Dérivation & Tableau de variations avec un quotient

Conseils

Exercice type

pour savoir faire un tableau de variations avec des quotients (u/v)

• Méthode pour faire un tableau de variations

Vérifier que la fonction est dérivable sur le domaine indiqué
Parfois il n'y a rien à faire car c'est dit dans l'énoncé: "$f$ est dérivable sur ..."
Calculer la dérivée $\boldsymbol{f}'(x)$
- Mettre au même dénominateur, s'il y a des fractions
- Factoriser au maximum
Faire le tableau de signe de $\boldsymbol{f'(x)}$
Vous devez être capable de trouver le signe:
- d'une fonction affine $ax+b$
- d'un polynôme du second degré $ax^2+bx+c$
Avant de faire le tableau de signe
Bien vérifier que chaque bloc du tableau de signe est séparé des autres blocs par une multiplication ou une division.
Sinon on ne peut pas appliquer la règle des signes et faire le tableau de signes!
Conclure
On utilise la propriété suivante:
- Sur les intervalles où $\boldsymbol{f'(x)\geqslant 0}$, $f$ est strictement croissante
  sous réserve que $f'$ ne s'annule qu'un nombre fini de fois sur ces intervalles.
- Sur les intervalles où $\boldsymbol{f'(x)\leqslant 0}$, $f$ est strictement décroissante
  sous réserve que $f'$ ne s'annule qu'un nombre fini de fois sur ces intervalles.
Penser à calculer
Penser à calculer les valeurs des minimums et maximums et à les mettre dans le tableau de variations.

• Exemple Étudier les variations de la fonction définie sur sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=x+\dfrac 1x$

$f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ comme somme de 2 fonctions dérivables sur cet intervalle.
$f'(x)=1-\dfrac 1{x^2}$
Maintenant, mettre au même dénominateur

$\phantom{f'(x)}=\dfrac{x^2-1}{x^2}$
Maintenant, factoriser

$\phantom{f'(x)}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x^2}$
On dresse le tableau de signes de $\boldsymbol{f'(x)}$ et on enchaîne le tableau de variations

Exercice 1:

Dérivée & tableau de variations avec 1/x (quotient/fraction) - première spécialité mathématiques

Dans chaque cas, étudier les variations de la fonction à l'aide de la dérivation:

$ \color{red}{\textbf{a. }} f(x) = x-\dfrac 1x$ sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ $\color{red}{\textbf{b. }} f(x) = x+\dfrac 1x$ sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$

Exercice 2:

Dérivée & tableau de variations avec 1/x (quotient/fraction) - première spécialité mathématiques

Étudier les variations de la fonction définie sur $\mathbb{R}^*$ par $f(x)=2x+\dfrac 6x$.

Exercice 3:

Dérivée & tableau de variations u/v (quotient) - première spécialité mathématiques

Dans chaque cas, étudier les variations de la fonction à l'aide de la dérivation:

$ \color{red}{\textbf{a. }} f(x) = \dfrac {3-2x}{x-5}$ sur $]-\infty;5[\cup]5;+\infty[$ $\color{red}{\textbf{b. }} f(x) = \dfrac {10x}{x^2+9}$ sur $\mathbb{R}$

Exercice 4:

Dérivée & tableau de variations u/v (quotient) - première spécialité mathématiques

Dans chaque cas, étudier les variations de la fonction à l'aide de la dérivation:

$ \color{red}{\textbf{a. }} f(x) = \dfrac {x^2}{x+2}$ sur $]-\infty;-2[\cup]-2;+\infty[$ $ \color{red}{\textbf{b. }} f(x) = \dfrac {x^2+3x}{x-1}$ sur $]-\infty;1[\cup]1;+\infty[$

Exercice 5:

Dérivée & tableau de variations u/v (quotient) - première spécialité mathématiques

Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $]-\infty;-1[\cup]-1;+\infty[$ par $f(x) = x+2-\dfrac {3}{x+1}$ à l'aide de la dérivation.

Exercice 6:

Dérivée & tableau de variations u/v (quotient) - première spécialité mathématiques

Dans chaque cas, étudier les variations de la fonction à l'aide de la dérivation:

$\color{red}{\textbf{a. }} f(x) = \dfrac {7x+5}{2x-6}$ sur $]-\infty;-2[\cup]-2;+\infty[$ $\color{red}{\textbf{b. }} f(x) = \dfrac {x^2+8x+13}{x+2}$ sur $]-\infty;-2[\cup]-2;+\infty[$

Exercice 7:

Étude des variations d'une fonction homographique - dérivation d'un quotient u/v - première spécialité mathématiques

Dans chaque cas, dresser le tableau de variations de la fonction $f$ définie sur l'ensemble indiqué $\rm I$:

$ \color{red}{\textbf{a. }} {\rm I}=\mathbb{R} \setminus \{1\}$ et $f(x) = \dfrac{x + 4}{1-x}$ $\color{red}{\textbf{b. }} {\rm I}=\mathbb{R} \setminus \{-1\}$ et $f(x) = 4x + \dfrac{1}{x+1}$

Exercice 8:

Associer les courbes de f et f'

On a tracé deux courbes $\mathscr{C}_1$ et $\mathscr{C}_1$.
L'une est la courbe d'une fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$, l'autre est la courbe de sa dérivée $f'$.

Associer à chaque courbe la fonction qui lui correspond en justifiant.
A l'aide du graphique, déterminer une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse 1.

Exercice 9:

Variations d'une fonction avec une fonction auxiliaire - première spécialité mathématiques

Soit $f$ la fonction définie sur $]-4~;~+\infty[$ par $f(x) = \displaystyle{\frac{x^3-2}{x+4}}$.

Vérifier que pour tout réel $x$ appartenant à $]-4~;~+\infty[$, $f'(x) = \dfrac{2x^3+12x^2+2}{(x+4)^2}$.
Soit $g$ la fonction définie sur $]-4~;~+\infty[$ par $g(x) = 2x^3+12x^2+2$.
1. Étudier les variations de $g$ et en déduire que pour tout réel $x$ appartenant à $]-4~;~+\infty[$, $g(x) >0$.
2. En déduire les variations de $f$.

Ce site ne convient pas aux enfants de moins de 36 mois, sauf s'ils insistent vraiment.
Ne pas dépasser la dose prescrite.
Posologie: 1 fois/jour la semaine avant le contrôle.
L'efficacité du traitement dépend d'une prise régulière.
Effet secondaire: Peut procurer du plaisir surtout en cas de réussite !
En cas de persistance des difficultés, arrêter le traitement pendant une nuit, puis reprendre le lendemain.

Dérivation & Tableau de variations - Niveau 3 - Avec un quotient / fraction

pour savoir faire un tableau de variations avec des quotients (u/v)

Dérivée & tableau de variations avec 1/x (quotient/fraction) - première spécialité mathématiques

Dérivée & tableau de variations avec 1/x (quotient/fraction) - première spécialité mathématiques

Dérivée & tableau de variations u/v (quotient) - première spécialité mathématiques

Dérivée & tableau de variations u/v (quotient) - première spécialité mathématiques

Dérivée & tableau de variations u/v (quotient) - première spécialité mathématiques

Dérivée & tableau de variations u/v (quotient) - première spécialité mathématiques

Étude des variations d'une fonction homographique - dérivation d'un quotient u/v - première spécialité mathématiques

Associer les courbes de f et f'

Variations d'une fonction avec une fonction auxiliaire - première spécialité mathématiques