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Terminale S

Probabilité conditionnelle - Arbre pondéré


Probabilité conditionnelle

Cours en vidéo: comprendre la définition des probabilités conditionnelles Cours de math en vidéo
  • \[\rm{P}_{\rm{A}}(\rm{B})\]

    se lit 
    probabilité de B sachant A
  • \[\rm{P}_{\rm{A}}(\rm{B})=\] 
    \[\rm{P}_{\rm{A}}(\rm{B})=\frac{\rm{P}(\rm{A}\cap\rm{B})}{\rm{P}(\rm{A})}\]
    - $\rm{P}$ est une probabilité sur un univers $\Omega$.
    - A et B sont 2 événements.
    - P(A)$\ne 0$
  • \[\rm{P}_{\rm{A}}(...)\]

    n'a de sens que si  
    $\rm{P}(\rm{A})\ne 0$
  • Comment appliquer la formule \[\rm{P}_{\rm{A}}(\rm{B})\]
    Tout est expliqué en vidéo
    Cours de math en vidéo
  • Comment traduire un énoncé à l'aide des probabilités conditionnelles
    Tout est expliqué en vidéo
    Cours de math en vidéo




Propriétés
Cours en vidéo: comprendre les propriétés des

probabilités conditionnelles

Cours de math en vidéo
  • $\rm{P}_A$ est une probabilité
    donc $\rm{P}_\rm{A}(\rm{B})$ est un nombre toujours compris 
    entre 0 et 1.
  • $\rm{P}_\rm{A}(\rm{A})=$ 
    $\rm{P}_\rm{A}(\rm{A})=1$
    sous réserve que $\rm{P}(\rm{A})\ne 0$.
  • 2 façons de calculer $\rm{P}(\rm{A}\cap\rm{B})=$ 
      $\rm{P}(\rm{A}\cap\rm{B})=\rm{P}(\rm{A})\times P_A(B)$
    Quand on connait $\rm P(A)$ et $\rm P_A(B)$
    penser calculer $\rm P(A\cap B)$ à l'aide de cette formule.

    et
      $\rm{P}(\rm{A}\cap\rm{B})=\rm{P}(\rm{B})\times P_B(A)$
    Quand on connait $\rm P(B)$ et $\rm P_B(A)$
    penser calculer $\rm P(A\cap B)$ à l'aide de cette formule.

    En général,
    $\rm P(A\cap B)$ n'est pas égal à $\rm P(A)\times P(B)$

  • $\rm{P}_\rm{A}\left(\rm{\overline B}\right)=$ 
    $\rm{P}_\rm{A}\left(\rm{\overline B}\right)=1-\rm{P}_\rm{A}(\rm{B})$
    sous réserve que $\rm{P}(\rm{A})\ne 0$.
  • Si A et B sont incompatibles $\rm{P}_\rm{A}(\rm{B})=$ 
    Si A et B sont incompatibles alors $\rm{P}_\rm{A}(\rm{B})=0$
    sous réserve que $\rm{P}(\rm{A})\ne 0$.

    Incompatible signifie que A et B ne peuvent se produire en même temps
    c'est à dire que $\rm{A}\cap\rm{B}=\varnothing$




Arbre pondéré

Cours en vidéo: comment construire et utiliser un arbre pondéré Cours de math en vidéo
Chacun de ces cercles bleus s'appelle un noeud
La somme des probabilités qui partent d'un même noeud est toujours égale à 1
Le nombre de branches qui partent d'un même noeud n'est pas toujours le même.
0.6  
Le nombre indiqué ici est la probabilité de $\rm A_1$
Dans cet exemple, $\rm P(\rm A_1)=0.6$
0.1  
Le nombre indiqué ici est la probabilité de $\rm A_2$
Dans cet exemple, $\rm P(\rm A_2)=0.1$
0.3  
Le nombre indiqué ici est la probabilité de $\rm A_3$
Dans cet exemple, $\rm P(\rm A_3)=0.3$
0.2  
Le nombre indiqué ici est la probabilité de $\rm B_1$ sachant $\rm A_1$
Dans cet exemple, $\rm P_{A_1}(\rm B_1)=0.2$
0.7  
Le nombre indiqué ici est la probabilité de $\rm B_2$ sachant $\rm A_1$
Dans cet exemple, $\rm P_{A_1}(\rm B_2)=0.7$
0.1  
Le nombre indiqué ici est la probabilité de $\rm B_3$ sachant $\rm A_1$
Dans cet exemple, $\rm P_{A_1}(\rm B_3)=0.1$
0.4  
Le nombre indiqué ici est la probabilité de $\rm C_1$ sachant $\rm A_3\cap B_1$
Dans cet exemple, $\rm P_{A_3\cap B_1}(\rm C_1)=0.4$
0.6  
Le nombre indiqué ici est la probabilité de $\rm C_2$ sachant $\rm A_3\cap B_1$
Dans cet exemple, $\rm P_{A_3\cap B_1}(\rm C_2)=0.6$
0.8  
Le nombre indiqué ici est la probabilité de $\rm B_1$ sachant $\rm A_3$
Dans cet exemple, $\rm P_{A_3}(\rm B_1)=0.8$
0.2  
Le nombre indiqué ici est la probabilité de $\rm B_3$ sachant $\rm A_3$
Dans cet exemple, $\rm P_{A_3}(\rm B_3)=0.2$
$0.6\times 0.2$  
$0.6\times 0.2=\rm P(\rm A_1\cap \rm B_1)$
Quand on multiplie les probabilités le long d'un chemin,
on obtient la probabilité de l'intersection
des événements qui sont sur ce chemin.
$0.3\times 0.8\times 0.4$  
$0.3\times 0.8\times 0.4=\rm P(\rm A_3\cap \rm B_1\cap C_1)$
Quand on multiplie les probabilités le long d'un chemin,
on obtient la probabilité de l'intersection
des événements qui sont sur ce chemin.

Corrigé en vidéo
Exercices 1: Calculer des

probabilités conditionnelles


On lance deux dés, non truqués, un rouge et un bleu, dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
Quelle est la probabilité que la somme des faces obtenues soit égale à 6 sachant qu'on a obtenu
1 avec au moins un des 2 dés.
Corrigé en vidéo
Exercices 2: Savoir traduire un énoncé en terme de probabilité conditionnelle
Dans une classe, on considère les évènements F:« l'élève est une fille» et B:« l'élève est blond(e)».
Traduire chaque phrase en terme de probabilité:
1) Un cinquième des filles sont blondes.
2) La moitié des blonds sont des filles.
3) Trois huitièmes des élèves sont des garçons.
4) Un élève sur huit est une fille blonde.
Corrigé en vidéo
Exercices 3: Déterminer la probabilité d'une intersection à l'aide d'un arbre pondéré
E et F sont deux évènements tels que $\rm{P(E)}=0,4$ et $\rm{P_E(F)}=0,9$. Déterminer $\rm P(E\cap \overline{F})$.

Exercices 4: Probabilité conditionnelle et arbre pondéré
Dans une classe, 80% des élèves ont un téléphone portable.
Parmi eux, 60% ont une connexion internet sur leur téléphone.
Quelle est la probabilité qu'un élève choisi au hasard ait un portable sans connexion internet.
Corrigé en vidéo
Exercices 5: Lien entre probabilité conditionnelle, intersection et union
A et B sont deux évènements tels que $\rm P(A)=0,4$, $\rm P_B(A)=0,2$ et $\rm P(A\cup B)=0.8$.
Déterminer $\rm P(A\cap B)$.
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Exercices 6: Déterminer une probabilité conditionnelle à l'aide d'un diagramme de Venn
A et B sont deux évènements tels que $\rm P(A)=0,4$, $\rm P(B)=0,16$ et $\rm P(A\cap \overline{B})=0,3$.
Déterminer $\rm P_{\overline{A}}\overline{B}$.

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Exercices 7: Comment faire un arbre pondéré quand on ne connait pas toutes les probabilités
Dans une tombola, il y a des tickets bleus et d'autres pas bleus.
Un tiers des tickets bleus sont gagnants. Un ticket sur sept est bleu et gagnant.
On nous donne un ticket au hasard. Déterminer la probabilité d'avoir un ticket pas bleu.
Corrigé en vidéo
Exercice 8: Traduire l'énoncé, construire un arbre pondéré, calculer des probabilités
En France, la proportion de gauchers est de 16%. On compte 3 gauchers hommes pour 2 gauchères.
Quelle est la probabilité qu'un français choisi au hasard soit une gauchère?
Corrigé en vidéo
Exercice 9: Probabilité conditionnelle, arbre, espérance maximum
Un jeu consiste à tirer successivement et sans remise 2 boules d'une urne. Pour jouer, il faut payer 3€ . Cette urne contient $k$ boules, avec $k\ge 10$, dont 7 noires. Les autres boules sont blanches.
     • Si aucune des boules tirées n'est noire, le joueur reçoit 3€.
     • Si une seule boule est noire, le joueur reçoit 13€.
     • Dans les autres cas, il ne reçoit rien.
On note $\rm X$, la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur.
1) Déterminer la loi de probabilité de $\rm X$.
2) Montrer que l'espérance ${\rm E(X)}=\frac{14(10k-79)}{k^2-k}$.
3) Déterminer $k$ de façon à ce que $\rm E(X)$ soit maximale.

probabilité conditionnelle, arbre pondéré : Exercices à Imprimer

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Qui sommes-nous? Nicolas Herla
Agrégé de Mathématiques
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Créateur de jeux de stratégie: Agora et Chifoumi

Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES depuis 12 ans
Champion de France de magie en 2001: Magie