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spé 1ère

Dérivation & Tableau de variations

Conseils
Cours

Comprendre le lien entre variation et dérivation


Cours

Savoir faire un tableau de variations à travers un exemple

Lien entre $f$ et $f'$
Ce qu'il ne faut pas croire
Méthode pour faire un tableau de variations
Exemple Étudier les variations de la fonction définie sur sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=x+\dfrac 1x$
Exercice 1:

Dérivée & tableau de variations - première option maths

$f$ est la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-6x+10$.
  1. Déterminer $f'(x)$.
  2. Étudier le signe de $f'(x)$.
  3. En déduire le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
Exercice 2:

Dérivée & tableau de variations - première option maths

$f$ est la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-5x^2+20x-17$.
  1. Déterminer $f'(x)$.
  2. Étudier le signe de $f'(x)$.
  3. En déduire le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
Exercice 3:

Dérivée & tableau de variations - polynôme du second degré - première option maths

Dans chaque cas, déterminer le sens de variation de la fonction à l'aide de la dérivation. Puis vérifier à l'aide de la calculatrice:
  1. $f(x) = x^2 + x + 1$ sur l'intervalle [0 ; 10]
  2. $m(x) = 0,4x^2 +1,8x + 5$ sur l'intervalle [0 ; 15]
  3. $n(x) = -3x^2 + 5x + 7$ sur l'intervalle [-5 ; 0]
Exercice 4:

Dérivée & tableau de variations - polynôme du troisième degré - première option maths

$f$ est la fonction définie sur l'intervalle $[-4 ; 5]$ par : $f (x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$
  1. Déterminer $f'(x)$.
  2. Utiliser l'écran de calcul formel ci-dessous pour dresser le tableau de signes de $f'(x)$:
  3. En déduire le tableau de variations de $f$.
Exercice 5:

Dérivée & tableau de variations - première option maths

$f$ est la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-3x^2-9x+5$.
  1. Déterminer $f'(x)$.
  2. Montrer que pour tout réel $x$: $f'(x)=(x+1)(3x-9)$.
  3. Étudier le signe de $f'(x)$.
  4. En déduire le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
Exercice 6:

Dérivée & tableau de variations - polynôme degré 3 première option maths

$f$ est la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-2x^3-3x^2+12x+1$.
  1. Déterminer $f'(x)$.
  2. Montrer que pour tout réel $x$: $f'(x)=6(1-x)(x+2)$.
  3. Étudier le signe de $f'(x)$.
  4. En déduire le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
Exercice 7:

Étude des variations d'une fonction polynôme de degré 3 - Dérivation

$f$ est la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x) =x^3-3x^2-9x+2$
  1. Déterminer $f'(x)$.
  2. Étudier le signe de $f'(x)$
  3. En déduire le tableau de variations de $f$
Exercice 8:

Étude des variations d'une fonction polynôme de degré 3 - Dérivation

Dans chaque cas, étudier les variations de la fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par:
$ \color{red}{\textbf{a. }} f(x) =-x^3+6x^2-1$ $\color{red}{\textbf{b. }} f(x) =2x^3-3x^2-36x-5$ $\color{red}{\textbf{c. }} f(x) = \dfrac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2 - 5$
Exercice 9:

ÉÉtude des variations d'une fonction homographique - dérivation u/v

Dans chaque cas, dresser le tableau de variations de la fonction $f$ définie sur le domaine $\rm I$:
$ \color{red}{\textbf{a. }} {\rm I}=\mathbb{R} \setminus \{1\}$ et $f(x) = \dfrac{x + 4}{1-x}$ $\color{red}{\textbf{b. }} {\rm I}=\mathbb{R} \setminus \{-1\}$ et $f(x) = 4x + \dfrac{1}{x+1}$
Exercice 10:

Associer les courbes de f et f'

On a tracé deux courbes $\mathscr{C}_1$ et $\mathscr{C}_1$.
L'une est la courbe d'une fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$, l'autre est la courbe de sa dérivée $f'$.
  1. Associer à chaque courbe la fonction qui lui correspond en justifiant.
  2. A l'aide du graphique, déterminer une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse 1.
Exercice 11:

Variations d'une fonction avec une fonction auxiliaire

Soit $f$ la fonction définie sur $]-4~;~+\infty[$ par $f(x) = \displaystyle{\frac{x^3-2}{x+4}}$.
  1. Vérifier que pour tout réel $x$ appartenant à $]-4~;~+\infty[$, $f'(x) = \dfrac{2x^3+12x^2+2}{(x+4)^2}$.
  2. Soit $g$ la fonction définie sur $]-4~;~+\infty[$ par $g(x) = 2x^3+12x^2+2$.
    1. Étudier les variations de $g$ et en déduire que pour tout réel $x$ appartenant à $]-4~;~+\infty[$, $g(x) >0$.
    2. En déduire les variations de $f$.
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  • L'efficacité du traitement dépend d'une prise régulière.
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