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Tangente ♦ Équation ♦ Ce qu'il faut savoir

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Exercice type

savoir trouver l'équation réduite d'une tangente (en 6 min !)

Exercice type

savoir trouver l'équation réduite d'une tangente parallèle à une droite donnée

Exercice type

savoir trouver l'équation d'une tangente passant par un point donné

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savoir trouver les tangentes communes à deux courbes

Équation de tangente
Tangente passant par un point donné
Tangente parallèle à une droite donnée
Tangente commune à deux courbes
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Tangente - Les questions qui tombent en exercice

Exercice 1: équation de tangente y=f(a)(x-a)+f(a) • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Dans un repère orthogonal, $\mathscr{C}$ est la courbe d'une fonction $f$. La courbe $\mathscr{C}$ admet une tangente $\rm T$ au point $\rm A(1 ; 2)$. De plus $f'(1) = 3$.
  1. Compléter : Une équation de la tangente $\rm T$ est $y = f'(...)(...~ -~ ...) + f (...)$
    soit $y = . . ........................ .$
  2. Développer, réduire et obtenir l'équation réduite de la tangente $\rm T$.

Exercice 2: équation de tangente y=f(a)(x-a)+f(a) • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-5x+6$. On note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
  1. Déterminer $f'(x)$.
  2. Déterminer l'équation réduite de la tangente $\rm T$ à la courbe $\mathscr{C}$ au point d'abscisse $1$.

Exercice 3: équation de tangente y=f(a)(x-a)+f(a) • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 6x + 5$ et $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère du plan. Déterminer une équation de la tangente à $\mathscr{C}$ au point d'abscisse $2$ puis afficher sur l'écran de votre calculatrice la courbe $\mathscr{C}$ avec cette tangente.

Exercice 4: Dérivée tangente graphiquement et par le calcul - f'(x) - Première spécialité maths S - ES - STI

On a tracé la courbe $\mathscr{C}$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $[-1;4]$. La droite (AB) est tangente à $\mathscr{C}$ en A.
  1. A l'aide du graphique:
    1. Déterminer $f(0)$, $f'(0)$, $f(3)$, $f'(3)$.
    2. Résoudre $f(x)\leqslant 0$.
    3. Résoudre $f'(x)\geqslant 0$.
  2. Retrouver ces résultats par le calcul sachant que $\displaystyle f(x)=\frac 14 x^3-\frac 34 x^2$.

Exercice 5: Dérivation - Tangente parallèle à une droite donnée - Première spécialité maths S - ES - STI

On note $\mathscr{P}$ la parabole représentant la fonction carré dans un repère.
Déterminer l'équation réduite de la tangente à $\mathscr{P}$ parallèle à la droite d'équation $y = \dfrac{5}{2}x - 4$.

Exercice 6: Dérivation - tangente passant par un point donné - Première spécialité maths S - ES - STI

On note $\mathscr{P}$ la parabole représentant la fonction carré dans un repère.
Déterminer les équations réduites des tangentes à $\mathscr{P}$ passant par le point $A(-1~;~-3)$.

Exercice 7: Dérivation - Déterminer a, b et c tels que f(x)=... - Première spécialité maths S - ES - STI

On a représenté graphiquement une fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x) = ax + b\sqrt{x} + c$ où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels à déterminer. La courbe passe par les points $\rm A(0~;~1)$ et $\rm B(4~;~1)$. La droite $\rm (BC)$ est tangente à la courbe au point $\rm B$. On donne aussi $\rm C(2~;~2)$.
  1. On admet que $f$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$. Exprimer $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
  2. Déterminer $f(0)$, $f(4)$ et $f'(4)$.
  3. Déduire des informations précédentes les réels $a$, $b$ et $c$.
  4. Par lecture graphique, résoudre l'équation $f'(x) = 0$. Vérifier par le calcul.

