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Première S

Variations d'une fonction

Variations sans la dérivation
  • Conseils pour ce chapitre:
    • Voir le cours précédent: comprendre la notion de de dérivée
    • Voir le cours précédent: comment calculer une dérivée
  • Comment travailler efficacement Cours de math en vidéo
  • Conseils pour le jour du bac Cours de math en vidéo

♦ Savoir étudier les

variations

d'une fonction sans la dérivation
: cours en vidéo Cours de math en vidéo
  • Variations de $\boldsymbol{u+k}$  
    $\boldsymbol{u+k}$ a les mêmes variations que $\boldsymbol{u}$
    $u$ est une fonction définie sur un intervalle I
    $\boldsymbol{k}$ est une constante

    Quand on rajoute 2 à une fonction
    la courbe est décalée de 2 vers le haut .
    ça ne change donc pas les variations.
    $f$ et $f+2$ ont les mêmes variations.

    On dit que
    la courbe de $f+2$
    est la translatée de la courbe de $f$
    par la translation de vecteur $\boldsymbol{2\vec j}$
    Si on a $\boldsymbol{f-2}$
    au lieu de $f+2$

    ça revient à ajouter $\boldsymbol{-2}$
    $f-2=f+(-2)$

    et donc décaler la courbe de 2 vers le bas.
    Et donc ça ne change pas non plus les variations.
    $\boldsymbol{f-2}$ a les mêmes variations que $\boldsymbol{f}$.



  • Variations de $\boldsymbol{u+v}$  
    • $u$ et $v$ sont croissantes
    Si les fonctions $\boldsymbol{u}$ et $\boldsymbol{v}$ sont croissantes sur un intervalle I
    alors la fonction $\boldsymbol{u+v}$ est croissante sur I
    Soit $f$ définie $[0;+\infty[$ par $f(x)=x^2+x$.
    On pose pour tout $x$ de $[0;+\infty[$, $u(x)=x^2$ et $v(x)=x$
    $u$ et $v$ sont croissantes sur $[0;+\infty[$
    Donc $u+v$, c'est à dire $f$ est aussi croissante sur $[0;+\infty[$.


    • $u$ et $v$ sont décroissantes
    Si les fonctions $\boldsymbol{u}$ et $\boldsymbol{v}$ sont décroissantes sur un intervalle I
    alors la fonction $\boldsymbol{u+v}$ est décroissante sur I
    Soit $f$ définie sur $]-\infty;0]$ par $f(x)=x^2-x$.
    On pose pour tout $x$ de $]-\infty;0]$, $u(x)=x^2$ et $v(x)=-x$
    $u$ et $v$ sont décroissantes sur $]-\infty;0]$
    Donc $u+v$, c'est à dire $f$ est aussi décroissante sur $]-\infty;0]$.


    • $u$ est croissante et $v$ décroissante
    Si l'une est croissante et l'autre décroissante
    alors on ne peut pas conclure.
    Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2+x$.
    Pour tout $x$ réel, on pose , $u(x)=x^2$ et $v(x)=x$

    On a vu que sur $[0;+\infty[$,
    $u$ et $v$ sont toutes les 2 croissantes,
    donc $f=u+v$ est croissante.

    Mais sur $]-\infty;0[$
    $u$ est décroissante et $v$ est croissante
    Donc on ne peut pas conclure sur $]-\infty;0[$.


  • Variations de $\boldsymbol{\lambda u}$  
    Si $\lambda\gt 0$
    $\boldsymbol{\lambda u}$ a les mêmes variations que $\boldsymbol u$
    $\lambda$ est un nombre strictement positif
    $u$ est une fonction définie sur un intervalle I

    Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3x^2$
    On pose pour tout $x$ réel, $u(x)=x^2$
    Comme $f=\boldsymbol{3}u$, $f$ a les mêmes variations que $u$
    c'est à dire la fonction carré


    Quand on multiplie une fonction
    par un nombre strictement positif
    ici 3

    on ne change pas les variations.



