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Dérivation - démonstration & Exercices théoriques

Formules de dérivation
  • Conseils pour ce chapitre:
    • Regarder le cours précédent sur la définition de la dérivée
  • Comment travailler efficacement Cours de math en vidéo
  • Conseils pour le jour du bac Cours de math en vidéo

  • Dérivée sur un intervalle
    Dire qu'une fonction est dérivable sur un intervalle I
    signifie
    que cette fonction est dérivable pour tout $x$ de I
    Autrement dit que
    $f'(x)$ existe pour tout $x$ de I

    Les théorèmes ci-dessous, permettent de justifier
    qu'une fonction est dérivable sur un intervalle
    et
    donnent la dérivée.

Dérivée

de fonction du type $\boldsymbol{k}$, $\boldsymbol{x}$, $\boldsymbol{x^2}$, $\boldsymbol{x^n}$: cours en vidéo Cours de math en vidéo
  • Dérivée d'une constante Cours de math en vidéo  
    Si $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $\boldsymbol{f(x)=k}$
    $k$ est une constante réelle

    alors $f$ est dérivable sur $\boldsymbol{\mathbb{R}}$ et pour tout $x$ réel, $\boldsymbol{f'(x)=0}$
    Exemple:
    Si $f(x)=3$ alors $f'(x)=0$

  • Dérivée de $\boldsymbol{x}$ Cours de math en vidéo  
    Si $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $\boldsymbol{f(x)=x}$
    alors $f$ est dérivable sur $\boldsymbol{\mathbb{R}}$ et pour tout $x$ réel, $\boldsymbol{f'(x)=1}$
  • Dérivée de $\boldsymbol{x^2}$ Cours de math en vidéo
    Si $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $\boldsymbol{f(x)=x^2}$
    alors $f$ est dérivable sur $\boldsymbol{\mathbb{R}}$ et pour tout $x$ réel, $\boldsymbol{f'(x)=2x}$
  • Dérivée de $\boldsymbol{x^n}$ Cours de math en vidéo
    Si $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $\boldsymbol{f(x)=x^n}$
    $\boldsymbol{n}$ est un entier supérieur ou égal à 2!

    alors $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout $x$ réel, $\boldsymbol{f'(x)=nx^{n-1}}$
    Exemple:
    Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par \[ f(x)=x^5\]
    $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
    car elle est de la forme $x^n$
    avec $n$ entier strictement positif

    Et pour tout $x$ réel, $f(x)=5x^4$
    On applique la formule avec $n=5$.

Dérivée

de fonction du type $\displaystyle \boldsymbol{\frac 1x}$, $\displaystyle\boldsymbol{\frac 1{x^n}}$: cours en vidéo Cours de math en vidéo
  • Dérivée de \[\boldsymbol{\frac 1x}\] Cours de math en vidéo
    Si $f$ est définie sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ par \[ \boldsymbol{f(x)=\frac 1x}\]
    alors $f$ est dérivable sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ et pour tout $x$ non nul, \[ \boldsymbol{f'(x)=-\frac 1{x^2}}\]
  • Dérivée de \[\boldsymbol{\frac1{x^n}}\]
    Si $f$ est définie sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ par \[\boldsymbol{f(x)=\frac 1{x^n}} \]
    $n$ est un entier strictement positif

    alors $f$ est dérivable sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$
    et pour dériver, on écrit \[\frac 1{x^n}=x^{-n} \]
    Puis on applique la formule $f(x)=x^n$ alors $f'(x)=nx^{n-1}$
    formule encore valable
    avec $n$ entier strictement négatif.


    Exemple:
    Pour calculer la dérivée de \[ f(x)=\frac 1{x^3}\], on écrit:
    Pour tout $x$ non nul:
    1) \[f(x)=\frac 1{x^3}=x^{-3} \]
    On utilise \[ \frac 1{x^n}=x^{-n}\]

    2) $f'(x)=-3x^{-3-1}=-3x^{-4}$
    Attention,
    on voit souvent l'erreur
    $f'(x)=-3x^{-2}$
    L'erreur c'est d'avoir
    rajouter 1 au lieu d'enlever 1.

