démonstration des formules de dérivation et exercices plus théoriques

Formules de dérivation

Conseils pour ce chapitre:

Regarder le cours précédent sur la définition de la dérivée

Comment travailler efficacement
Conseils pour le jour du bac

Dérivée sur un intervalle

Dire qu'une fonction est dérivable sur un intervalle I
signifie
que cette fonction est dérivable pour tout $x$ de I

Autrement dit que
$f'(x)$ existe pour tout $x$ de I

Les théorèmes ci-dessous, permettent de justifier
qu'une fonction est dérivable sur un intervalle
et
donnent la dérivée.

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Dérivée
de fonction du type $\boldsymbol{k}$, $\boldsymbol{x}$, $\boldsymbol{x^2}$, $\boldsymbol{x^n}$: cours en vidéo

Dérivée d'une constante

Si $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $\boldsymbol{f(x)=k}$

$k$ est une constante réelle

alors $f$ est dérivable sur $\boldsymbol{\mathbb{R}}$ et pour tout $x$ réel, $\boldsymbol{f'(x)=0}$

Exemple:
Si $f(x)=3$ alors $f'(x)=0$
Dérivée de $\boldsymbol{x}$

Si $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $\boldsymbol{f(x)=x}$
alors $f$ est dérivable sur $\boldsymbol{\mathbb{R}}$ et pour tout $x$ réel, $\boldsymbol{f'(x)=1}$
Dérivée de $\boldsymbol{x^2}$

Si $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $\boldsymbol{f(x)=x^2}$
alors $f$ est dérivable sur $\boldsymbol{\mathbb{R}}$ et pour tout $x$ réel, $\boldsymbol{f'(x)=2x}$
Dérivée de $\boldsymbol{x^n}$

Si $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $\boldsymbol{f(x)=x^n}$

$\boldsymbol{n}$ est un entier supérieur ou égal à 2!

alors $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout $x$ réel, $\boldsymbol{f'(x)=nx^{n-1}}$

Exemple:
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par \[ f(x)=x^5\]
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$

car elle est de la forme $x^n$

avec $n$ entier strictement positif

Et pour tout $x$ réel, $f(x)=5x^4$

On applique la formule avec $n=5$.

♦
Dérivée
de fonction du type $\displaystyle \boldsymbol{\frac 1x}$, $\displaystyle\boldsymbol{\frac 1{x^n}}$: cours en vidéo

Dérivée de \[\boldsymbol{\frac 1x}\]

Si $f$ est définie sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ par \[ \boldsymbol{f(x)=\frac 1x}\]
alors $f$ est dérivable sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ et pour tout $x$ non nul, \[ \boldsymbol{f'(x)=-\frac 1{x^2}}\]
Dérivée de \[\boldsymbol{\frac1{x^n}}\]

Si $f$ est définie sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ par \[\boldsymbol{f(x)=\frac 1{x^n}} \]

$n$ est un entier strictement positif

alors $f$ est dérivable sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$
et pour dériver, on écrit \[\frac 1{x^n}=x^{-n} \]

Puis on applique la formule $f(x)=x^n$ alors $f'(x)=nx^{n-1}$

formule encore valable
avec $n$ entier strictement négatif.

Exemple:
Pour calculer la dérivée de \[ f(x)=\frac 1{x^3}\], on écrit:
Pour tout $x$ non nul:
1) \[f(x)=\frac 1{x^3}=x^{-3} \]

On utilise \[ \frac 1{x^n}=x^{-n}\]

2) $f'(x)=-3x^{-3-1}=-3x^{-4}$

Attention,
on voit souvent l'erreur
$f'(x)=-3x^{-2}$

L'erreur c'est d'avoir
rajouter 1 au lieu d'enlever 1.