    Si $\lambda\lt 0$
    $\boldsymbol{\lambda u}$ a des variations contraires à celle de $\boldsymbol u$
    $\lambda$ est un nombre strictement négatif
    $u$ est une fonction définie sur un intervalle I

    Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-3x^2$
    On pose pour tout $x$ réel, $u(x)=x^2$
    Comme $f=\boldsymbol{-3}u$, $f$ a des variations contraires à celles de $u$
    c'est à dire la fonction carré


    Quand on multiplie une fonction
    par un nombre strictement négatif
    ici -3

    on inverse les variations.



  • Variations de $\boldsymbol{\sqrt u}$  
    $\boldsymbol{\sqrt u}$ a les mêmes variations que $\boldsymbol u$
    $u$ est fonction positive sur un intervalle I

    Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\sqrt{x^2+1}$
    Pour tout $x$ réel, $x^2+1\ge 0$
    Donc pour tout $x$ réel, $\sqrt{x^2+1}$ a un sens
    Donc $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}$.

    Pour tout $x$ réel, on pose $u(x)=x^2+1$
    $f=\sqrt u$
    Donc $f$ a les mêmes variations que $u$ sur $\mathbb{R}$


  • Variations de \[\boldsymbol{\frac 1u}\]  
    $\displaystyle\boldsymbol{\frac 1u}$ a des variations contraires à celles de $\boldsymbol u$
    sous réserve que $\boldsymbol{u}$ soit une fonction
    ayant un signe constant et ne s'annule pas sur l'intervalle I
    Autrement dit,
    $u$ est toujours strictement positive sur l'intervalle I
    ou
    $u$ est toujours strictement négative sur l'intervalle I


    Soit $f$ la fonction définie sur $]-\infty;2[\cup]2;+\infty[$ par $\displaystyle f(x)=\frac 1{x-2}$
    On pose $u(x)=x-2$
    $\boldsymbol{\displaystyle f=\frac 1u}$
    Donc $f$ a des variations contraires à celles de $u$


    On cherche où $u$ s'annule, ici en 2, ce qui correspond à une valeur interdite pour $\displaystyle\frac 1u$.
    Sur $]-\infty;2[$, $u$ est strictement négative, donc $\displaystyle\frac 1u$ a des variations contraires à celles de $u$.
    Sur $]2;+\infty[$, $u$ est strictement positive, donc $\displaystyle\frac 1u$ a des variations contraires à celles de $u$.


  • Exemple: Variations de $\displaystyle \boldsymbol{f(x)=\frac {-3}{x^2+2}}$  
    On cherche les variations de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\displaystyle f(x)=\frac {-3}{x^2+2}$.
    $\displaystyle f(x)$ = $\displaystyle \frac {-3}{x^2+2}$
    On s'arrange pour faire apparaitre $\displaystyle \frac 1u$
    et donc se débarrasser du -3 au numérateur!
    = $\displaystyle -3\times \frac{1}{x^2+2}$

    Maintenant on peut dresser le tableau de variations

    On connait les variations de $x^2$
    Donc de $x^2+2$ a les mêmes variations que $x^2$
    Pour être tout à fait rigoureux,
    comme il s'agit d'une fonction
    il faudrait écrire $x\to x^2$
    et pas $x^2$!

    Et de même
    pour les autres expressions

    Car on rajoute 2
    ce qui ne change pas les variations
    voir $u+k$.

    Donc de $\displaystyle \frac 1{x^2+2}$ a des variations contraires à $x^2+2$
    Car $\displaystyle \frac 1u$ a des variations contraires à $u$

    Donc de $\displaystyle -3\times \frac 1{x^2+2}$ a des variations contraires à $\displaystyle \frac 1{x^2+2}$
    Car on multiplie par un nombre négatif
    ici -3.






Variations avec la dérivation

♦ Savoir étudier les

variations

d'une fonction à l'aide de la dérivation
: cours en vidéo Cours de math en vidéo
  • Lien entre $f$ et $f'$  
    Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle I:

    $f$ est croissante sur I$\boldsymbol{\Leftrightarrow}$ Pour tout $x$ de I, $\boldsymbol{f'(x)\geqslant 0}$
    $f$ est décroissante sur I$\boldsymbol{\Leftrightarrow}$ Pour tout $x$ de I, $\boldsymbol{f'(x)\leqslant 0}$
    $f$ est constante sur I$\boldsymbol{\Leftrightarrow}$ Pour tout $x$ de I, $\boldsymbol{f'(x)= 0}$
    Ce sont des équivalences,
    Chaque propriété "marche" dans les 2 sens !!!!

  • Erreur très classique  
    Ne pas croire que:
    $f$ est strictement croissante sur I$\boldsymbol{\not\Leftrightarrow}$ Pour tout $x$ de I, $\boldsymbol{f'(x)\gt 0}$
    Une fonction peut être strictement croissante sans que la dérivée soit strictement positive !!!!

    Pour que la fonction soit strictement croissante,
    il n'est pas nécessaire que la dérivée soit strictement positive
    Il suffit que la dérivée soit positive et ne s'annule qu'un nombre fini de fois
    Exemple avec la fonction cube:
    $f(x)=x^3$
    La fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$

    $f'(x)=3x^2$
    La dérivée n'est pas strictement positive.
    La dérivée est bien positive mais pas strictement car s'annule pour $\boldsymbol{x=0}$
    Et pourtant la fonction est strictement croissante!

  • En exercice  
    Pour trouver les variations d'une fonction $f$ avec la dérivation:
    1) Vérifier que la fonction est dérivable sur le domaine indiqué
    2) Calculer la dérivée $\boldsymbol{f}'$
    Après avoir vérifié que la fonction est dérivable sur le domaine indiqué
    c'est à dire que $f'(x)$ existe pour tout $x$ du domaine.

    3) Etudier le signe de $\boldsymbol{f'(x)}$
    Pour cela, penser à:
    - Mettre au même dénominateur, s'il y a des fractions
    - factoriser au maximum
    Pour factoriser, penser:
    - au facteur commun
    - à l'identité remarquable $\boldsymbol{a^2-b^2=(a-b)(a+b)}$

    - Faire le tableau de signe
    1) On étudie le signe de chaque bloc séparément
    2) On trouve le signe final en appliquant la règle des signes par colonne.
    Avant de faire le tableau de signe
    Bien vérifier que chaque bloc du tableau de signe
    est séparé des autres blocs
    par une multiplication ou une division
    Sinon on ne peut pas appliquer la règle des signe!



    4) Conclure
    Pour cela, on utilise la propriété suivante:
    • Sur les intervalles où $\boldsymbol{f'(x)\geqslant 0}$, $f$ est strictement croissante
    sous réserve que $\boldsymbol{f'}$ ne s'annule qu'un nombre fini de fois
    sur ces intervalles.

    • Sur les intervalles où $\boldsymbol{f'(x)\leqslant 0}$, $f$ est strictement décroissante
    sous réserve que $f'$ ne s'annule qu'un nombre fini de fois
    sur ces intervalles.

    Penser à calculer
    les valeurs des minimums et maximums
    et à les mettre dans le tableau de variations.



    Pour étudier les variations d'une fonction
    on n'a pas toujours besoin d'utiliser la dérivation!
    Penser à utiliser la méthode sans la dérivation
    Dans un certain nombre de cas,
    sans la dérivation
    ça permet de trouver les variations très rapidement
    et sans calcul!