    3) \[ f'(x)=-\frac 3{x^4}\]
    On se débarrasse des puissances négatives
    On utilise \[ x^{-n}=\frac 1{x^n}\]

Dérivée

de la fonction racine carrée: cours en vidéo Cours de math en vidéo
  • Dérivée de $\boldsymbol{\sqrt{x}}$
    La fonction racine carrée est définie sur $[0;+\infty[$ mais n'est dérivable que sur $]0;+\infty[$
    Autrement dit,
    la fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0!!!!


    Si $f$ est définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x}$
    alors pour tout $\boldsymbol{x>0}$, $\displaystyle f'(x)=\frac 1{2\sqrt{x}}$
    On peut retrouver cette formule
    en utilisant la dérivée de $\boldsymbol{x^n}$ avec $n=\frac 12$
    La dérivée de $x^n$ est $nx^{n-1}$
    $\displaystyle f(x)=\sqrt x=x^{\frac 12}$
    Donc en appliquant la formule de dérivation de $x^n$ à $\displaystyle{x^{\frac 12}}$, on obtient
    $\displaystyle f'(x)=\frac 12 x^{\frac 12 -1}=\frac 12 x^{-\frac 12}=\frac 12 \frac 1{x^{\frac 12}}=\frac 1{2\sqrt{x}}$

Dérivée

d'une somme
: cours en vidéo Un peu de patience, la vidéo est bientôt prête
  • Dérivée de $\boldsymbol{u+v}$
    Dérivée d'une somme
    Pour la dérivée d'une soustraction
    c'est la même méthode,
    le + est transformé en -

    Si $\boldsymbol u$ et $\boldsymbol v$ sont deux fonctions dérivables sur un même intervalle I,
    alors $\boldsymbol{u+v}$ est aussi dérivable sur I
    et on a $\boldsymbol{(u+v)'=u'+v'}$
    Autrement dit:
    Quand on veut dériver une somme de fonctions
    on les dérive séparement et puis on additionne les dérivées.

    Exemple:
    Pour dériver $f(x)=x+x^2$
    On écrit:
    $f$ est la somme de 2 fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$
    Donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
    Et pour tout $x$ réel, $f'(x)=1+2x$

Dérivée

d'un produit
: cours en vidéo Cours de math en vidéo
  • Dérivée de $\boldsymbol{kv}$
    Si $\boldsymbol{u}$ est une fonction dérivable sur un intervalle I
    alors $\boldsymbol{ku}$ est aussi dérivable sur I
    $k$ est une constante réelle

    et on a $\boldsymbol{(ku)'=k\times u'}$
    Attention
    on ne dérive pas le $k$!

    Pour dériver $f(x)=3x^2$
    $f'(x)=3\times 2x$

  • Dérivée de $\boldsymbol{u\times v}$
    Si $\boldsymbol{u}$ et $\boldsymbol{v}$ sont 2 fonctions dérivables sur un même intervalle I
    alors $\boldsymbol{uv}$ est aussi dérivable sur I
    et on a
    $\boldsymbol{(u \times v)'=u'v+uv'}$
    Exemple:
    $f(x)=x\sqrt{x}$
    on écrit $u(x)=x$ et $v(x)=\sqrt{x}$
    $u$ et $v$ sont dérivables sur $]0;+\infty[$ donc $f$ aussi.
    et on a $u'(x)=1$ et \[v'(x)=\frac 1{2\sqrt x} \]
    Donc \[f'(x)=1\times \sqrt{x}+x\times \frac 1{2\sqrt x} \].

  • Ne pas confondre $k+u$ et $k\times u$
    $(k+u)'=0+u'=u'$
    où $k$ est une constante

    $(ku)'=k\times u'$
    Quand la constante $k$ est dans une multiplication,
    on ne dérive pas le $\boldsymbol k$!

