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Equation de tangente

Tangente et dérivation
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Tangente

- Les questions qui tombent en exercice
Cours de math en vidéo
  • Equation de tangente
    Une équation de la tangente au point d'abscisse $\boldsymbol{a}$
    est
    $\boldsymbol{y=f'(a)(x-a)+f(a)}$
    Sous réserve que $f$ soit dérivable en $a$.

  • Equation de tangente passant par un point donné
    1) Ecrire l'équation générale d'une tangente: $y=f'(a)(x-a)+f(a)$
    2) Remplacer $(x;y)$ par les coordonnées du point
    3) Résoudre l'équation d'inconnue $a$
  • Tangente parallèle à une droite donnée
    On utilise le fait que:
    1) la tangente a pour coefficient directeur $\boldsymbol{f'(x)}$
    Sous réserve que $f$ soit dérivable en $x$.

    2) Deux droites (non verticales) sont parallèles $\Leftrightarrow$ elles ont le même coefficient directeur

    Exemple :
    Si on cherche les tangentes parallèles à la droite d'équation $y=2x+1$
    On résout $f'(x)=2$
    Cette équation traduit le fait que
    la droite et la tangente ont le même coefficient directeur
    c'est à dire sont parallèles.

    Cours de math en vidéo
  • Tangente commune à 2 courbes
    Pour trouver les tangentes communes aux courbes de 2 fonctions $f$ et $g$,
    on écrit:
    $\boldsymbol{y=f'(a)(x-a)+f(a)}$
    équation de la tangente en $a$
    sous réserve que $f$ soit dérivable en $a$.

    $\boldsymbol{y=g'(b)(x-b)+g(b)}$
    équation de la tangente en $b$
    sous réserve que $g$ soit dérivable en $b$.


    On veut que ces 2 équations correspondent à la même droite
    Ce qui signifie que l'on a le même coefficient directeur et la même ordonnée à l'origine.
    Puis on résout le système d'inconnues $\boldsymbol{a}$ et $\boldsymbol{b}$ formé par
    l'égalité des coefficients directeurs
    l'égalité des ordonnées à l'origine.





Calcul de dérivée : Exercices

à Imprimer
Corrigé en vidéo! Exercices 1: Dérivée graphiquement et par le calcul - f'(x)>0
On a tracé la courbe $\mathscr{C}$ d'une fonction $f$
définie et dérivable sur $[-1;4]$.
La droite (AB) est tangente à $\mathscr{C}$ en A.
1) A l'aide du graphique:
  a) Déterminer $f(0)$, $f'(0)$, $f(3)$, $f'(3)$.
  b) Résoudre $f(x)\leqslant 0$.
  c) Résoudre $f'(x)\geqslant 0$.
2) Retrouver ces résultats par le calcul
    sachant que $\displaystyle f(x)=\frac 14 x^3-\frac 34 x^2$.