  • Exemple: Variations de $\displaystyle \boldsymbol{f(x)=x+\frac 1x}$  
    Soit la fonction $f$ définie sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ par $f(x)=\displaystyle {x+\frac 1x}$
    $f$ est dérivable sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$ comme somme de 2 fonctions dérivables sur ces 2 intervalles.
    $f'(x)$ = $\displaystyle 1-\frac 1{x^2}$
    Ensuite on va mettre au même dénominateur
    = $\displaystyle \frac{x^2-1}{x^2}$
    Ensuite on va factoriser au maximum
    pour pouvoir faire le tableau de signe.
    = $\displaystyle \frac{(x-1)(x+1)}{x^2}$

    Ensuite on dresse le tableau de variations:




Application de la dérivation

♦ Comprendre la notion d'

extremum

: cours en vidéo Cours de math en vidéo
  • Maximum  
    Pour montrer que M est le maximum d'une fonction $f$ sur un intervalle I
    il y a 2 conditions à vérifier:
    1) Vérifier que pour tout $x$ de I, $\boldsymbol{f(x)\leqslant M}$
    Cette première condition ne suffit pas à prouver que M est le maximum
    Il faut encore prouver que le maximum est atteint
    C'est l'objet de la deuxième condition.

    2) Vérifier qu'il existe $a\in I$, tel que $\boldsymbol{f(a)=M}$
    Concrètement pour trouver le maximum,
    penser à trouver le tableau de variations
    avec ou sans la dérivation

    Puis lire le maximum dans le tableau de variations.
    Il n'y a pas toujours de maximum!


  • Minimum  
    Pour montrer que M est le minimum d'une fonction $f$ sur un intervalle I
    il y a 2 conditions à vérifier:
    1) Vérifier que pour tout $x$ de I, $\boldsymbol{f(x)\geqslant M}$
    Cette première condition ne suffit pas à prouver que M est le minimum
    Il faut encore prouver que le minimum est atteint
    C'est l'objet de la deuxième condition.

    2) Vérifier qu'il existe $a\in I$, tel que $\boldsymbol{f(a)=M}$
    Concrètement pour trouver le minimum,
    penser à trouver le tableau de variations
    avec ou sans la dérivation

    Puis lire le minimum dans le tableau de variations.
    Il n'y a pas toujours de minimum!


  • Extremum  
    Dire que M est un extremum signifie que M est un maximum ou un minimum.
    Au pluriel,
    extremum devient extrema ou extremums
    Même règle avec minimum et maximum.

♦ Comment trouver

maximum, minimum, extremum

: cours en vidéo Cours de math en vidéo
  • Inégalité  
    Pour montrer une inégalité $\boldsymbol{\rm A\geqslant \rm B}$
    Méthode 1: avec un tableau de signe
    Pour montrer une inégalité $\boldsymbol{\rm A\geqslant \rm B}$
    Penser à utiliser un tableau de signe.
    1) Ecrire l'inégalité sous la forme $\boldsymbol{A-B\geqslant 0}$
    De façon à avoir
    0 dans le membre de droite.

    2) Mettre au même dénominateur
    S'il y a des fractions

    3) Factoriser au maximum
    Pour factoriser, penser:
    - au facteur commun
    - à l'identité remarquable $\boldsymbol{a^2-b^2=(a-b)(a+b)}$

    3) Dresser le tableau de signe
    On étudie le signe de chaque bloc séparément.
    Puis on applique la règle des signes par colonne.

    4) Conclure
    Si on s'interesse à l'inégalité $A-B\geqslant 0$
    Regarder dans le tableau de signe
    sur la dernière ligne, s'il y a que des $\boldsymbol{+}$
    Dans ce cas,
    l'inégalité est démontrée!


    Si on s'interesse à l'inégalité $A-B\leqslant 0$
    Regarder dans le tableau de signe
    sur la dernière ligne, s'il y a que des $\boldsymbol{-}$
    Dans ce cas,
    l'inégalité est démontrée!


    Pour plus d'info aller ici

    Méthode 2: avec un tableau de variations
    Pour montrer une inégalité $\boldsymbol{\rm A \geqslant B}$
    Quand on n'arrive pas à appliquer la méthode avec le tableau de signe
    souvent car on n'arrive pas à factoriser.

