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Terminale S

Primitive d'une fonction


Qu'est-ce qu'une primitive
♦ Pour le savoir, regarde le cours en vidéo Cours de math en vidéo
  • F est une primitive de f sur un intervalle I, si 
    F est une primitive de f sur un intervalle I, si:
    • F est dérivable sur I
    • pour tout x de I, F'(x)=f(x)
  • Si F est une primitive de f sur I, alors les primitives de f 
    les primitives de f sont de la forme x→F(x)+k
    Autrement dit, si F et G sont 2 primitives de f alors la fonction F-G est constante
  • Si F est une primitive de f sur I, quels que soient x0 de I et y0  
    il existe une unique primitive G de f telle que G(x0)=y0
    Autrement dit, il existe une seule primitive dont la courbe passe par un point donné (x0;y0)
  • Toute fonction continue sur un intervalle 
    Toute fonction continue sur un intervalle, admet des primitives sur cet intervalle.




Quelles sont les formules sur les primitives et comment les retenir

♦ Pour le savoir, regarde le cours en vidéo Cours de math en vidéo
Il suffit de dériver la 2ième colonne pour obtenir la 1ère
C'est tout simplement le tableau des dérivés à l'envers !
Primitives des fonctions usuelles
f(x)F une primitive de fValiditéExemple
k constante  
$F(x)=kx$
\(\mathbb{R}\) f(x) = 3 F(x)=
\[F(x)=3x\]
    
x  
$F(x)=\frac 12 x^2$
\(\mathbb{R}\)
$x^n$
n: est un entier positif
 
$F(x)=\frac 1{n+1} x^{n+1}$
\(\mathbb{R}\) f(x) = x4 F(x)=
$F(x)=\frac 15 x^5$
    
\[\frac 1{x^n}\]
$n$ est entier et $n\ge 2$
Penser à écrire: \[\frac 1{x^n}=x^{-n}\]
 
$F(x)=\frac1{-n+1}x^{-n+1}$
]-∞;0[∪]0;+∞[ $\frac 1{x^4}$ F(x)=
\[F(x)=\frac1{-3}x^{-3}=-\frac 1{3x^3}\]
    
\[\frac 1x\]  
$F(x)=\ln x$
]0;+∞[
\[\frac 1{\sqrt x}\]  
$F(x)=2\sqrt x$
]0;+∞[
$e^x$  
$F(x)=e^x$
\(\mathbb{R}\)
eax
a: réel non nul
 
\[F(x)=\frac {e^{ax}}{a}\]
\(\mathbb{R}\) $f(x)=e^{-2x}$ F(x)=
\[F(x)=-\frac {e^{-2x}}{2}\]
    
sin x  
\[F(x)=-\cos x\]
\(\mathbb{R}\)
cos x  
\[F(x)=\sin x\]
\(\mathbb{R}\)

Il suffit de dériver la 2ième colonne pour obtenir la 1ère
C'est tout simplement le tableau des dérivés à l'envers !
Primitives des fonctions composées
f(x)F une primitive de fConditionExemple
\[u'u^n\]
n: est un entier positif
    
 
\[F=\frac 1{n+1} u^{n+1}\]
aucune f(x) = (2x+1)(x²+x)4 F(x)=
\[F(x)=\frac 15 \left( x^2+x\right)^5\]
    
\[\frac{u'}{u^n}\]
$n$ est entier et $n\ge 2$
Penser à écrire: \[\frac {u'}{u^n}=u'\cdot u^{-n}\]
 
\[F=\frac 1{-n+1}u^{-n+1}\]
u ne s'annule pas sur I f(x) =
2x+1 / (x²+x)4
F(x)=
\[F(x)=-\frac 13 \left( x^2+x\right)^{-3}\]
    
\[\frac {u'}u\]  
\[F=\ln u\]
u strictement positive sur I f(x) =
2x / x²+1
F(x)=
\[F(x)=\ln\left(x^2+1\right)\]
    
\[\frac {u'}{\sqrt u}\]  
\[F=2\sqrt u\]
u strictement positive sur I f(x) =
2x+2 / x²+2x+2
F(x)=
\[F(x)=2\sqrt{x^2+2x+2}\]
    
\[u'e^u\]  
\[F=e^u\]
aucune f(x)=-2x×e1-x² F(x)=
\[F(x)=e^{1-x^2}\]
    
u est une fonction dérivable sur un intervalle I







Comment déterminer une primitive

♦ Pour le savoir, regarde le cours en vidéo Cours de math en vidéo
Trouve les primitives en ligne, clique ici !