Corrigé en vidéo! Exercices 2: équation de tangente y=f(a)(x-a)+f(a)
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 6x + 5$ et $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère du plan. Déterminer une équation de la tangente à $\mathscr{C}$ au point d'abscisse $2$ puis afficher sur l'écran de votre calculatrice la courbe $\mathscr{C}$ avec cette tangente.
Corrigé en vidéo! Exercices 3: Dérivation - Tangente passant par un point donné
Soit $f$ la fonction définie sur $[1\,;\,3]$ par $f(x) = -x^2+4x-3$.
On note $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de $f$
dans un repère d'origine O.
Cet arc de parabole symbolise une colline
(une unité sur le repère représente un hectomètre dans la réalité)
et l'axe des abscisses représente le sol.
Un observateur est placé à l'origine.
Il cherche du regard le point C
qui est le point le plus haut de la colline visible. On note $a$ l'abscisse de C.
1) Montrer que $\dfrac{f(a)}{a} = f'(a)$.
2) En déduire la hauteur en mètres (par rapport au sol) du point C.
Corrigé en vidéo! Exercices 4: Dérivation - Tangentes parallèles
On considère la courbe $\mathscr{C}_f$ représentant la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$.
1) Montrer que pour tout réel $a$, les tangentes aux points d'abscisses respectives $a$ et $-a$ sont parallèles.
2) $\mathscr{C}_f$ admet-elle des tangentes horizontales ?
Corrigé en vidéo! Exercices 5: Dérivation - Tangente parallèle à une droite donnée
On note $\mathscr{P}$ la parabole représentant la fonction carré dans un repère.
Déterminer l'équation de la tangente à $\mathscr{P}$ parallèle à la droite d'équation $y = \dfrac{5}{2}x - 4$.
Corrigé en vidéo! Exercices 6: Dérivation - Déterminer a, b et c tels que f(x)=...
On a représenté graphiquement une fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$
par $f(x) = ax + b\sqrt{x} + c$ où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels à déterminer.
La courbe passe par les points A$(0~;~1)$ et B$(4~;~1)$.
La droite $(BC)$ est tangente à la courbe au point $B$.
On donne aussi C$(2~;~2)$.
  1. On admet que $f$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$.
    Exprimer $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
  2. Déterminer $f(0)$, $f(4)$ et $f'(4)$.
  3. Déduire des informations précédentes les réels $a$, $b$ et $c$.
  4. Par lecture graphique, résoudre l'équation $f'(x) = 0$. Vérifier par le calcul.
Corrigé en vidéo! Exercices 7: Dérivation - Déterminer a, b et c tels que f(x)=...
On a représenté graphiquement une fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$
par $f(x) = ax + \dfrac{b}{x}$ où $a$ et $b$ sont deux réels à déterminer.
La courbe passe par le point A$\left(1~;~\frac{5}{2}\right)$.
La droite $(AB)$ est tangente à la courbe au point $A$.
On donne aussi B$(0~;~4)$.
  1. On admet que $f$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$.
    Exprimer $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
  2. Déterminer $f(1)$ et $f'(1)$.
  3. Déduire des informations précédentes les réels $a$ et $b$.
  4. Résoudre par lecture graphique l'équation $f'(x) = 0$
    puis vérifier par le calcul.
Corrigé en vidéo! Exercices 8: Dérivation - Tangente commune à 2 paraboles
Déterminer une équation de l'unique tangente commune aux courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$
définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$ et $g(x) = x^2 +2x +3$.
Corrigé en vidéo! Exercices 9: Dérivation - Tangente commune à deux courbes
Soient $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$ et $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\backslash\{0\}$ par $g(x)=\dfrac 1x$.
L'objectif de ce problème est de montrer que les courbes de $f$ et $g$ admettent une tangente commune dont on donnera une équation. On notera $\mathscr{C}_f$ la courbe de $f$ et $\mathscr{C}_g$ la courbe de $g$.
1) Soit $a$ un réel, déterminer une équation de la tangente à $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse $a$.
2) Soit $b$ un réel non nul, déterminer une équation de la tangente à $\mathscr{C}_g$ au point d'abscisse $b$.
3) Démontrer que l'existence d'une tangente commune revient à résoudre $\left\{ \begin{array}{r@{~}c@{~}l} 2\,a\, & = & -\dfrac 1 {b^2} \\ -\,a^2\, & = & \dfrac 2 b \end{array} \right.$
4) Conclure.
Corrigé en vidéo! Exercices 10: Dérivation - Paraboles tangentes
On considère les fonctions $f_1$ et $f_2$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f_1(x)=-x^2+6x-2$ et $f_2(x)=x^2 +2x$
On note $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ les paraboles représentatives de $f_1$ et $f_2$.
Montrer que $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ sont tangentes.
Deux paraboles sont dites tangentes lorsqu'elles ont un point commun et une tangente commune en ce point.
Corrigé en vidéo! Exercices 11: Dérivation - tangentes passant par un point donné
On note $\mathscr{P}$ la parabole représentant la fonction carré dans un repère.
Déterminer les équations des tangentes à $\mathscr{P}$ passant par le point $A(-1~;~-3)$.
Corrigé en vidéo! Exercices 12:

Aire constante sous une tangente


On a tracé une tangente à la courbe d'équation $y = \dfrac{1}{x}$. Elle coupe l'axe des ordonnées en $\rm M$ et celui des abscisses en $\rm N$. Montrer que l'aire du triangle $\rm MNO$ est indépendante de la tangente tracée.


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