    On utilise un tableau de variations:

    1) On écrit l'inégalité sous la forme $\rm A-B\geqslant 0$
    On regroupe tout dans le membre de gauche
    de façon à avoir 0 à droite.

    2) On pose $f(x)=\rm A-B$
    Evidement on peut utiliser un autre nom que $f(x)$!

    3) On étudie les variations de $f$
    Pour cela, on utilise l'une des 2 méthodes suivantes:
    • la méthode avec la dérivation
    • la méthode sans la dérivation

    4) On conclut
    Si on s'interesse à $\rm A-B\geqslant 0$
    On cherche le minimum de $f$ dans le tableau de variations.
    Si le minimum est 0 ou plus, alors l'inégalité est démontrée
    En effet si le minimum de $f$ est 0,
    alors $f(x)\geqslant 0$
    donc $\rm A-B\geqslant 0$
    donc $\rm A\geqslant B$.
    Ce raisonnement est encore vrai
    si le minimum est plus grand que 0!



    Si on s'interesse à $\rm A-B\leqslant 0$
    On cherche le maximum de $f$ dans le tableau de variations.
    Si le minimum est 0 ou moins, alors l'inégalité est démontrée
    En effet si le minimum de $f$ est 0,
    alors $f(x)\leqslant 0$
    donc $\rm A-B\leqslant 0$
    donc $\rm A\leqslant B$.
    Ce raisonnement est encore vrai
    si le minimum est plus petit que 0!

  • Exemple: $\displaystyle \boldsymbol{x+\frac 1x\geqslant 2}$  
    Montrer que pour $x\gt 0$, $\displaystyle x+\frac 1x\geqslant 2$
    On pose $\displaystyle f(x)=x+\frac 1x-2$
    On va chercher le minimum de $f$.
    Et on espère que ce minimum est 0 ou plus.
    Et du coup, on pourra en conclure que $f(x)$ est plus grande que 0.
    Pour trouver ce minimum, on va chercher les variations de $f$.

    $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ comme somme de 3 fonctions dérivables sur $]0;+\infty[$.
    $f'(x)$ = $\displaystyle 1-\frac 1{x^2}$
    Ensuite on va mettre au même dénominateur
    = $\displaystyle \frac{x^2-1}{x^2}$
    Ensuite on va factoriser au maximum
    pour pouvoir faire le tableau de signe.
    Dans cet exemple,
    on pourrait trouver le signe de $x^2-1$
    directement, sans factoriser.
    Mais dans des cas plus compliqués,
    il faut penser à factoriser.

    = $\displaystyle \frac{(x-1)(x+1)}{x^2}$

    Ensuite on dresse le tableau de variations:

    On conclut ensuite ainsi:
    Le minimum de $f$ sur $]0;+\infty[$ est 0,
    Donc pour tout $x\gt 0$,
    $f(x)\geqslant 0$
    Donc $\displaystyle x+\frac 1x-2\geqslant 0$
    Donc $\displaystyle x+\frac 1x\geqslant 2$
    C'est ce qu'il fallait démontrer!

    On aurait pu traiter cet exemple
    avec la méthode
    utilisant un tableau de signe.

    Voir l'exemple en vidéo Cours de math en vidéo
  • Maximum local  
    Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle I.
    Dire que $f$ admet un maximum local $\boldsymbol{m}$
    signifie
    il existe un intervalle ouvert inclus dans I sur lequel $\boldsymbol{m}$ est le maximum.
    Si on ne regarde la courbe que sur $]0,5;1,5[$
    3 est le maximum.
    Donc 3 est un maximum local.
    Mais le maximum global est 4!


  • Minimum local  
    Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle I.
    Dire que $f$ admet un minimum local $\boldsymbol{m}$
    signifie
    il existe un intervalle ouvert inclus dans I sur lequel $\boldsymbol{m}$ est le minimum.
    Si on ne regarde la courbe que sur $]-1,5;-0,5[$
    2 est le minimum.
    Donc 2 est un minimum local.
    Mais le minimum global est 1!