3) \[ f'(x)=-\frac 3{x^4}\]

On se débarrasse des puissances négatives
On utilise \[ x^{-n}=\frac 1{x^n}\]

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Dérivée
de la fonction racine carrée: cours en vidéo

Dérivée de $\boldsymbol{\sqrt{x}}$

La fonction racine carrée est définie sur $[0;+\infty[$ mais n'est dérivable que sur $]0;+\infty[$

Autrement dit,
la fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0!!!!

Si $f$ est définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x}$
alors pour tout $\boldsymbol{x>0}$, $\displaystyle f'(x)=\frac 1{2\sqrt{x}}$

On peut retrouver cette formule
en utilisant la dérivée de $\boldsymbol{x^n}$ avec $n=\frac 12$
La dérivée de $x^n$ est $nx^{n-1}$
$\displaystyle f(x)=\sqrt x=x^{\frac 12}$
Donc en appliquant la formule de dérivation de $x^n$ à $\displaystyle{x^{\frac 12}}$, on obtient
$\displaystyle f'(x)=\frac 12 x^{\frac 12 -1}=\frac 12 x^{-\frac 12}=\frac 12 \frac 1{x^{\frac 12}}=\frac 1{2\sqrt{x}}$

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Dérivée
d'une somme : cours en vidéo

Un peu de patience, la vidéo est bientôt prête

Dérivée de $\boldsymbol{u+v}$

Dérivée d'une somme

Pour la dérivée d'une soustraction
c'est la même méthode,
le + est transformé en -

Si $\boldsymbol u$ et $\boldsymbol v$ sont deux fonctions dérivables sur un même intervalle I,
alors $\boldsymbol{u+v}$ est aussi dérivable sur I
et on a $\boldsymbol{(u+v)'=u'+v'}$

Autrement dit:
Quand on veut dériver une somme de fonctions
on les dérive séparement et puis on additionne les dérivées.

Exemple:
Pour dériver $f(x)=x+x^2$
On écrit:
$f$ est la somme de 2 fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$
Donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
Et pour tout $x$ réel, $f'(x)=1+2x$

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Dérivée
d'un produit : cours en vidéo

Dérivée de $\boldsymbol{kv}$

Si $\boldsymbol{u}$ est une fonction dérivable sur un intervalle I
alors $\boldsymbol{ku}$ est aussi dérivable sur I

$k$ est une constante réelle

et on a $\boldsymbol{(ku)'=k\times u'}$

Attention
on ne dérive pas le $k$!

Pour dériver $f(x)=3x^2$
$f'(x)=3\times 2x$
Dérivée de $\boldsymbol{u\times v}$

Si $\boldsymbol{u}$ et $\boldsymbol{v}$ sont 2 fonctions dérivables sur un même intervalle I
alors $\boldsymbol{uv}$ est aussi dérivable sur I
et on a
$\boldsymbol{(u \times v)'=u'v+uv'}$

Exemple:
$f(x)=x\sqrt{x}$
on écrit $u(x)=x$ et $v(x)=\sqrt{x}$
$u$ et $v$ sont dérivables sur $]0;+\infty[$ donc $f$ aussi.
et on a $u'(x)=1$ et \[v'(x)=\frac 1{2\sqrt x} \]
Donc \[f'(x)=1\times \sqrt{x}+x\times \frac 1{2\sqrt x} \].
Ne pas confondre $k+u$ et $k\times u$

$(k+u)'=0+u'=u'$

où $k$ est une constante

$(ku)'=k\times u'$

Quand la constante $k$ est dans une multiplication,
on ne dérive pas le $\boldsymbol k$!

