôle positif. Quelle est la probabilité qu'il ne soit pas dopé?
Corrigé en vidéo
Exercices 4:

Évènements indépendants


Dans l'urne ci-contre, il y a des jetons numérotés de différentes couleurs.
On tire au hasard un jeton dans cette urne.
On considère les évènements suivants:
R: « le jeton tiré est rouge »,
B: « le jeton tiré est bleu »
I: « le numéro du jeton tiré est impair »
1) Les évènements R et I sont-ils indépendants?
2) Les évènements B et I sont-ils indépendants?
Corrigé en vidéo
Exercices 5:

Condition pour que deux évènements soient indépendants


Dans l'urne ci-contre, il y a des jetons numérotés de différentes couleurs.
On tire au hasard un jeton dans cette urne.
On considère les évènements suivants:
B: « le jeton tiré est bleu »
I: « le numéro du jeton tiré est impair »
1) Les évènements B et I sont-ils indépendants?
2) Combien faut-il rajouter de jetons bleus numérotés 1
    pour que les évènements B et I soient indépendants?

Corrigé en vidéo
Exercices 6:

Probabilités conditionnelles et suite - D'après sujet de Bac


On considère des sacs de billes $\rm S_1$, $\rm S_2$, $\rm S_3$, ...tels que $\rm S_1$ contient 3 billes jaunes et 2 billes vertes.
Chacun des sacs suivants $\rm S_2$, $\rm S_3$, ... contient 2 billes jaunes et 2 billes vertes.
On tire au hasard une bille de $\rm S_1$ et on la met dans $\rm S_2$.
Puis on tire une bille de $\rm S_2$ et on la met dans $\rm S_3$. Et ainsi de suite.
Pour tout entier $n\ge 1$, on note $\rm E_n$ l'évènement « la bille tirée dans $\rm S_n$ est verte » et $\rm{P}(\rm{E}_n)$ sa probabilité.
1) Déterminer $\rm{P}(\rm{E}_1)$, $\rm{P}_{\rm{E}_1}(\rm{E}_2)$ , $\rm{P}_{\overline{\rm{E}_1}}(\rm{E}_2)$ puis $\rm P(E_2)$.
2) A l'aide d'un arbre pondéré, exprimer $\rm{P}(\rm{E}_{n+1})$ en fonction de $\rm{P}(\rm{E}_n)$.
3) Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_1=0,4$ et pour tout entier $n\ge 1$, $u_{n+1}=0,2 u_n+0,4$.
   a) Démontrer que la suite $(u_n)$ est majorée par $0,5$.
   b) Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
   c) Justifier que la suite $(u_n)$ est convergente et préciser sa limite.

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Qui sommes-nous? Nicolas Halpern-Herla
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Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES depuis 12 ans
Champion de France de magie en 2001: Magie