    Exemple:
    Soit $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=4+x^2$ et $g(x)=4x^2$
    $f'(x)=0+2x=2x$
    $g'(x)=4\times 2x=8x$
    Surtout ne pas écrire:
    $g'(x)=0\times 2x$
    mais
    $g'(x)=4\times 2x$

Dérivée

d'un quotient
: cours en vidéo Cours de math en vidéo
  • Dérivée de \[\boldsymbol{\frac 1u}\]
    Si $\boldsymbol{u}$ est une fonction dérivable sur un intervalle I
    qui ne s'annule pas sur cet intervalle
    alors \[\boldsymbol{\frac 1u}\] est aussi dérivable sur I
    et on a
    \[\boldsymbol{\left(\frac 1u\right)'=-\frac{u'}{u^2}}\]
    Exemple:
    \[f(x)=\frac1{x^2+1} \]
    On écrit $u(x)=x^2+1$
    $u$ ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$ et $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
    donc \[\frac 1u \], c'est à dire $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
    On a $u'(x)=2x$ donc \[ f'(x)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}\]

  • Dérivée de \[\boldsymbol{\frac uv}\]
    Si $\boldsymbol{u}$ et $\boldsymbol{v}$ sont 2 fonctions dérivables sur un même intervalle I
    et si $\boldsymbol{v}$ ne s'annule pas sur cet intervalle
    alors \[\boldsymbol{\frac uv}\] est aussi dérivable sur I
    et on a
    \[\boldsymbol{\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}}\]
    Exemple:
    \[ f(x)=\frac{x^2}{x-1}\] sur $]1;+\infty[$
    On écrit $u(x)=x^2$ et $v(x)=x-1$
    $u$ et $v$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ donc sur $]1;+\infty[$
    $v$ ne s'annule pas sur $]1;+\infty[$
    donc \[ \frac uv\], c'est à dire $f$ est dérivable sur $]1;+\infty[$
    Pour tout $x\in ]1;+\infty[$, on a $u'(x)=2x$ et $v'(x)=1$
    donc \[ f'(x)=\frac{2x\times (x-1)-x^2\times 1}{(x-1)^2}\]
    Puis on arrange et on obtient:
    \[ f'(x)=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}\]

    Surtout ne pas développer le dénominateur,
    car on voit que c'est un carré donc positif.
    Et c'est très pratique de connaitre le signe
    quand on a dérivé!


  • Constante au numérateur
    Quand on a \[ \frac ku\]
    où $k$ est une constante

    on l'écrit: \[\boldsymbol{ \frac ku=k\times \frac 1u}\]
    c'est plus pratique pour dériver
    ça évite d'utiliser la formule de $\displaystyle \boldsymbol{\frac uv}$

    Exemple:
    Soit $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par \[ f(x)=\frac 3x\]
    on écrit \[ f(x)=3\times \frac 1x\]
    donc \[ f'(x)=3\times \frac{-1}{x^2}\]

  • Constante au dénominateur
    Quand on a \[ \frac uk\]
    où $k$ est une constante

    On l'écrit: \[\boldsymbol{\frac uk=\frac 1k\times u}\]
    C'est plus pratique pour dériver
    ça évite d'utiliser la formule de $\displaystyle \boldsymbol{\frac uv}$

    Exemple:
    Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par \[ f(x)=\frac {x^2}4\]
    on écrit \[f(x)=\frac 14\times x^2 \]
    donc \[ f'(x)=\frac 14 \times 2x\]

  • Comment faire en exercice
    1) Décomposer la fonction
    On décompose la fonction de façon à faire apparaitre:
    \[ x^n\], \[\frac 1{x^n} \], \[u+v \], \[ku \], \[ uv\], \[ \frac 1u\], \[\frac uv \]

    2) Justifier la dérivabilité
    On justifie que la fonction est dérivable sur l'intervalle indiqué
    à l'aide des théorèmes ci-dessus.

    3) On calcule la dérivée
    Exemple:
    Soit $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par \[f(x)=3x^2+\frac 5x \]
    1) \[ f(x)=3\times x^2+5\times \frac 1x\]
    $f(x)$ est de la forme:
    $f=k_1 \times u + k_2\times v$
    où $u(x)=x^2$ et \[ v(x)=\frac 1x\]
    $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ donc sur $]0;+\infty[$
    $v$ est dérivable sur $]0;+\infty[$



    2) $f$ est la somme et produit de fonctions dérivables sur $]0;+\infty[$ donc $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$
    3) $f=k_1 \times u + k_2\times v$
    où $u(x)=x^2$ et \[v(x)=\frac 1x \]

    Donc $f'=k_1\times u'+k_2\times v'$
    comme $u(x)=x^2$, $u'(x)=2x$
    et \[ v(x)=\frac 1x\], \[ v'(x)=-\frac 1{x^2}\]