  • Condition nécessaire  
    Condition nécessaire pour avoir un extremum local
    Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle I et $c\in I$.

    S'il y a un extremum local en $c$ alors $\boldsymbol{f'(c)=0}$
    La réciproque est fausse!
    On peut très bien avoir une dérivée qui s'annule en $c$
    sans qu'il y ait d'extremum en $c$!
    cf. erreur classique 1

    Autrement dit,
    pour qu'il y ait un extremum local en $c$, il faut que $\boldsymbol{f'(c)=0}$.

    Dit encore autrement
    Si la dérivée ne s'annule pas en $c$, alors il n'y a pas d'extremum local en $c$!



    Erreur classique 1
    On vient d'expliquer que
    Pour qu'il y ait un extremum local en $c$, il faut que $f'(c)=0$
    Mais on peut très bien avoir $\boldsymbol{f'(c)=0}$ sans qu'il y ait d'extremum local.

    La dérivée s'annule en 0 et pourtant pas d'extremum en 0!

    $\boldsymbol{f'(c)=0}$ est une condition nécessaire mais pas suffisante pour qu'il y ait un extremum.

    Erreur classique 2
    On peut très bien avoir un extremum en $c$ sans que la dérivée s'annule en $c$.

    Le maximum est en 3 et vaut 4
    Et la dérivée ne s'annule pas en 3!

    L'extremum peut être à une borne de l'intervalle
    et du coup ce n'est pas un extremum local.
    et donc la dérivée ne s'annule pas forcément.


    Dans la pratique
    Quand on cherche un extremum
    le chercher parmi les extrema locaux ou aux bornes du domaine
  • Condition nécessaire et suffisante  
    Condition nécessaire et suffisante pour avoir un extremum local
    Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle I et $c\in I$.

    Il y a un extremum local en $c$ $\Leftrightarrow$ La dérivée s'annule en changeant de signe en $c$
    Cette fois, c'est une équivalence!

  • Dans la pratique  
    Dans la pratique, pour trouver les extrema, maximum et minimum:
    1) Trouver le tableau de variations
    avec ou sans la dérivation

    2) Lire minimum et maximum dans le tableau de variations
    Il n'y a pas toujours de maximum ou minimum




Corrigé en vidéo! Exercices 1: Étude des

variations

d'une fonction polynôme de degré 3
Etudier les variations de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \displaystyle 2x^3-3x^2-36x-5$

Corrigé en vidéo! Exercices 2: Étude des

variations

d'une fonction polynôme de degré 4
Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \displaystyle{\frac{1}{4}}x^4 - x^3 + x^2 - 5$
Corrigé en vidéo! Exercices 3: Étude des variations d'une fonction homographique
Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ par $f(x) = \displaystyle{\frac{x + 4}{1-x}}$
Corrigé en vidéo! Exercices 4:

Étude des variations d'une fonction


Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$ par $f(x) = 4x + \displaystyle{\frac{1}{x+1}}$
Corrigé en vidéo! Exercices 5:

Minimum d'une fonction


Montrer que la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x) = (x-2)\sqrt{x}$ admet un minimum.

Corrigé en vidéo! Exercices 6:

Montrer une inégalité


Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif, $x + \displaystyle{\frac{1}{x}} \geqslant 2$.

Corrigé en vidéo! Exercices 7:

Variations d'une fonction avec une fonction auxiliaire


Soit $f$ la fonction définie sur $]-4~;~+\infty[$ par $f(x) = \displaystyle{\frac{x^3-2}{x+4}}$.
  1. Vérifier que pour tout réel $x$ appartenant à $]-4~;~+\infty[$, $f'(x) = \displaystyle{\frac{2x^3+12x^2+2}{(x+4)^2}}$.
  2. Soit $g$ la fonction définie sur $]-4~;~+\infty[$ par $g(x) = 2x^3+12x^2+2$.
  3. Étudier les variations de $g$ et en déduire que pour tout réel $x$ appartenant à $]-4~;~+\infty[$, $g(x) >0$.
  4. Décrire les variations de $f$.
Corrigé en vidéo! Exercices 8:

Longueur minimale d'une clôture

- Problème d'

optimisation


A l'aide d'un grillage, on souhaite délimiter une surface rectangulaire de $100$ m$^{2}$ adossée à un mur.
Le but de cet exercice est de trouver la longueur minimale de grillage nécessaire.