Exercices 1:

Vérifier qu'une fonction est une primitive d'une autre


Exercices 2:

Vérifier qu'une fonction F est une primitive de f


On considère les fonctions \(F\) et \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \[F(x)=\frac13(2x+1)^3\] et \(f(x)=(2x+1)^2\).
\(F\) est-elle une primitive de \(f\)? Justifier.
Corrigé en vidéo!
Exercices 3: Déterminer une primitive d'une fonction du type \[x^n\], \[\frac1{x^n}\], \[\frac1x\], avec des puissances
Déterminer, dans chaque cas, une primitive \(F\) de la fonction \(f\) sur l'intervalle I:
a) \[f(x)=\frac{2x^4}3\] et I=\(\mathbb{R}\)b) \[f(x)=\frac5{2x^3}\] et I=\(]0;+\infty[\)
c) \[f(x)=\frac5{7x}\] et I=\(]0;+\infty[\)d) \[f(x)=-\frac{3}{x^2}+\frac 2{5x}+3x-2\] et I=\(]0;+\infty[\)
Corrigé en vidéo!
Exercices 4:

Déterminer une primitive d'une fonction avec un quotient

Déterminer, dans chaque cas, une primitive \(F\) de la fonction \(f\) sur l'intervalle I:
a) \[f(x)=\frac5{2x-1}\] et I=\(]\frac12;+\infty[\)b) \[f(x)=\frac{x+2}{(x^2+4x)^3}\] et I=\(]0;+\infty[\)
c) \[f(x)=\frac{\ln x}x\] et I=\(]0;+\infty[\)
Exercices 5:

Primitive de la fonction ln (logarithme népérien)


On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0;+\infty[\) par \[f(x)=x\ln x\].
1) Déterminer \(f'(x)\).
2) En déduire une primitive de la fonction ln.
Exercices 6: Déterminer une primitive de f
Déterminer, dans chaque cas, une primitive \(F\) de la fonction \(f\) sur l'intervalle I:
a) \[f(x)=e^{2x}\] et I=\(\mathbb{R}\) b) \[f(x)=\frac 1{\sqrt x}\] et I=\(]0;+\infty[\) c) \[f(x)=\sin x+\cos{2x}\] et I=\(\mathbb{R}\)
Corrigé en vidéo!
Exercices 7:

Déterminer a et b puis une primitive à l'aide d'une décomposition

On considère la fonction \(f\) définie sur \(]1;+\infty[\) par \[f(x)=\frac{x-6}{(x-1)^2}\].
1) Déterminer deux réels \(a\) et \(b\) tels que pour tout \(x\in]1;+\infty[\), \[f(x)=\frac a{x-1}+\frac b{(x-1)^2}\].
2) En déduire une primitive \(F\) de \(f\) sur \(]1;+\infty[\).
Exercices 8:

Déterminer la primitive vérifiant ... - passant par un point donné


On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \[f(x)=\frac{x^2+x+1}4\].
Déterminer la primitive \(F\) de \(f\) dont la courbe passe par le point \(A(2;1)\).
Corrigé en vidéo!
Exercices 9: Reconnaitre la courbe d'une primitive - Même genre que

Baccalauréat S métropole septembre 2013

exercice 1
Corrigé en vidéo!
Exercices 10:

Primitive et Physique

-

Deuxième loi de Newton

- Exercice type Bac

Primitive d'une fonction : Exercices à Imprimer

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