    Donc \[f'(x)=3\times 2x+5\times (-\frac 1{x^2}) \]
    Puis on arrange et on obtient:
    \[ f(x)=6x-\frac 5{x^2}\]

  • Une erreur classique
    Erreur classique concernant $\displaystyle \boldsymbol{uv}$ et $\displaystyle \boldsymbol{\frac uv}$

    Les théorèmes qui permettent de conclure que $\displaystyle \boldsymbol{uv}$ et $\displaystyle \boldsymbol{\frac uv}$ sont dérivables
    reposent sur le fait que $u$ et $v$ sont toutes les 2 dérivables sur un intervalle I.
    Mais si $\boldsymbol{u}$ ou $\boldsymbol{v}$ ou les deux ne sont pas dérivables sur I, on ne peut rien conclure.
    Surtout ne pas croire
    par exemple
    que si l'une est dérivable sur I et l'autre pas
    alors $\boldsymbol{uv}$ n'est pas dérivable sur I!
    Dès que l'une des deux n'est pas dérivable en $a$
    pour savoir si $uv$ est dérivable ou pas en $a$
    on utilise la définition
    On cherche
    la limite de \[\frac{f(a+h)-f(a)}h\] quand $h$ tend vers 0.
    Si cette limite est finie, la fonction est dérivable en $a$,
    Si la limite n'existe pas ou est infinie, la fonction n'est pas dérivable en $a$.




Calcul de dérivée : Exercices

à Imprimer
Corrigé en vidéo! Exercices 1: Erreur classique à éviter de faire sur la dérivation
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^{+}$ par $f(x)=x^2\sqrt{x}$.
  1) Justifier que $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et pour tout $x\in ]0;+\infty[$, déterminer $f'(x)$.
  2) $f$ est-elle dérivable en 0?
  3) Ce résultat était-il prévisible?
Corrigé en vidéo! Exercices 2: Démonstration de la dérivée de f(x)=k - Dérivée d'une constante
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=k$ où $k$ est une constante réelle.
1) Démontrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que pour tout $x$ réel, $f'(x)=0$.
2) Ce résultat était-il prévisible?
Corrigé en vidéo! Exercices 3: Démonstration de la dérivée de f(x)=x
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x$.
1) Démontrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que pour tout $x$ réel, $f'(x)=1$.
2) Ce résultat était-il prévisible?
Corrigé en vidéo! Exercices 4: Démonstration de la dérivée de x^2
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$.
Démontrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que pour tout $x$ réel, $f'(x)=2x$:
1) A l'aide du taux d'accroissement.
2) A l'aide de la formule de la dérivée d'un produit.
Corrigé en vidéo! Exercices 5: Comprendre la formule de la dérivée de x^n
  1. En utilisant la formule sur la dérivée d'un produit, compléter le tableau ci-dessous:
    $f(x)$ $f'(x)$ $f$ dérivable sur
    $x$ $1$ $\mathbb{R}$
    $x^2$
    $x^3$
    $x^4$
  2. Soit $n$ un entier naturel non nul et $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^n$.
    Conjecturer l'expression de $f'(x)$.
Corrigé en vidéo! Exercices 6: Démonstration de la dérivée de 1/x
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^{*}$ par $\displaystyle f(x)=\frac 1x$.
Démontrer à l'aide du taux d'accroissement que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}^{*}$ et que pour tout $x$ non nul, $\displaystyle f'(x)=-\frac 1{x^2}$.
Corrigé en vidéo! Exercices 7: Démonstration de la dérivée de racine de x
Soit $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt x$.
1) Démontrer que $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et que pour tout $x$ réel, $\displaystyle f'(x)=\frac 1{2\sqrt x}$.
2) Démontrer que $f$ n'est pas dérivable en 0.
3) Ce dernier résultat était-il prévisible?

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Qui sommes-nous? Nicolas Halpern-Herla
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES, STI et STMG depuis 25 ans
Créateur de jeux de stratégie: Agora et Chifoumi

Stephane Chenevière
Agrégé de Mathématiques
Professeur en S, ES et STMG depuis 16 ans
Champion de France de magie en 2001: Magie