Exercice 8: Dérivation - Déterminer a, b et c tels que f(x)=... - Première spécialité maths S - ES - STI

On a représenté graphiquement une fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x) = ax + \dfrac{b}{x}$ où $a$ et $b$ sont deux réels à déterminer. La courbe passe par le point $\rm A\left(1~;~\dfrac{5}{2}\right)$. La droite $\rm(AB)$ est tangente à la courbe au point $\rm A$. On donne aussi $\rm B(0~;~4)$.
On admet que $f$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$.
  1. Exprimer $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
  2. Déterminer $f(1)$ et $f'(1)$.
  3. Déduire des informations précédentes les réels $a$ et $b$.
  4. Par lecture graphique, résoudre l'équation $f'(x) = 0$. Vérifier par le calcul.

Exercice 9: Dérivation - Tangentes parallèles - Première spécialité maths S - ES - STI

On considère la courbe $\mathscr{C}_f$ représentant la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$.
  1. Montrer que pour tout réel $a$, les tangentes aux points d'abscisses respectives $a$ et $-a$ sont parallèles.
  2. $\mathscr{C}_f$ admet-elle des tangentes horizontales ?

Exercice 10: Dérivation - Paraboles tangentes - Première spécialité maths S - ES - STI

On considère les fonctions $f_1$ et $f_2$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f_1(x)=-x^2+6x-2$ et $f_2(x)=x^2 +2x$
On note $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ les paraboles représentatives de $f_1$ et $f_2$.
Montrer que $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ sont tangentes.
Deux paraboles sont dites tangentes lorsqu'elles ont un point commun et une tangente commune en ce point.

Exercice 11: Aire constante sous une tangente - Première spécialité maths S - ES - STI

On a tracé une tangente à la courbe d'équation $y = \dfrac{1}{x}$. Elle coupe l'axe des ordonnées en $\rm M$ et celui des abscisses en $\rm N$.
Montrer que l'aire du triangle $\rm MNO$ est indépendante de la tangente tracée.

Exercice 12: Dérivation - Tangente commune à deux courbes - Première spécialité maths S - ES - STI

Soient $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$ et $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\backslash\{0\}$ par $g(x)=\dfrac 1x$.
L'objectif de ce problème est de montrer que les courbes de $f$ et $g$ admettent une tangente commune dont on donnera une équation. On notera $\mathscr{C}_f$ la courbe de $f$ et $\mathscr{C}_g$ la courbe de $g$.
  1. Soit $a$ un réel, déterminer une équation de la tangente à $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse $a$.
  2. Soit $b$ un réel non nul, déterminer une équation de la tangente à $\mathscr{C}_g$ au point d'abscisse $b$.
  3. Démontrer que l'existence d'une tangente commune revient à résoudre $\left\{ \begin{array}{r@{~}c@{~}l} 2\,a\, & = & -\dfrac 1 {b^2} \\ -\,a^2\, & = & \dfrac 2 b \end{array} \right.$
  4. Conclure.

Exercice 13: Dérivation - Tangente commune à 2 paraboles - Première spécialité maths S - ES - STI

Déterminer une équation de l'unique tangente commune aux courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$
définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$ et $g(x) = x^2 +2x +3$.

Exercice 14: Dérivation - Tangente passant par un point donné - Première spécialité maths S - ES - STI

Soit $f$ la fonction définie sur $[1\,;\,3]$ par $f(x) = -x^2+4x-3$.
On note $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère d'origine O. Cet arc de parabole symbolise une colline
(une unité sur le repère représente un hectomètre dans la réalité) et l'axe des abscisses représente le sol. Un observateur est placé à l'origine. Il cherche du regard le point C qui est le point le plus haut de la colline visible. On note $a$ l'abscisse de C:
  1. Montrer que $\dfrac{f(a)}{a} = f'(a)$.
  2. En déduire la hauteur en mètres (par rapport au sol) du point C.
  • Ce site ne convient pas aux enfants de moins de 36 mois, sauf s'ils insistent vraiment.
  • Ne pas dépasser la dose prescrite.
  • Posologie: 1 fois/jour la semaine avant le contrôle.
  • L'efficacité du traitement dépend d'une prise régulière.
  • Effet secondaire: Peut procurer du plaisir surtout en cas de réussite !
  • En cas de persistance des difficultés, arrêter le traitement pendant une nuit, puis reprendre le lendemain.

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