Exemple:
Soit $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=4+x^2$ et $g(x)=4x^2$
$f'(x)=0+2x=2x$
$g'(x)=4\times 2x=8x$

Surtout ne pas écrire:
$g'(x)=0\times 2x$
mais
$g'(x)=4\times 2x$

♦
Dérivée
d'un quotient : cours en vidéo

Dérivée de \[\boldsymbol{\frac 1u}\]

Si $\boldsymbol{u}$ est une fonction dérivable sur un intervalle I
qui ne s'annule pas sur cet intervalle
alors \[\boldsymbol{\frac 1u}\] est aussi dérivable sur I
et on a
\[\boldsymbol{\left(\frac 1u\right)'=-\frac{u'}{u^2}}\]

Exemple:
\[f(x)=\frac1{x^2+1} \]
On écrit $u(x)=x^2+1$
$u$ ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$ et $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
donc \[\frac 1u \], c'est à dire $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
On a $u'(x)=2x$ donc \[ f'(x)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}\]
Dérivée de \[\boldsymbol{\frac uv}\]

Si $\boldsymbol{u}$ et $\boldsymbol{v}$ sont 2 fonctions dérivables sur un même intervalle I
et si $\boldsymbol{v}$ ne s'annule pas sur cet intervalle
alors \[\boldsymbol{\frac uv}\] est aussi dérivable sur I
et on a
\[\boldsymbol{\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}}\]

Exemple:
\[ f(x)=\frac{x^2}{x-1}\] sur $]1;+\infty[$
On écrit $u(x)=x^2$ et $v(x)=x-1$
$u$ et $v$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ donc sur $]1;+\infty[$
$v$ ne s'annule pas sur $]1;+\infty[$
donc \[ \frac uv\], c'est à dire $f$ est dérivable sur $]1;+\infty[$
Pour tout $x\in ]1;+\infty[$, on a $u'(x)=2x$ et $v'(x)=1$
donc \[ f'(x)=\frac{2x\times (x-1)-x^2\times 1}{(x-1)^2}\]

Puis on arrange et on obtient:
\[ f'(x)=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}\]

Surtout ne pas développer le dénominateur,
car on voit que c'est un carré donc positif.
Et c'est très pratique de connaitre le signe
quand on a dérivé!
Constante au numérateur

Quand on a \[ \frac ku\]

où $k$ est une constante

on l'écrit: \[\boldsymbol{ \frac ku=k\times \frac 1u}\]

c'est plus pratique pour dériver
ça évite d'utiliser la formule de $\displaystyle \boldsymbol{\frac uv}$

Exemple:
Soit $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par \[ f(x)=\frac 3x\]
on écrit \[ f(x)=3\times \frac 1x\]
donc \[ f'(x)=3\times \frac{-1}{x^2}\]
Constante au dénominateur

Quand on a \[ \frac uk\]

où $k$ est une constante

On l'écrit: \[\boldsymbol{\frac uk=\frac 1k\times u}\]

C'est plus pratique pour dériver
ça évite d'utiliser la formule de $\displaystyle \boldsymbol{\frac uv}$

Exemple:
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par \[ f(x)=\frac {x^2}4\]
on écrit \[f(x)=\frac 14\times x^2 \]
donc \[ f'(x)=\frac 14 \times 2x\]
Comment faire en exercice

1) Décomposer la fonction

On décompose la fonction de façon à faire apparaitre:
\[ x^n\], \[\frac 1{x^n} \], \[u+v \], \[ku \], \[ uv\], \[ \frac 1u\], \[\frac uv \]

2) Justifier la dérivabilité

On justifie que la fonction est dérivable sur l'intervalle indiqué
à l'aide des théorèmes ci-dessus.

3) On calcule la dérivée

Exemple:
Soit $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par \[f(x)=3x^2+\frac 5x \]
1) \[ f(x)=3\times x^2+5\times \frac 1x\]

$f(x)$ est de la forme:
$f=k_1 \times u + k_2\times v$

où $u(x)=x^2$ et \[ v(x)=\frac 1x\]

$u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ donc sur $]0;+\infty[$
$v$ est dérivable sur $]0;+\infty[$

2) $f$ est la somme et produit de fonctions dérivables sur $]0;+\infty[$ donc $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$
3) $f=k_1 \times u + k_2\times v$

où $u(x)=x^2$ et \[v(x)=\frac 1x \]

