Probabilités conditionnelles

Voici la répartition des élèves de première d'un lycée selon leur genre et s'ils sont gauchers ou droitiers:

	Gaucher	Droitier	Total
Garçon	$12$	$79$	$91$
Fille	$10$	$75$	$85$
Total	$22$	$154$	$176$

On choisit un élève au hasard. On note les événements :

• $\bullet$ F: « L'élève choisit est une fille »
• $\bullet$ D: « L'élève choisit est droitier »

1. Quelle est la probabilité qu'il soit gaucher?
2. Quelle est la probabilité que ce soit une fille gauchère?
3. Calculer ${\rm P}_{\rm F}(\rm D)$ puis ${\rm P}_{\rm D}(\rm F)$.

Compléter l'arbre de probabilités ci-dessous sachant que:
$\bullet~ \rm p(A)=0,4$     $\bullet~ \rm p_A(B)=0,1$     $\bullet~ \rm p_{\overline A}(B)=0,7$

1. Compléter l'arbre de probabilités ci-dessous:
   
2. À l'aide de cet arbre :
   1. Donner $\rm p(\overline C)$, $\rm p_{\overline C}(D)$.
   2. Déterminer $\rm p(\rm C \cap D)$.
   3. Déterminer ${\rm p}(\rm D)$.

1. Compléter l'arbre de probabilités ci-dessous:
   
2. À l'aide de cet arbre :
   1. Calculer $\rm p(\rm C \cap D)$ puis ${\rm p}(\rm D)$.
   2. En déduire $\rm p_{D}(\rm C)$.

Un joueur de tennis réussit sa première balle de service avec une probabilité de $0,7$. S'il ne réussit pas sa première balle de service, il réussit sa seconde balle de service avec une probabilité de $0,9$. On note les événements:
$\bullet$ $\rm R_1$ : « Il réussit sa première balle de service. »
$\bullet$ $\rm R_2$ : « Il réussit sa deuxième balle de service. »

1. Représenter la situation par un arbre de probabilités.
2. Quelle est la probabilité qu'il commette une double faute?

On souhaite tester l'efficacité d'un nouveau médicament destiné à lutter contre l'excès de cholestérol. Des essais sont faits sur un échantillon de patients présentant un excès de cholestérol dans le sang. Certains patients reçoivent le médicament tandis que d'autres reçoivent un placebo (comprimé sans principe actif). La répartition est indiquée dans le tableau ci-dessous:

	Placebo	Médicament
Guéri	$12$	$119$
Non guéri	$48$	$21$

On choisit un patient au hasard et on note les événements:

• $\bullet$ M: « Le patient a reçu le médicament. »
• $\bullet$ G: « Le patient est guéri. »

Déterminer les probabilités suivantes: