Fonction logarithme népérien cours en vidéo: définition, équation, inéquation, signe

fonction logarithme népérien

Conseils pour ce chapitre:

Commencer par regarder pour avoir une vision d'ensemble
Faire les exercices sur : simplifier, (in)équation, limite, dérivation
Regarder pour avoir une approche rigoureurse
Démontrer les propriétés du logarithme
Faire les exercices type Bac

Comment travailler efficacement
Conseils pour le jour du bac

♦ Ce qu'il faut savoir pour faire les exercices et comment le retenir

♦ Comprendre la définition mathématique

Quel que soit a>0, l'équation e^x=a admet une unique solution, appelée logarithme népérien de a et notée ln(a)
Autrement dit, ln(a) est la solution de l'équation e^x=a. Donc e^ln(a)=

e^ln(a)=a

Et de plus quel que soit x, ln(e^x)=

$\ln(e^x)=x$.
La fonction logarithme népérien est définie sur

La fonction logarithme népérien est définie sur $]0;+\infty[$.
ln 1 =

$\ln 1=0$

ln e =

$\ln e=1$
Les fonctions logarithme népérien et exponentielle sont

Les fonctions logarithme népérien et exponentielle sont réciproques l'une de l'autre
Leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite y=x

♦ Algorithme de Briggs - Python

Propriétés de la fonction logarithme népérien

Propriétés algébriques:

$\ln\left( x\times y \right)=$

$\ln\left( x\times y \right)=\ln x +\ln y$

où $x$ et $y$ sont strictement positifs

\[\ln\left( \frac x y \right)=\]

\[\ln\left( \frac x y \right)=\ln x -\ln y\]

où $x$ et $y$ sont strictement positifs

\[\ln\left( x^n \right)=\]

\[\ln\left( x^n \right)=n\ln x\]

où $x$ est strictement positif et $n$ un entier

\[\ln\sqrt x =\]

\[\ln \sqrt x =\frac 12\ln x\]

où $x$ est strictement positif
Variations:

La fonction logarithme est

La fonction logarithme est strictement croissante sur ]0;+∞[
Signe:

La fonction logarithme est

La fonction logarithme est négative sur ]0;1] et positive sur [1;+∞[
Donc lorsque $0<x≤1$, $\ln x$ est négatif !

Parfois les élèves pensent que $\ln x $ est toujours positif.
C'est une erreur, ils confondent:
x qui doit être strictement positif
ln x qui peut être négatif
équation et inéquation avec des logarithmes :

\[\ln a=b \Leftrightarrow\]

Quels que soient $a$ strictement positif et $b$ quelconque:
$\ln a=b$ $\Leftrightarrow$ $a=e^b$

\[\ln a=\ln b \Leftrightarrow\]

Quels que soient $a$ et $b$ strictement positifs:
\[\ln a=\ln b \Leftrightarrow a=b\]

\[\ln a\ge b \Leftrightarrow\]

Quels que soient $a$ strictement positif et $b$ quelconque:
$\ln a\ge b$ $\Leftrightarrow$ $a\ge e^b$

\[\ln a \ge \ln b \Leftrightarrow\]

Quels que soient $a$ et $b$ strictement positifs:
\[\ln a \ge \ln b \Leftrightarrow a \ge b\]

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Exercice 1:

Simplifier une expression avec des logarithmes

Simplifier les expressions suivantes:

a) $\ln 6-\ln 2$

b) $\ln (e^2)$

c) $\ln\left( \dfrac 1{e^x}\right)$

d) $e^{\ln 4}$

e) $e^{2\ln 5}$

f) $e^{-\ln 3}$

g) $\ln \sqrt e$

h) $\ln (e^{-x})$

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Exercice 2:

Résoudre une équation avec des logarithmes ou des exponentielles

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:

a) $\ln x=4$

b) $\ln (2-x)=0$

c) $\ln x=-1$

d) $e^{3-2x}=5$

e) $2e^x +10=6$

f) $2\ln x+6=0$

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Exercice 3:

Résoudre une équation avec des logarithmes

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:

a) $\ln (2x+1)+\ln x=0$

b) $\ln (2-x)-2\ln x=0$

c) $\ln (x^2)=(\ln x)^2$

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Exercice 4: équation avec logarithme - Piège classique

On souhaite résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation: $\ln(6x-2)+\ln(2x-1)=\ln(x)$.
Clara affirme que cette équation admet deux solutions. A-t-elle raison? Justifier.

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Exercice 5:

Résoudre une inéquation avec des logarithmes

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes:

a) $\ln (-x)\lt 2$

b) $\ln \left( 1+\dfrac 2x \right)-\ln x\geqslant 0$

c) $(\ln x)^2+\ln \left( \dfrac 1x \right) \geqslant 0$

Exercice 6:

Résoudre une inéquation avec des logarithmes

Résoudre dans $\mathbb{R}$, les inéquations suivantes:
a) $\ln (3-x)≤ -2$ b) $\ln (\ln x)<0$

Exercice 7:

Résoudre une inéquation avec des exponentielles

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes:
a) $e^{-x}\gt 2$ b) $4-e^{3x}\ge0$ c) $e^{1-x}-2\le 0$ d) $e^{2x}-2e^x\ge 0$

Exercice 8:

Résoudre une inéquation avec des logarithmes

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes:
a) $\ln(x+1)\times \ln(2-x)=0$ b) $\ln(x+1)\times \ln(2-x)\ge0$ c) $\ln x+ \ln(3x+2)> 0$

Exercice 9:

Résoudre une équation avec des logarithmes en posant X=ln x - Changement d'inconnue

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\rm X^2+X-6=0$
En déduire les solutions des équations suivantes:

a) $e^{2x}+e^x-6=0$

b) $(\ln x)^2+\ln x -6=0$

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Exercice 10: Trouver le

signe d'une expression avec des logarithmes

Déterminer le signe des expressions suivantes sur l'intervalle I indiqué:
    a) $1-\ln x$ et I=$]0;+\infty[$
    b) $\ln(1-x)$ et I=$]-\infty;1[$
    c) $e^{2x}-2e^x$ et I=$\mathbb{R}$

Exercice 11:

inéquation du type a^n≤b

- inconnue en exposant

a) ($u_n$) est une suite géométrique de raison $q=1,1$ et $u_0=\frac 25$.
Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n\ge 100$.
b) ($u_n$) est une suite géométrique de raison $q=0.9$ et $u_0=20$.
Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n\le 0.1$.

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Exercice 12: inéquation du type a^n≤b - suite géométrique

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Exercice 13: Logarithme et probabilité

Lotfi lance un dé non truqué à 6 faces. Combien de fois doit-il lancer ce dé au minimum pour que la probabilité d'avoir au moins un six soit supérieure à $0,999$.

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Exercice 14: Logarithme et emprunt à intérêts composés

On place un capital à $4\%$ par an à intérêts composés, c'est à dire qu'à la fin de chaque année, les intérêts s'ajoutent au capital. Au bout de combien d'années, le capital aura-t-il doublé?