j'ai compris mes maths
J'ai compris.com
Cours et exercices corrigés en vidéo comme en classe
lycée
collège
primaire
Manuel scolaire

Web


Ce sera prêt pour 2018

Ce sera prêt pour 2017

Terminale S

Fonction logarithme népérien


fonction logarithme népérien
  • Conseils pour ce chapitre:
    • Commencer par regarder Cours de math en vidéo pour avoir une vision d'ensemble
    • Faire les exercices sur : simplifier, (in)équation, limite, dérivation
    • Regarder Cours de math en vidéo pour avoir une approche rigoureurse
    • Démontrer les propriétés du logarithme
    • Faire les exercices type Bac
  • Comment travailler efficacement Cours de math en vidéo
  • Conseils pour le jour du bac Cours de math en vidéo
♦ Ce qu'il faut savoir pour faire les exercices et comment le retenir Cours de math en vidéo ♦ Comprendre la définition mathématique Cours de math en vidéo
  • Quel que soit a>0, l'équation ex=a admet une unique solution, appelée logarithme népérien de a et notée ln(a)
    Autrement dit, ln(a) est la solution de l'équation ex=a. Donc eln(a)=
    eln(a)=a

    Et de plus quel que soit x, ln(ex)=
    $\ln(e^x)=x$.
  • La fonction logarithme népérien est définie sur 
    La fonction logarithme népérien est définie sur $]0;+\infty[$.
  • ln 1 =
    $\ln 1=0$
    ln e =
    $\ln e=1$
  • Les fonctions logarithme népérien et exponentielle sont 
    Les fonctions logarithme népérien et exponentielle sont réciproques l'une de l'autre
    Leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite y=x




Propriétés de la fonction logarithme népérien

♦ Pour savoir utiliser les propriétés et les démontrer, regarde les vidéos
  • Propriétés algébriques:
    $\ln\left( x\times y \right)=$
    $\ln\left( x\times y \right)=\ln x +\ln y$  
    où $x$ et $y$ sont strictement positifs
    \[\ln\left( \frac x y \right)=\]
    \[\ln\left( \frac x y \right)=\ln x -\ln y\]  
    où $x$ et $y$ sont strictement positifs
    \[\ln\left( x^n \right)=\]
    \[\ln\left( x^n \right)=n\ln x\] 
    où $x$ est strictement positif et $n$ un entier
    \[\ln\sqrt x =\]
    \[\ln \sqrt x =\frac 12\ln x\]
    où $x$ est strictement positif
  • Variations:
    La fonction logarithme est 
    La fonction logarithme est strictement croissante sur ]0;+∞[
  • Signe:
    La fonction logarithme est 
    La fonction logarithme est négative sur ]0;1] et positive sur [1;+∞[
    Donc lorsque $0<x≤1$, $\ln x$ est négatif !  
    Parfois les élèves pensent que $\ln x $ est toujours positif.
    C'est une erreur, ils confondent:
    x qui doit être strictement positif
    ln x qui peut être négatif
  • équation et inéquation avec des logarithmes :
    \[\ln a=b \Leftrightarrow\]
    Quels que soient $a$ strictement positif et $b$ quelconque:
    $\ln a=b$ $\Leftrightarrow$ $a=e^b$
    \[\ln a=\ln b \Leftrightarrow\]
    Quels que soient $a$ et $b$ strictement positifs:
    \[\ln a=\ln b \Leftrightarrow a=b\]
    \[\ln a\ge b \Leftrightarrow\]
    Quels que soient $a$ strictement positif et $b$ quelconque:
    $\ln a\ge b$ $\Leftrightarrow$ $a\ge e^b$
    \[\ln a \ge \ln b \Leftrightarrow\]
    Quels que soient $a$ et $b$ strictement positifs:
    \[\ln a \ge \ln b \Leftrightarrow a \ge b\]
  • Limites
    \[\lim_{\substack{x \to +\infty}}\ln x= \]
    \[\lim_{\substack{x \to +\infty}}\ln x=+\infty \]
    \[\lim_{\substack{x \to 0}}\ln x= \]
    \[\lim_{\substack{x \to 0}}\ln x=-\infty \]
    \[\lim_{\substack{x \to +\infty}}\frac{\ln x}{x}= \]
    \[\lim_{\substack{x \to +\infty}}\frac{\ln x}{x}=0 \]
    On retient que $x$ l'emporte sur $\ln x$
    \[\lim_{\substack{x \to 0}}x\ln x= \]
    \[\lim_{\substack{x \to 0}}x\ln x=0 \]
    On retient que $x$ l'emporte sur $\ln x$
    \[\lim_{\substack{x \to 0}}\frac{\ln (x+1)}{x}= \]
    \[\lim_{\substack{x \to 0}}\frac{\ln (x+1)}{x}=1 \]

  • Dérivation Un peu de patience, la vidéo est bientôt prête
    Si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I alors
    {
    ln u est dérivable sur I
    (ln u)' =
    u' / u

    En particulier, si f(x)=ln x alors
    Si f(x)=ln x alors f '(x)=
    1 / x

    u et ln u ont  
    u et ln u ont les mêmes variations





Corrigé en vidéo!
Exercices 1:

Simplifier une expression avec des logarithmes


Corrigé en vidéo!
Exercices 2:

Résoudre une équation avec des logarithmes ou des exponentielles


Corrigé en vidéo!
Exercices 3: Résoudre une

équation avec des logarithmes


Corrigé en vidéo!
Exercices 4: équation avec logarithme - Piège classique
On souhaite résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation: $\ln(6x-2)+\ln(2x-1)=\ln(x)$.
Clara affirme que cette équation admet deux solutions. A-t-elle raison? Justifier.
Corrigé en vidéo!
Exercices 5:

Résoudre une inéquation avec des logarithmes


Exercices 6:

Résoudre une inéquation avec des logarithmes


Résoudre dans $\mathbb{R}$, les inéquations suivantes:
     a) $\ln (3-x)≤ -2$          b) $\ln (\ln x)<0$
Exercices 7:

Résoudre une inéquation avec des exponentielles


Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes:
    a) $e^{-x}\gt 2$         b) $4-e^{3x}\ge0$         c) $e^{1-x}-2\le 0$         d) $e^{2x}-2e^x\ge 0$
Exercices 8:

Résoudre une inéquation avec des logarithmes


Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes:
    a) $\ln(x+1)\times \ln(2-x)=0$         b) $\ln(x+1)\times \ln(2-x)\ge0$         c) $\ln x+ \ln(3x+2)> 0$
Exercices 9: Résoudre une équation avec des logarithmes en posant X=ln x - Changement d'inconnue
Corrigé en vidéo!
Exercices 10: Trouver le

signe d'une expression avec des logarithmes


Déterminer le signe des expressions suivantes sur l'intervalle I indiqué:
    a) $1-\ln x$ et I=$]0;+\infty[$
    b) $\ln(1-x)$ et I=$]-\infty;1[$
    c) $e^{2x}-e^x$ et I=$\mathbb{R}$
Corrigé en vidéo!
Exercices 11:

Dériver et variations d'une fonction avec des logarithmes


Corrigé en vidéo!
Exercices 12: Dérivation et tableau de variations d'une fonction avec des logarithmes
Corrigé en vidéo!
Exercices 13:

Dérivation et tableau de variations d'une fonction avec des logarithmes


Exercices 14:
Dans chaque cas:
1) Justifier que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle I indiqué.
2) Déterminer la dérivée de $f$ et le tableau de variations de $f$ sur I.
  \[a)~f(x)=\ln(1-e^x)\] et I=$]-\infty;0[$ \[b)~f(x)=\ln \frac 2x\] et I=$]0;+\infty[$ \[c)~f(x)=\ln(1+e^x)\] et I=$\mathbb{R}$
Exercices 15:
Dans chaque cas, déterminer la dérivée de $f$ et le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle I indiqué:
  \[a)~f(x)=\frac 1x+\ln x\] et I=$]0;+\infty[$ \[b)~f(x)=x\ln x\] et I=$]0;+\infty[$
  \[c)~f(x)=\ln(x^2-6x+10)\] et I=$\mathbb{R}$ \[d)~f(x)=x^2+5x-3\ln x\] et I=$]0;+\infty[$
Exercices 16:
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^{2x}-3x+1$.
Déterminer $f'(x)$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ puis en déduire le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
Corrigé en vidéo!
Exercices 17:
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x)=\ln(x^2-6x+10)\].
1) Justifier que $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}$.
2) Étudier les variations de $f$.
Corrigé en vidéo!
Exercices 18:
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x)=\frac{e^x}{e^{3x}+4}\].
1) Justifier que $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}$.
2) Étudier les variations de $f$.
Corrigé en vidéo!
Exercices 19: f(x)=ln(sin x) -

logarithme, sinus : dérivation

, tableau de variations
Corrigé en vidéo!
Exercices 20:

Limite d'une fonction avec des logarithmes


Déterminer les limites suivantes et interpréter en terme d'asymptote horizontale ou verticale:
     a) $\lim\limits_{x \to +\infty} x\ln x-x^2+1$
     b) $\lim\limits_{x \to 0} x\ln x-x^2+1$
     c) $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x\ln x}{x^2+1}$
Exercices 21:

Limite d'une fonction avec des logarithmes


Déterminer les limites suivantes et interpréter en terme d'asymptote horizontale ou verticale:
a) $\lim\limits_{x \to 0} 1-\ln x$      b) $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln \left(\frac 2x \right)$      c) $\lim\limits_{x \to -\infty} 1+e^{-x}$      d) $\lim\limits_{x \to +\infty} 1+e^{-x}$      e) $\lim\limits_{x \to 0} \frac 1{\ln x}$
f) $\lim\limits_{x \to -\frac 12} \ln(1+2x)$
Exercices 22: Limite d'une fonction avec des logarithmes
Exercices 23:

inéquation du type a^n≤b

- inconnue en exposant
a) ($u_n$) est une suite géométrique de raison $q=1.1$ et $u_0=\frac 25$.
    Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n\ge 100$.
b) ($u_n$) est une suite géométrique de raison $q=0.9$ et $u_0=20$.
    Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n\le 0.1$.
Corrigé en vidéo!
Exercices 24: inéquation du type a^n≤b - suite géométrique
Corrigé en vidéo!
Exercices 25: Logarithme et probabilité
Lotfi lance un dé non truqué à 6 faces. Combien de fois doit-il lancer ce dé au minimum pour que la probabilité d'avoir au moins un six soit supérieure à $0,999$.
Corrigé en vidéo!
Exercices 26: Logarithme et emprunt à intérêts composés
On place un capital à $4\%$ par an à intérêts composés, c'est à dire qu'à la fin de chaque année, les intérêts s'ajoutent au capital. Au bout de combien d'années, le capital aura-t-il doublé?
Corrigé en vidéo!
Exercices 27:

Position relative de 2 courbes - logarithme - D'après sujet de Bac


On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=\ln x$ et $g(x)=(\ln x)^2$.
On note $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ les courbes représentatives de $f$ et $g$.
     1) Étudier les positions relatives de $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$.
     2) Soit M et N les points de $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ d'abscisse $x$. Sur l'intervalle $[1;e]$, pour quelle valeur de $x$,
         la distance MN est-elle maximale? Quelle est la valeur de cette distance maximale?
Corrigé en vidéo!
Exercices 28:

Aire maximale d'un rectangle - Fonction logarithme - D'après sujet de Bac - Problème ouvert


Soit $f$ la fonction définie sur ]0 ; 14] par $f (x) = 2-\ln\left(\frac x2 \right)$ dont la courbe $\mathscr{C}_f$ est donnée dans le repère orthogonal d’origine O ci-dessous :

À tout point M appartenant à $\mathscr{C}_f$, on associe le point P projeté orthogonal de M sur l’axe des abscisses, et le point Q projeté orthogonal de M sur l’axe des ordonnées.
    • $f$ est-elle positive sur $]0;14]$?
    • L'aire du rectangle OPMQ est-elle constante, quelle que soit la position du point M sur $\mathscr{C}_f$ ?
    • L’aire du rectangle OPMQ peut-elle être maximale ? Si oui, préciser les coordonnées
       du point M correspondant. Justifier les réponses.
Corrigé en vidéo!
Exercices 29:

Suite et logarithme

- un+1=f(un) - un+1=√un - Exercice type Bac
Exercices 30:

Déterminer a, b connaissant la courbe de f - (ax+b) ln x


Corrigé en vidéo! Exercices 31:

Fonction logarithme népérien

-

Fonction auxiliaire

-

théorème des valeurs intermédiaires


Indication:
Calculer u(α) de 2 façons
En déduire que α+2 = ....
Puis calculer f(α) et conclure
Exercices 32: Position relative de 2 courbes - logarithme
Exercices 33: Suite et logarithme - un+1=f(un)
Exercices 34: Logarithme et équation - ln x=-x - théorème des valeurs intermédiaires
On a tracé la courbe de la fonction logarithme népérien.
1. Résoudre graphiquement l'équation $\ln x=-x$.
2. Montrer que l'équation $\ln x=-x$ admet une seule solution $\alpha$ sur $]0;+\infty[$.
3. Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.




Corrigé en vidéo
Exercices 35:

Equation avec paramètre - nombre de solution


On considère l'équation $\rm (E_1)$ : $\displaystyle e^x-x^n=0$.
où $x$ est un réel strictement positif et $n$ un entier naturel non nul.
1. Montrer que l'équation $\rm (E_1)$ est équivalente à l'équation $\rm (E_2)$ : $\displaystyle {\ln (x)-\frac xn=0}$.
2. Pour quelles valeurs de $n$ l'équation $\rm (E_1)$ admet-elle deux solutions ?
Corrigé en vidéo
Exercices 36:

Logarithme décimal - Définition et propriétés - lien avec Ln


La fonction logarithme décimal, notée $\log$ est la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $\log x=\frac {\ln x} {\ln 10}$.
  1. Déterminer $\log 10$, $\log 100$, $\log 0,001$.
  2. Quelle conjecture peut-on en déduire? Démontrer cette conjecture.
  3. On rappelle que pour tous nombres $a$ et $b$ strictement positifs: $\ln ( a\times b)=\ln a+\ln b$.
    Cette propriété est-elle encore valable avec la fonction $\log$.
  4. Déterminer le sens de variation de la fonction $\log$.
  5. Encadrer sans calculatrice, $\log 25665$ et $\log 0,00945$.
Corrigé en vidéo
Exercices 37:

Logarithme décimal - Log - pH


Le pH mesure l'acidité d'une solution. On définit le pH par ${\rm pH}=-\log[{\rm H}_3{\rm O}^+]$
où $[\rm H_3O^+]$ désigne la concentration en ions oxonium en moles par litre.
  1. Une solution est dite acide lorsque le pH est inférieur à 7.
    Une solution a une concentration en ions $[\rm H_3O^+]$ de $2\times 10^{-11}$ ${\rm mol}\cdot{\rm L}^{-1}$.
    Sans utiliser de calculatrice, dire si cette solution est acide.
  2. Matthias affirme que lorsque la concentration en ions $[\rm H_3O^+]$ diminue, le $\rm pH$ augmente.
    Est-ce vrai? Justifier.
  3. Démontrer la formule $[\rm H_3O^+]=10^{-\rm pH}$ dans le cas où $\rm pH$ est un entier.
Corrigé en vidéo
Exercices 38:

Nombre de chiffres d'un entier naturel à l'aide du Logarithme décimal -


Soient $n$ et $p$ deux entiers naturels tels que $10^n \leqslant p < 10^{n+1}$.
  1. Déterminer le nombre de chiffres dans l'écriture décimale de $p$.
  2. Montrer que $n = E(\log p)$ où la fonction $E$ désigne la fonction partie entière.
  3. A l'aide de la calculatrice, déterminer le nombre de chiffres dans l'écriture décimale de $2^{{2018}}$.
Corrigé en vidéo!
Exercices 39:

Problème ouvert - Sujet de Bac Liban 2015 exercice 3


On considère la courbe $\mathscr{C}$ d'équation $y=e^x$, tracée ci-contre:
Pour tout réel $m$ strictement positif, on note $\mathscr{D}_m$ la droite d'équation $y = mx$.
1. Dans cette question, on choisit $m = e$.
    Démontrer que la droite $\mathscr{D}_e$ d'équation $y = ex$,
    est tangente à la courbe $\mathscr{C}$ en son point d'abscisse 1.
2. Conjecturer, selon les valeurs prises par le réel strictement positif $m$,
    le nombre de points d'intersection de la courbe $\mathscr{C}$ et de la droite $\mathscr{D}_m$.
3. Démontrer cette conjecture.

Corrigé en vidéo!
Exercices 40:

QCM révision logarithme népérien - type bac


Dire si les affirmations sont vraies ou fausses. Justifier.
1. L'équation $\ln x=-1$ n'a pas de solution.
2. Si $u>0$ alors $\ln u>0$.
3. $\ln (x^2)$ peut être négatif.
4. Pour tout $x>0$, $\ln(2x)>\ln x$
5. L'expression $\ln (-x)$ n'a pas de sens.
6. Pour tous réels $x$ et $y$ strictement positifs, $\ln x \times \ln y=\ln(x+y)$.
7. Si $f(x)=(\ln x)^2$ alors $f'(x)=\frac{2\ln x}x$.
8. ($u_n$) est une suite géométrique avec $u_0>0$ et la raison $q>0$ alors $\left(\ln(u_n)\right)$ est arithmétique.
Exercices 41:

Question ouverte - Comparaison de exponentielle et logarithme


Démontrer que pour tout réel $x>0$, $e^x>\ln x$.


Corrigé en vidéo!
Exercices 42:

fonction exponentielle avec paramètre - Bac S Amérique du nord 2017 exercice 2


Soit $f$ définie sur $[-2;2]$ par $f (x)=-\frac b8\left(e^{^{\textstyle{\frac xb}}}+e^{^{\textstyle{-\frac xb}}}\right)+ \frac 94$ où $b > 0$.
  1. Montrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle [-2 ; 2], $f (-x) = f (x)$.
    Que peut-on en déduire pour la courbe de $f$ ?
  2. Montrer que pour tout $x$ de l'intervalle $[-2;2]$, $f'(x)=-\frac 18\left(e^{^{\textstyle{\frac xb}}}-e^{^{\textstyle{-\frac xb}}}\right)$.
  3. Dresser le tableau de variations de $f$ sur l’intervalle [-2 ; 2]
Corrigé en vidéo!
Exercices 43:

fonction exponentielle, minimum et points alignés - Bac S Liban 2017 exercice 3


Soit $k$ un réel strictement positif. On considère les fonctions $f_k$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f_k(x)=x+ke^{-x}$.
On note $\mathscr{C}_k$ la courbe représentative de la fonction $f_k$ dans un plan muni d’un repère orthonormé.
On a représenté ci-dessous quelques courbes $\mathscr{C}_k$ pour différentes valeurs de $k$.

Il semblerait que chaque fonction $f_k$ admette un minimum sur $\mathbb{R}$. Si l'on appelle $A_k$ le point de $\mathscr{C}_k$ correspondant à ce minimum, il semblerait que ces points $A_k$ soient alignés. Est-ce le cas ?

Fonction logarithme : Exercices à Imprimer

Ce site vous a été utile? Ce site vous a été utile
alors dites-le !


Merci à vous.
Contact

N'hesitez pas à envoyer un mail à:
jaicompris.com@gmail.com

Liens
Qui sommes-nous? Nicolas Halpern-Herla
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES et STI depuis 22 ans
Créateur de jeux de stratégie: Agora et Chifoumi

Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES depuis 13 ans
Champion de France de magie en 2001: Magie