  1. On pose $AB = x$ (l'unité de longueur est le mètre). Exprimer la longueur de la clôture en mètres en fonction de $x$.
  2. Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = 2x + \displaystyle{\frac{100}{x}}$.
  3. Déterminer la longueur de grillage minimale (arrondie au dm près) pour délimiter une surface rectangulaire de $100$ m$^{2}$ adossée à ce mur.
Corrigé en vidéo! Exercices 9:

Distance d'un point à une parabole

- Problème d'

optimisation


Dans un repère orthonormé, $\mathscr{P}$ est la parabole d'équation $y= x^2$. $M$ est un point quelconque de $\mathscr{P}$ d'abscisse $x$ et $A$ est le point de coordonnées $(0~;~1)$.
Le but de l'exercice est de trouver la position du point $M$ sur $\mathscr{P}$ qui minimise la distance $AM$. Nous admettons que ce problème revient à minimiser le nombre $AM^2$.
  1. Démontrer que $AM^2 = x^4 - x^2 + 1$.
  2. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^4 - x^2 + 1$.
    a) Expliquer pourquoi il suffit d'étudier $f $ sur $[0~;~+\infty[$ pour résoudre notre problème.
    b) Calculer $f'(x)$ et étudier son signe sur $[0~;~+\infty[$.
    c) Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
    d) Conclure.
Corrigé en vidéo! Exercices 10:

Minimiser le coût d'une boîte

- Problème d'

optimisation


Une entreprise souhaite fabriquer une boîte de 128 cm$^3$ de volume de la forme d'un pavé droit à base carrée. Le fond et le couvercle lui reviennent à 4 centimes le cm$^2$ et les faces latérales à 2 centimes le cm$^2$. On note $x$ la longueur en cm du côté de la base et $h$ la hauteur en cm de la boîte.
  1. Exprimer $h$ en fonction de $x$.
  2. En déduire que le prix de revient en centimes est $p(x) = 8x^2 + \displaystyle{\frac{1024}{x}}$.
  3. Étudier les variations de $p$ sur $]0~;~ +\infty[$.
  4. Donner les dimensions de la boîte pour que le prix de revient soit minimal.
Corrigé en vidéo! Exercices 11:

Aire maximale d'un triangle sous une parabole

- Problème d'

optimisation


Sur la figure ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormé la parabole d'équation $y = -\displaystyle{\frac29}x^2 + 8$.
Elle coupe l'axe des abscisses en $A$ et $B$. Soit $M$ un point du segment $[AB]$, la perpendiculaire à l'axe des abscisses passant par $M$ coupe la parabole en $N$.

Où placer le point $M$ sur le segment $[AB]$ pour avoir l'aire du triangle $AMN$ maximale ?
Corrigé en vidéo! Exercices 12:

Position relative de deux courbes


On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^4 -3x + 1 \quad \text{et} \quad g(x) = 2x^3 - 3x -1$
On a représenté ci-dessous les courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ représentatives des fonctions $f$ et $g$.

La courbe $\mathscr{C}_f$ est-elle toujours au-dessus de $\mathscr{C}_g$?
Corrigé en vidéo! Exercices 13:

Aire constante sous une tangente


On a tracé une tangente à la courbe d'équation $y = \dfrac{1}{x}$. Elle coupe l'axe des ordonnées en $\rm M$ et celui des abscisses en $\rm N$. Montrer que l'aire du triangle $\rm MNO$ est indépendante de la tangente tracée.


Dérivation - Variations - maximum - minimum - extremum : Exercices

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Qui sommes-nous? Nicolas Halpern-Herla
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