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Fonction logarithme népérien


fonction logarithme népérien
  • Conseils pour ce chapitre:
    • Commencer par regarder Cours de math en vidéo pour avoir une vision d'ensemble
    • Faire les exercices sur : simplifier, (in)équation, limite, dérivation
    • Regarder Cours de math en vidéo pour avoir une approche rigoureurse
    • Démontrer les propriétés du logarithme
    • Faire les exercices type Bac
  • Comment travailler efficacement Cours de math en vidéo
  • Conseils pour le jour du bac Cours de math en vidéo
♦ Ce qu'il faut savoir pour faire les exercices et comment le retenir Cours de math en vidéo ♦ Comprendre la définition mathématique Cours de math en vidéo
  • Quel que soit a>0, l'équation ex=a admet une unique solution, appelée logarithme népérien de a et notée ln(a)
    Autrement dit, ln(a) est la solution de l'équation ex=a. Donc eln(a)=
    eln(a)=a

    Et de plus quel que soit x, ln(ex)=
    $\ln(e^x)=x$.
  • La fonction logarithme népérien est définie sur 
    La fonction logarithme népérien est définie sur $]0;+\infty[$.
  • ln 1 =
    $\ln 1=0$
    ln e =
    $\ln e=1$
  • Les fonctions logarithme népérien et exponentielle sont 
    Les fonctions logarithme népérien et exponentielle sont réciproques l'une de l'autre
    Leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite y=x




Propriétés de la fonction logarithme népérien

♦ Pour savoir utiliser les propriétés et les démontrer, regarde les vidéos
  • Propriétés algébriques:
    $\ln\left( x\times y \right)=$
    $\ln\left( x\times y \right)=\ln x +\ln y$  
    où $x$ et $y$ sont strictement positifs
    \[\ln\left( \frac x y \right)=\]
    \[\ln\left( \frac x y \right)=\ln x -\ln y\]  
    où $x$ et $y$ sont strictement positifs
    \[\ln\left( x^n \right)=\]
    \[\ln\left( x^n \right)=n\ln x\] 
    où $x$ est strictement positif et $n$ un entier
    \[\ln\sqrt x =\]
    \[\ln \sqrt x =\frac 12\ln x\]
    où $x$ est strictement positif
  • Variations:
    La fonction logarithme est 
    La fonction logarithme est strictement croissante sur ]0;+∞[
  • Signe:
    La fonction logarithme est 
    La fonction logarithme est négative sur ]0;1] et positive sur [1;+∞[
    Donc lorsque $0<x≤1$, $\ln x$ est négatif !  
    Parfois les élèves pensent que $\ln x $ est toujours positif.
    C'est une erreur, ils confondent:
    x qui doit être strictement positif
    ln x qui peut être négatif
  • équation et inéquation avec des logarithmes :
    \[\ln a=b \Leftrightarrow\]
    Quels que soient $a$ strictement positif et $b$ quelconque:
    $\ln a=b$ $\Leftrightarrow$ $a=e^b$
    \[\ln a=\ln b \Leftrightarrow\]
    Quels que soient $a$ et $b$ strictement positifs:
    \[\ln a=\ln b \Leftrightarrow a=b\]
    \[\ln a\ge b \Leftrightarrow\]
    Quels que soient $a$ strictement positif et $b$ quelconque:
    $\ln a\ge b$ $\Leftrightarrow$ $a\ge e^b$
    \[\ln a \ge \ln b \Leftrightarrow\]
    Quels que soient $a$ et $b$ strictement positifs:
    \[\ln a \ge \ln b \Leftrightarrow a \ge b\]
  • Limites
    \[\lim_{\substack{x \to +\infty}}\ln x= \]
    \[\lim_{\substack{x \to +\infty}}\ln x=+\infty \]
    \[\lim_{\substack{x \to 0}}\ln x= \]
    \[\lim_{\substack{x \to 0}}\ln x=-\infty \]
    \[\lim_{\substack{x \to +\infty}}\frac{\ln x}{x}= \]
    \[\lim_{\substack{x \to +\infty}}\frac{\ln x}{x}=0 \]
    On retient que $x$ l'emporte sur $\ln x$
    \[\lim_{\substack{x \to 0}}x\ln x= \]
    \[\lim_{\substack{x \to 0}}x\ln x=0 \]
    On retient que $x$ l'emporte sur $\ln x$
    \[\lim_{\substack{x \to 0}}\frac{\ln (x+1)}{x}= \]
    \[\lim_{\substack{x \to 0}}\frac{\ln (x+1)}{x}=1 \]

  • Dérivation Un peu de patience, la vidéo est bientôt prête
    Si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I alors
    {
    ln u est dérivable sur I
    (ln u)' =
    u' / u

    En particulier, si f(x)=ln x alors
    Si f(x)=ln x alors f '(x)=
    1 / x

    u et ln u ont  
    u et ln u ont les mêmes variations





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Exercices 1:

Simplifier une expression avec des logarithmes


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Exercices 2:

Résoudre une équation avec des logarithmes ou des exponentielles


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Exercices 3: Résoudre une

équation avec des logarithmes


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Exercices 4: équation avec logarithme - Piège classique
On souhaite résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation: $\ln(6x-2)+\ln(2x-1)=\ln(x)$.
Clara affirme que cette équation admet deux solutions. A-t-elle raison? Justifier.
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Exercices 5:

Résoudre une inéquation avec des logarithmes


Exercices 6:

Résoudre une inéquation avec des logarithmes


Résoudre dans $\mathbb{R}$, les inéquations suivantes:
     a) $\ln (3-x)≤ -2$          b) $\ln (\ln x)<0$
Exercices 7:

Résoudre une inéquation avec des exponentielles


Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes:
    a) $e^{-x}\gt 2$         b) $4-e^{3x}\ge0$         c) $e^{1-x}-2\le 0$         d) $e^{2x}-2e^x\ge 0$
Exercices 8:

Résoudre une inéquation avec des logarithmes


Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes:
    a) $\ln(x+1)\times \ln(2-x)=0$         b) $\ln(x+1)\times \ln(2-x)\ge0$         c) $\ln x+ \ln(3x+2)> 0$
Exercices 9: Résoudre une équation avec des logarithmes en posant X=ln x - Changement d'inconnue
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Exercices 10: Trouver le

signe d'une expression avec des logarithmes


Déterminer le signe des expressions suivantes sur l'intervalle I indiqué:
    a) $1-\ln x$ et I=$]0;+\infty[$
    b) $\ln(1-x)$ et I=$]-\infty;1[$
    c) $e^{2x}-e^x$ et I=$\mathbb{R}$
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Exercices 11:

Dériver et variations d'une fonction avec des logarithmes


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Exercices 12: Dérivation et tableau de variations d'une fonction avec des logarithmes
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Exercices 13:

Dérivation et tableau de variations d'une fonction avec des logarithmes


Exercices 14:
Dans chaque cas:
1) Justifier que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle I indiqué.
2) Déterminer la dérivée de $f$ et le tableau de variations de $f$ sur I.
  \[a)~f(x)=\ln(1-e^x)\] et I=$]-\infty;0[$ \[b)~f(x)=\ln \frac 2x\] et I=$]0;+\infty[$ \[c)~f(x)=\ln(1+e^x)\] et I=$\mathbb{R}$
Exercices 15:
Dans chaque cas, déterminer la dérivée de $f$ et le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle I indiqué:
  \[a)~f(x)=\frac 1x+\ln x\] et I=$]0;+\infty[$ \[b)~f(x)=x\ln x\] et I=$]0;+\infty[$
  \[c)~f(x)=\ln(x^2-6x+10)\] et I=$\mathbb{R}$ \[d)~f(x)=x^2+5x-3\ln x\] et I=$]0;+\infty[$
Exercices 16:
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^{2x}-3x+1$.
Déterminer $f'(x)$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ puis en déduire le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
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Exercices 17:
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x)=\ln(x^2-6x+10)\].
1) Justifier que $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}$.
2) Étudier les variations de $f$.
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Exercices 18:
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x)=\frac{e^x}{e^{3x}+4}\].
1) Justifier que $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}$.
2) Étudier les variations de $f$.
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Exercices 19: f(x)=ln(sin x) -

logarithme, sinus : dérivation

, tableau de variations
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Exercices 20:

Limite d'une fonction avec des logarithmes


Déterminer les limites suivantes et interpréter en terme d'asymptote horizontale ou verticale:
     a) $\lim\limits_{x \to +\infty} x\ln x-x^2+1$
     b) $\lim\limits_{x \to 0} x\ln x-x^2+1$
     c) $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x\ln x}{x^2+1}$
Exercices 21:

Limite d'une fonction avec des logarithmes


Déterminer les limites suivantes et interpréter en terme d'asymptote horizontale ou verticale:
a) $\lim\limits_{x \to 0} 1-\ln x$      b) $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln \left(\frac 2x \right)$      c) $\lim\limits_{x \to -\infty} 1+e^{-x}$      d) $\lim\limits_{x \to +\infty} 1+e^{-x}$      e) $\lim\limits_{x \to 0} \frac 1{\ln x}$
f) $\lim\limits_{x \to -\frac 12} \ln(1+2x)$
Exercices 22: Limite d'une fonction avec des logarithmes
Exercices 23:

inéquation du type a^n≤b

- inconnue en exposant
a) ($u_n$) est une suite géométrique de raison $q=1.1$ et $u_0=\frac 25$.
    Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n\ge 100$.
b) ($u_n$) est une suite géométrique de raison $q=0.9$ et $u_0=20$.
    Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n\le 0.1$.
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Exercices 24: inéquation du type a^n≤b - suite géométrique
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Exercices 25: Logarithme et probabilité
Lotfi lance un dé non truqué à 6 faces. Combien de fois doit-il lancer ce dé au minimum pour que la probabilité d'avoir au moins un six soit supérieure à $0,999$.
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Exercices 26: Logarithme et emprunt à intérêts composés
On place un capital à $4\%$ par an à intérêts composés, c'est à dire qu'à la fin de chaque année, les intérêts s'ajoutent au capital. Au bout de combien d'années, le capital aura-t-il doublé?
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Exercices 27:

Position relative de 2 courbes - logarithme - D'après sujet de Bac


On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=\ln x$ et $g(x)=(\ln x)^2$.
On note $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ les courbes représentatives de $f$ et $g$.
     1) Étudier les positions relatives de $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$.
     2) Soit M et N les points de $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ d'abscisse $x$. Sur l'intervalle $[1;e]$, pour quelle valeur de $x$,
         la distance MN est-elle maximale? Quelle est la valeur de cette distance maximale?
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Exercices 28:

Aire maximale d'un rectangle - Fonction logarithme - D'après sujet de Bac - Problème ouvert


Soit $f$ la fonction définie sur ]0 ; 14] par $f (x) = 2-\ln\left(\frac x2 \right)$ dont la courbe $\mathscr{C}_f$ est donnée dans le repère orthogonal d’origine O ci-dessous :

À tout point M appartenant à $\mathscr{C}_f$, on associe le point P projeté orthogonal de M sur l’axe des abscisses, et le point Q projeté orthogonal de M sur l’axe des ordonnées.
    • $f$ est-elle positive sur $]0;14]$?
    • L'aire du rectangle OPMQ est-elle constante, quelle que soit la position du point M sur $\mathscr{C}_f$ ?
    • L’aire du rectangle OPMQ peut-elle être maximale ? Si oui, préciser les coordonnées
       du point M correspondant. Justifier les réponses.
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Exercices 29:

Suite et logarithme

- un+1=f(un) - un+1=√un - Exercice type Bac
Exercices 30:

Déterminer a, b connaissant la courbe de f - (ax+b) ln x


Corrigé en vidéo! Exercices 31:

Fonction logarithme népérien

-

Fonction auxiliaire

-

théorème des valeurs intermédiaires


Indication:
Calculer u(α) de 2 façons
En déduire que α+2 = ....
Puis calculer f(α) et conclure
Exercices 32: Position relative de 2 courbes - logarithme
Exercices 33: Suite et logarithme - un+1=f(un)
Exercices 34: Logarithme et équation - ln x=-x - théorème des valeurs intermédiaires
On a tracé la courbe de la fonction logarithme népérien.
1. Résoudre graphiquement l'équation $\ln x=-x$.
2. Montrer que l'équation $\ln x=-x$ admet une seule solution $\alpha$ sur $]0;+\infty[$.
3. Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.




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Exercices 35:

Equation avec paramètre - nombre de solution


On considère l'équation $\rm (E_1)$ : $\displaystyle e^x-x^n=0$.
où $x$ est un réel strictement positif et $n$ un entier naturel non nul.
1. Montrer que l'équation $\rm (E_1)$ est équivalente à l'équation $\rm (E_2)$ : $\displaystyle {\ln (x)-\frac xn=0}$.
2. Pour quelles valeurs de $n$ l'équation $\rm (E_1)$ admet-elle deux solutions ?
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Exercices 36:

Logarithme décimal - Définition et propriétés - lien avec Ln


La fonction logarithme décimal, notée $\log$ est la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $\log x=\frac {\ln x} {\ln 10}$.
  1. Déterminer $\log 10$, $\log 100$, $\log 0,001$.
  2. Quelle conjecture peut-on en déduire? Démontrer cette conjecture.
  3. On rappelle que pour tous nombres $a$ et $b$ strictement positifs: $\ln ( a\times b)=\ln a+\ln b$.
    Cette propriété est-elle encore valable avec la fonction $\log$.
  4. Déterminer le sens de variation de la fonction $\log$.
  5. Encadrer sans calculatrice, $\log 25665$ et $\log 0,00945$.
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Exercices 37:

Logarithme décimal - Log - pH


Le pH mesure l'acidité d'une solution. On définit le pH par ${\rm pH}=-\log[{\rm H}_3{\rm O}^+]$
où $[\rm H_3O^+]$ désigne la concentration en ions oxonium en moles par litre.
  1. Une solution est dite acide lorsque le pH est inférieur à 7.
    Une solution a une concentration en ions $[\rm H_3O^+]$ de $2\times 10^{-11}$ ${\rm mol}\cdot{\rm L}^{-1}$.
    Sans utiliser de calculatrice, dire si cette solution est acide.
  2. Matthias affirme que lorsque la concentration en ions $[\rm H_3O^+]$ diminue, le $\rm pH$ augmente.
    Est-ce vrai? Justifier.
  3. Démontrer la formule $[\rm H_3O^+]=10^{-\rm pH}$ dans le cas où $\rm pH$ est un entier.
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Exercices 38:

Nombre de chiffres d'un entier naturel à l'aide du Logarithme décimal -


Soient $n$ et $p$ deux entiers naturels tels que $10^n \leqslant p < 10^{n+1}$.
  1. Déterminer le nombre de chiffres dans l'écriture décimale de $p$.
  2. Montrer que $n = E(\log p)$ où la fonction $E$ désigne la fonction partie entière.
  3. A l'aide de la calculatrice, déterminer le nombre de chiffres dans l'écriture décimale de $2^{{2018}}$.
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Exercices 39:

Problème ouvert - Sujet de Bac Liban 2015 exercice 3


On considère la courbe $\mathscr{C}$ d'équation $y=e^x$, tracée ci-contre:
Pour tout réel $m$ strictement positif, on note $\mathscr{D}_m$ la droite d'équation $y = mx$.
1. Dans cette question, on choisit $m = e$.
    Démontrer que la droite $\mathscr{D}_e$ d'équation $y = ex$,
    est tangente à la courbe $\mathscr{C}$ en son point d'abscisse 1.
2. Conjecturer, selon les valeurs prises par le réel strictement positif $m$,
    le nombre de points d'intersection de la courbe $\mathscr{C}$ et de la droite $\mathscr{D}_m$.
3. Démontrer cette conjecture.

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Exercices 40:

QCM révision logarithme népérien - type bac


Dire si les affirmations sont vraies ou fausses. Justifier.
1. L'équation $\ln x=-1$ n'a pas de solution.
2. Si $u>0$ alors $\ln u>0$.
3. $\ln (x^2)$ peut être négatif.
4. Pour tout $x>0$, $\ln(2x)>\ln x$
5. L'expression $\ln (-x)$ n'a pas de sens.
6. Pour tous réels $x$ et $y$ strictement positifs, $\ln x \times \ln y=\ln(x+y)$.
7. Si $f(x)=(\ln x)^2$ alors $f'(x)=\frac{2\ln x}x$.
8. ($u_n$) est une suite géométrique avec $u_0>0$ et la raison $q>0$ alors $\left(\ln(u_n)\right)$ est arithmétique.
Exercices 41:

Question ouverte - Comparaison de exponentielle et logarithme


Démontrer que pour tout réel $x>0$, $e^x>\ln x$.


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Exercices 42:

fonction exponentielle avec paramètre - Bac S Amérique du nord 2017 exercice 2


Soit $f$ définie sur $[-2;2]$ par $f (x)=-\frac b8\left(e^{^{\textstyle{\frac xb}}}+e^{^{\textstyle{-\frac xb}}}\right)+ \frac 94$ où $b > 0$.
  1. Montrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle [-2 ; 2], $f (-x) = f (x)$.
    Que peut-on en déduire pour la courbe de $f$ ?
  2. Montrer que pour tout $x$ de l'intervalle $[-2;2]$, $f'(x)=-\frac 18\left(e^{^{\textstyle{\frac xb}}}-e^{^{\textstyle{-\frac xb}}}\right)$.
  3. Dresser le tableau de variations de $f$ sur l’intervalle [-2 ; 2]
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Exercices 43:

fonction exponentielle, minimum et points alignés - Bac S Liban 2017 exercice 3


Soit $k$ un réel strictement positif. On considère les fonctions $f_k$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f_k(x)=x+ke^{-x}$.
On note $\mathscr{C}_k$ la courbe représentative de la fonction $f_k$ dans un plan muni d’un repère orthonormé.
On a représenté ci-dessous quelques courbes $\mathscr{C}_k$ pour différentes valeurs de $k$.

Il semblerait que chaque fonction $f_k$ admette un minimum sur $\mathbb{R}$. Si l'on appelle $A_k$ le point de $\mathscr{C}_k$ correspondant à ce minimum, il semblerait que ces points $A_k$ soient alignés. Est-ce le cas ?

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Qui sommes-nous? Nicolas Halpern-Herla
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES et STI depuis 23 ans
Créateur de jeux de stratégie: Agora et Chifoumi

Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES depuis 14 ans
Champion de France de magie en 2001: Magie