Donc $f'=k_1\times u'+k_2\times v'$

comme $u(x)=x^2$, $u'(x)=2x$
et \[ v(x)=\frac 1x\], \[ v'(x)=-\frac 1{x^2}\]

Donc \[f'(x)=3\times 2x+5\times (-\frac 1{x^2}) \]

Puis on arrange et on obtient:
\[ f(x)=6x-\frac 5{x^2}\]
Une erreur classique

Erreur classique concernant $\displaystyle \boldsymbol{uv}$ et $\displaystyle \boldsymbol{\frac uv}$

Les théorèmes qui permettent de conclure que $\displaystyle \boldsymbol{uv}$ et $\displaystyle \boldsymbol{\frac uv}$ sont dérivables
reposent sur le fait que $u$ et $v$ sont toutes les 2 dérivables sur un intervalle I.
Mais si $\boldsymbol{u}$ ou $\boldsymbol{v}$ ou les deux ne sont pas dérivables sur I, on ne peut rien conclure.

Surtout ne pas croire
par exemple
que si l'une est dérivable sur I et l'autre pas
alors $\boldsymbol{uv}$ n'est pas dérivable sur I!
Dès que l'une des deux n'est pas dérivable en $a$
pour savoir si $uv$ est dérivable ou pas en $a$
on utilise la définition

On cherche
la limite de \[\frac{f(a+h)-f(a)}h\] quand $h$ tend vers 0.
Si cette limite est finie, la fonction est dérivable en $a$,
Si la limite n'existe pas ou est infinie, la fonction n'est pas dérivable en $a$.

Corrigé en vidéo! Exercices 1: Erreur classique à éviter de faire sur la dérivation

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^{+}$ par $f(x)=x^2\sqrt{x}$.
1) Justifier que $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et pour tout $x\in ]0;+\infty[$, déterminer $f'(x)$.
2) $f$ est-elle dérivable en 0?
3) Ce résultat était-il prévisible?

Corrigé en vidéo! Exercices 2: Démonstration de la dérivée de f(x)=k - Dérivée d'une constante

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=k$ où $k$ est une constante réelle.
1) Démontrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que pour tout $x$ réel, $f'(x)=0$.
2) Ce résultat était-il prévisible?

Corrigé en vidéo! Exercices 3: Démonstration de la dérivée de f(x)=x

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x$.
1) Démontrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que pour tout $x$ réel, $f'(x)=1$.
2) Ce résultat était-il prévisible?

Corrigé en vidéo! Exercices 4: Démonstration de la dérivée de x^2

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$.
Démontrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que pour tout $x$ réel, $f'(x)=2x$:
1) A l'aide du taux d'accroissement.
2) A l'aide de la formule de la dérivée d'un produit.

Corrigé en vidéo! Exercices 5: Comprendre la formule de la dérivée de x^n

En utilisant la formule sur la dérivée d'un produit, compléter le tableau ci-dessous:

$f(x)$	$f'(x)$	$f$ dérivable sur
$x$	$1$	$\mathbb{R}$
$x^2$
$x^3$
$x^4$

Soit $n$ un entier naturel non nul et $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^n$.
Conjecturer l'expression de $f'(x)$.

Corrigé en vidéo! Exercices 6: Démonstration de la dérivée de 1/x

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^{*}$ par $\displaystyle f(x)=\frac 1x$.
Démontrer à l'aide du taux d'accroissement que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}^{*}$ et que pour tout $x$ non nul, $\displaystyle f'(x)=-\frac 1{x^2}$.

Corrigé en vidéo! Exercices 7: Démonstration de la dérivée de racine de x

Soit $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt x$.
1) Démontrer que $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et que pour tout $x$ réel, $\displaystyle f'(x)=\frac 1{2\sqrt x}$.
2) Démontrer que $f$ n'est pas dérivable en 0.
3) Ce dernier résultat était-il prévisible?

Dérivation - démonstration & Exercices théoriques

Dérivée

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Calcul de dérivée : Exercices