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Inéquation du premier degré

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Conseils
Résoudre une inéquation

Pour résoudre une inéquation du premier degré, on procède comme pour les équations du premier degré :
on isole $x$ en faisant la même opération des deux côtés.

  • La différence fondamentale : lorsqu’on multiplie ou divise les deux côtés par un nombre négatif, on change le sens de l’inégalité.

✏️ Exemple : Résoudre $1-2x<5$

$1-2x<5$
$-1$
(Quand on enlève (ici $1$) ou qu’on rajoute, on ne change jamais le sens de l’inégalité.)
$-2x<4$
On divise par $-2$ des deux côtés.
(On change le sens de l’inégalité.)
$x>\dfrac{4}{-2}$
On simplifie.
$x>-2$
Solutions de x strictement supérieur à moins 2 La demi-droite à droite de moins 2 est représentée par un trait bleu épais. Un cercle vide indique que moins 2 est exclu. −2Solutions

L’ensemble des solutions est $\rm S=\left]-2\,;+\infty\right[$.

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🎯 Règles dans une inégalité

Quand on multiplie ou divise les deux côtés par un nombre négatif, on change le sens de l’inégalité. Avec un nombre positif, on conserve le sens.

✏️ Exemple : diviser par un nombre négatif

$2<3$
On divise par $-1$, qui est négatif.
(On change le sens de l’inégalité.)
$-2>-3$

Ce qui est vrai : $-2$ est bien plus grand que $-3$ !

Quand on additionne ou soustrait une même quantité des deux côtés, on ne change jamais le sens de l’inégalité.

✏️ Exemple : Résoudre $5x+1<7+3x$

$5x+1<7+3x$
$-3x$
(Quand on enlève (ici $3x$) ou qu’on rajoute, on ne change jamais le sens de l’inégalité.)
$2x+1<7$

🎯 Méthode pour résoudre une inéquation du premier degré

1. Isole $x$ en faisant la même opération des deux côtés. N’oublie pas de changer le sens de l’inégalité si tu multiplies ou divises par un nombre négatif.

2. Donne l’ensemble des solutions sous la forme d’un intervalle.

✏️ Exemple : Résoudre $5x+1<7+3x$

$5x+1<7+3x$
$-3x$
(Quand on enlève (ici $3x$) ou qu’on rajoute, on ne change jamais le sens de l’inégalité.)
$2x+1<7$
$-1$
(Quand on enlève (ici $1$) ou qu’on rajoute, on ne change jamais le sens de l’inégalité.)
$2x<6$
On divise par $2$, qui est positif.
(On ne change donc pas le sens de l’inégalité.)
$x<3$
Solutions de x strictement inférieur à 3 La demi-droite à gauche de 3 est représentée par un trait bleu épais. Un cercle vide indique que 3 est exclu. 3Solutions

L’ensemble des solutions est $\rm S=\left]-\infty\,;3\right[$.

Exercice 1: Inéquations du premier degré : isoler x et changer le sens de l’inégalité

Résoudre dans $\mathbb{R}$ chaque inéquation:
$\color{red}{\textbf{a. }} 3x+2\gt 8$ $\color{red}{\textbf{b. }} -2x+1\lt 7$ $\color{red}{\textbf{c. }} -5x\geqslant -10$ $\color{red}{\textbf{d. }} \dfrac {2x}5\lt 4$

Exercice 2: Inéquations : coefficients fractionnaires et inconnue dans les deux membres

Résoudre dans $\mathbb{R}$ chaque inéquation:
$\color{red}{\textbf{a. }} \dfrac{7x}3\leqslant 0$ $\color{red}{\textbf{b. }} -x+5\gt 3$ $\color{red}{\textbf{c. }} x+3\lt 4-x$

Exercice 3: Inéquations avec x des deux côtés et résultats fractionnaires

Résoudre dans $\mathbb{R}$ chaque inéquation:
$\color{red}{\textbf{a. }} 1-2x\geqslant 7+x$ $\color{red}{\textbf{b. }} \dfrac x2+3\leqslant \dfrac 12$

Exercice 4: Inéquations du premier degré avec fractions : résoudre étape par étape

Résoudre dans $\mathbb{R}$ chaque inéquation:
$\color{red}{\textbf{a. }} \dfrac x2+3\leqslant \dfrac 13$ $\color{red}{\textbf{b. }} \dfrac{x-3}{5}\geqslant 1$ $\color{red}{\textbf{c. }} \dfrac{1-5x}{2}\lt 3-x$

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